Wie findet man Primzahlen? Schon in der späteren Schulzeit hat mich diese Frage interessiert, da es anscheinend kein effizientes Verfahren hierzu gibt. Es scheint stattdessen sogar, als sei die Verteilung von Primzahlen zufällig auf dem Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen verstreut, wobei diese bei zunehmender Größe rarer werden. Einige Verfahren existieren jedoch, mit deren Hilfe sich Primzahlen aufspüren lassen. Zwar gibt es bis zur bis heute größten gefundenen Primzahl vermutlich noch weitere, kleinere, die sich noch nicht offenbart haben und zu denen es bislang keinen effizienten mathematischen Zugang zum Aufspüren gibt, doch können einige auf schnellem Wege dennoch gefunden werden. In dieser Arbeit sollen vorrangig diese effizienten Methoden beschrieben werden, mit denen sich gezielt große Primzahlen von besonderer Bauart finden lassen. Tieferen Einblick hierzu bekam ich durch das fachwissenschaftliche Seminar zur Kryptographie, in dem ich mich mit zwei solcher Verfahren intensiv beschäftigt habe. Neben Fermat entwickelte insbesondere Mersenne seinerzeit einen einfachen Weg, große Primzahlen zu bestimmen. Kurzbiographien zu den beiden Mathematikern sind dem folgenden Kapitel zu entnehmen. Anschließend werde ich mich auf diese beiden Verfahren beschränken und daher auf die sogenannten Mersenne- und Fermat-Zahlen eingehen, welche unter bestimmten Voraussetzungen Primzahlen - wenn auch nicht sämtliche - liefern. Entsprechende Sätze und Beweise finden sich in den Kapiteln 4.3 und 4.4 wieder, wobei sich ersteres speziell mit Mersenne-Zahlen, letzteres mit den Fermat-Zahlen befasst. Um die Beweisführung verständlicher zu gestalten, habe ich am Ende dieser Arbeit einen ausführlichen Anhang erstellt. Dabei entscheide ich mich bewusst dagegen, die im Anhang befindlichen Zwischenschritte direkt in die Beweise zu integrieren, um einen angenehmeren Lesefluss zu ermöglichen. Der Leser kann nun selbst entscheiden, ob er - falls Bedarf besteht - auf den Anhang zurückgreifen oder sich bei ausreichendem Verständnis lediglich auf die Beweise an sich beschränken möchten. Des weiteren wird erklärt, weshalb große Primzahlen in der modernen Kryptographie eine solch wichtige Rolle spielen. Da bis vor relativ kurzer Zeit Primzahlen in der Praxis kaum Anwendung fanden und hauptsächlich erst in der modernen Kryptographie Verwendung finden, gehe ich in Kapitel 3 auf die essentielle Bedeutung von Primzahlen in der Kryptographie ein. [...]
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Biographien
- Pierre de Fermat
- Marin Mersenne
- Kryptographie
- Geschichtlicher Hintergrund
- Theorie der Kryptographie
- RSA mit Mersenne-Primzahlen
- Primzahlen
- Die Bedeutung von Primzahlen in der Kryptographie
- Voraussetzungen zu den Beweisen
- Mersennesche Primzahlen
- Satz 4.3.1
- Satz 4.3.2
- Satz 4.3.3
- Zusammenfassung
- Fermatsche Primzahlen
- Satz 4.4.1
- Satz 4.4.2
- Satz 4.4.3
- Zusammenfassung
- Schlussteil und weiterführende Gedanken
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit befasst sich mit der effizienten Suche nach großen Primzahlen und der Verwendung von Mersenne- und Fermat-Primzahlen in der Kryptographie. Sie untersucht die Geschichte und Bedeutung von Primzahlen in der modernen Kryptographie und beleuchtet die Biographien von Pierre de Fermat und Marin Mersenne, zwei bedeutenden Mathematikern, die sich mit der Suche nach Primzahlen beschäftigten.
- Die Bedeutung von Primzahlen in der Kryptographie
- Die effiziente Suche nach großen Primzahlen
- Mersennesche Primzahlen
- Fermatsche Primzahlen
- Die Rolle von Primzahlen in Kryptographie-Verfahren wie RSA
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Diese Einleitung beleuchtet die Motivation hinter der Arbeit und stellt die Primzahlenproblematik vor. Sie erwähnt die Herausforderungen bei der Suche nach Primzahlen und beschreibt die effizienten Methoden, auf die sich die Arbeit konzentrieren wird. Außerdem wird der Bezug zur Kryptographie hergestellt.
- Biographien: Dieses Kapitel widmet sich den Lebensläufen von Pierre de Fermat und Marin Mersenne, zwei bedeutenden Mathematikern, die maßgeblich zur Entwicklung der Zahlentheorie und der Suche nach Primzahlen beigetragen haben. Es wird auf ihre wissenschaftlichen Leistungen und ihre Bedeutung für die Mathematik eingegangen.
- Kryptographie: Dieses Kapitel behandelt die Geschichte der Kryptographie und erläutert die Theorie der modernen Kryptographie. Es befasst sich mit dem RSA-Verfahren und der Bedeutung von Primzahlen in der Kryptographie. Der Abschnitt beleuchtet die Verwendung von Mersenne-Primzahlen im RSA-Verfahren und erklärt, warum sie in der Praxis oft ungeeignet sind.
- Primzahlen: Dieses Kapitel behandelt die Bedeutung von Primzahlen in der Kryptographie und erläutert verschiedene Verfahren zur Suche nach Primzahlen. Es konzentriert sich auf Mersennesche und Fermatsche Primzahlen, wobei Sätze und Beweise für diese beiden Arten von Primzahlen präsentiert werden.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf die Themen Primzahlen, Kryptographie, Mersenne-Primzahlen, Fermat-Primzahlen, RSA-Verfahren, Zahlentheorie, mathematische Beweise und Geschichte der Mathematik. Diese Schlüsselbegriffe bilden den Kern der Arbeit und ermöglichen es dem Leser, die wichtigsten Aspekte des Textes zu verstehen.
- Quote paper
- Markus Leuschner (Author), 2010, Mersenne- und Fermat-Primzahlen oder auf der Suche nach großen Primzahlen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/191899
