Ich bin schon seit langer Zeit daran interessiert, mathematische Rätsel und Denkspiele aller Art zu lösen, jedoch habe ich vor allem großen Spaß daran, vorhandene Aufgaben in der Art zu verändern, dass sie nicht mehr durch einfache mathematische Lösungsformeln zu lösen sind, sondern höhere Mathematik zum Finden der richtigen Lösung angewandt werden muss! So habe ich auch die vorliegende Arbeit dazu genutzt, ein solches einfaches Rätsel von Martin Gardner zu lösen und durch eigens erdachte Erweiterungsmöglichkeiten in höhere mathematische Grundlagen einzuführen!
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
- Gewöhnliche Differentialgleichungen
- Das Verfahren der numerischen Integration
- Programmierung der numerischen Integration
- Test am Beispiel des waagerechten Wurfes
- Mathematisches Weltraum-Denkspiel als Ausgangspunkt der Arbeit
- "Die Brezel kehrt heim" - ein mathematisches Denkspiel
- Der "Brezelkreis" – eine erste Erweiterung des Denkspiels
- "Houston, we've had a problem…"
- Der Flug der Brezel – eigene Fortsetzung des ursprünglichen Rätsels als Anwendung der numerischen Integration
- Der Einfluss der Gravitationskraft von Mond und Erde auf ein Körper im Weltall
- Simulation mit ruhendem Mond
- Simulation mit bewegtem Mond
- Auswertung und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Integration von Differentialgleichungen am Beispiel des Denkspiels "Die Brezel kehrt heim" von Martin Gardner. Das Ziel ist es, durch die Anwendung numerischer Methoden die Bewegung eines Raumschiffs namens "Brezel" im Gravitationsfeld von Mond und Erde zu simulieren. Der Fokus liegt dabei auf der Integration der Bewegung des Mondes in die Simulation und der Analyse der resultierenden Bahnkurven.
- Numerische Integration von Differentialgleichungen
- Anwendung der numerischen Integration auf ein konkretes Problem
- Simulation der Bewegung des Raumschiffs "Brezel" im Gravitationsfeld von Mond und Erde
- Einfluss der Mondbewegung auf die Bahnkurve des Raumschiffs
- Analyse der Punktmengen, von denen aus die "Brezel" direkt auf Mond oder Erde aufschlägt
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 2 führt den Leser in die Thematik der gewöhnlichen Differentialgleichungen und die Methode der numerischen Integration ein. Es werden das Euler-Verfahren und das Verfahren der Symmetrisierung des Differenzenquotienten vorgestellt und anhand eines einfachen Beispiels, dem waagerechten Wurf, getestet. Kapitel 3 beschreibt das mathematische Denkspiel "Die Brezel kehrt heim", das als Grundlage für die Arbeit dient. Es wird der "Brezelkreis" definiert und die Problemstellung, die durch die Simulation der "Brezel"-Flugbahn gelöst werden soll, erläutert. Kapitel 4 behandelt die Simulation der "Brezel"-Flugbahn im Gravitationsfeld von Mond und Erde, zunächst unter Vernachlässigung der Mondbewegung und anschließend unter Einbezug derselben. Die Kapitel 5 und 6 bieten einen Ausblick auf zukünftige Entwicklungen und eine Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse der Arbeit.
Schlüsselwörter
Die Arbeit befasst sich mit numerischen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen, insbesondere dem Euler-Verfahren und der Symmetrisierung des Differenzenquotienten. Als Anwendungsbeispiel dient das Denkspiel "Die Brezel kehrt heim", welches die Bewegung eines Raumschiffs im Gravitationsfeld von Mond und Erde simuliert. Die Arbeit analysiert den Einfluss der Mondbewegung auf die Bahnkurve des Raumschiffs und ermittelt die Punktmengen, von denen aus die "Brezel" direkt auf Mond oder Erde aufschlägt. Zentrale Themen sind numerische Integration, gewöhnliche Differentialgleichungen, Gravitationsfeld, Raumschiffbewegung, Mondbewegung.
Häufig gestellte Fragen
Womit beschäftigt sich die Arbeit "Der Flug der Brezel"?
Die Arbeit befasst sich mit der numerischen Integration von Differentialgleichungen am Beispiel eines mathematischen Weltraum-Denkspiels von Martin Gardner.
Was ist das Ziel der Simulation in dieser Arbeit?
Das Ziel ist die Simulation der Flugbahn eines Raumschiffs ("Brezel") im Gravitationsfeld von Erde und Mond unter Berücksichtigung der Mondbewegung.
Welche mathematischen Verfahren werden zur Lösung der Differentialgleichungen genutzt?
Es werden das Euler-Verfahren sowie das Verfahren der Symmetrisierung des Differenzenquotienten vorgestellt und angewendet.
Was wird unter dem "Brezelkreis" verstanden?
Der Brezelkreis ist eine erste Erweiterung des ursprünglichen Denkspiels, die als Ausgangspunkt für die tiefergehende mathematische Analyse dient.
Welche Rolle spielt die Mondbewegung in der Simulation?
Die Arbeit analysiert den spezifischen Einfluss der Mondbewegung auf die Bahnkurve des Raumschiffs im Vergleich zu einem ruhenden Mond.
Was wird in der Auswertung der Arbeit untersucht?
Es werden unter anderem die Punktmengen analysiert, von denen aus das Raumschiff direkt auf den Mond oder die Erde aufschlagen würde.
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- Marvin Harder (Autor), 2011, Der Flug der Brezel: Numerische Integration von Differentialgleichungen anhand eines Beispiels, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/190041
