Vor R. Groer befaten sich bereits P. Eizinger K.M. Sattler und H. Barowski mit diesem Experiment der Levitation eines Magneten uber einem Supraleiter Bei ihren Untersuchungen verwendeten sie Niob den einzigen elementaren Typ II Supraleiter als Kondensatormaterial.
Supraleitende Levitation
uber
schmelztexturiertem
YBa
2
Cu
3
O
7
x
Diplomarbeit
von
Peter Hocherl
geboren in Amberg
durchgefuhrt am
Institut fur Experimentelle und Angewandte Physik
Universitat Regensburg
unter Anleitung von
Prof. Dr. W. Schoepe
Juni 1998
Ub
erblic
k
Ein elektrisch geladener, kugelformiger Permanentmagnet der Masse 52
3
g
schwebt in einem supraleitenden Kondensator in stabiler Lage. Die Elektroden
des Kondensators bestehen aus schmelztexturiertem YBa
2
Cu
3
O
7
x
. Aufgrund
der Ladung, die er tragt, kann der Magnet zu Schwingungen um seine Gleichge-
wichtslage angeregt werden, die elektrisch detektiert werden. Die dabei gefunde-
nen Resonanzfrequenzen liegen zwischen 300 und 450 Hertz. Numerisch konnen
nichtlineare Ruckfuhrkrafte berechnet werden, welche die beobachteten Skelett-
kurven und die gemessenen hoheren Harmonischen verursachen. Die Dampfung
der Schwingungen wird in Abhangigkeit von der Schwingungsamplitude und der
Temperatur untersucht. Dabei tritt knapp unterhalb der kritischen Temperatur
T
c
92K ein ausgepragtes Minimum in der Dampfung auf. Die gefundenen Er-
gebnisse konnen mit einer Kombination aus linearer, quadratischer und durch
thermische Aktivierung von Fluwirbeln hervorgerufene Dampfung beschrieben
werden. Die lineare Dampfung wird durch die Bewegung der Flulinien inner-
halb ihrer Haftpotentiale erklart, die quadratische Dampfung wird hysteretischen
Dissipationsverlusten gepinnter Fluschlauche im Hochtemperatursupraleiter zu-
geschrieben. Durch das Anlegen einer Gleichspannung am Kondensator wird die
Gleichgewichtslage des Permanentmagneten verandert. Dabei wird die Abhangig-
keit der statischen Levitationskraft und der Resonanzfrequenz von der Lage des
Magneten untersucht. Fur Temperaturen von 4.2 und 77 Kelvin wird keine hy-
steretische Abhangigkeit fur die statische Levitationskraft gefunden, so wie sie
sich in einem gesinterten Kondensator bei R. Groer ergeben hatte. Auch die Re-
sonanzfrequenz ist im schmelztexturierten Kondensator eine reversible Funktion
des Ortes des Magneten.
Inhaltsv
erzeic
hnis
3
Inhaltsv
erzeic
hnis
1 Einfuhrung
5
1.1 Supraleiter
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5
1.2 Magnetische Levitation
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6
1.3 Ziel dieser Diplomarbeit
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8
2 Theoretische Vorbemerkungen
10
2.1 Allgemeine Bewegungsgleichung fur die Oszillationen des Perma-
nentmagneten im Kondensator
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10
2.2 Auswirkungen der Reibungskraft auf die Schwingungsfrequenz
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11
2.3 Bestimmung der Ladung des Magneten aus der Resonanzkurve
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13
2.4 Das Umkehrproblem
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14
2.5 Das Dipolmodell
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17
3 Der Supraleiter Yttrium-Barium-Kupfer-Oxid
20
3.1 Gesintertes YBCO
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20
3.2 Schmelztexturiertes YBCO
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21
3.3 Praktische Anwendungen
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23
4 Experimenteller Aufbau
25
4.1 Die Mezelle
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25
4.2 Die Peripherie der Mezelle
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26
4.3 Thermometrie
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28
4.4 Die elektronische Beschaltung
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29
4.4.1 Detektion der Schwingungen des Permanentmagneten
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29
4.4.2 Die elektronische Beschaltung der Mezelle
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30
4.5 Systematische Mefehler und deren Korrektur
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32
4.5.1 Frequenzabhangige Verstarkung des Elektrometervorverstar-
kers
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32
4.5.2 Der Fehler in der Ubersprechkompensation
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32
5 Versuchsdurchfuhrung
35
5.1 Herstellung eines Oszillators
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35
5.2 Vorgehensweise bei der Aufnahme der Mekurven
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35
5.3 Vorversuche im Hybridkondensator
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36
6 Ergebnisse im schmelztexturierten YBCO
39
6.1 Resonanzkurven
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41
6.2 Die Dissipation
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43
6.2.1 Die Geschwindigkeitsamplitude in Abhangigkeit von der
Antriebskraft
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43
6.2.2 Die Temperaturabhangigkeit der Geschwindigkeitsamplitu-
de und der Resonanzfrequenz
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45
4
Inhaltsv
erzeic
hnis
6.2.3 Die Bewegung der Flulinien
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47
6.2.4 Anpassung der Theoriekurve an die Mewerte
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50
6.2.5 Die lineare Dampfung
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51
6.2.6 Die quadratische Dampfung
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54
6.2.7 Die Dampfung aufgrund thermischerAktivierung der Flu-
wirbel
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58
6.2.8 Zusammenfassung und abschlieende Diskussion
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65
6.3 Dynamische Levitationskrafte
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67
6.3.1 Die Frequenz in Abhangigkeit von der Geschwindigkeitsam-
plitude
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67
6.3.2 Punktsymmetrische Ruckfuhrkrafte
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68
6.3.3 Unsymmetrische Ruckfuhrkrafte
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70
6.3.4 Die zweite und dritte Harmonische
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72
6.4 Die statische Levitationskraft
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75
6.4.1 Der Ein u der statischen Levitationskraft auf die Geschwin-
digkeitsamplituden und die Resonanzfrequenzen
:
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:
:
76
6.4.2 Die Auswirkungen der Levitationskraft auf die Dampfung
:
80
7 Resumee und Ausblick
82
Anhang
84
Literatur
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84
Abbildungsverzeichnis
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87
Tabellenverzeichnis
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88
Danksagung
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89
Erklarung
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:
91
5
1
Einfuhrung
Diese Arbeit knupft unmittelbar an die Diplomarbeit von R. Groer 15 an, der
die Schwingungen eines Permanentmagneten in einem Kondensator aus gesin-
tertem YBa
2
Cu
3
O
7
x
kurz: YBCO, einem Typ-II-Supraleiter, erforscht hat. In
der vorliegenden Arbeit soll untersucht werden, wie sich das Verhalten des Per-
manentmagneten in einem Kondensator aus schmelztexturiertem YBa
2
Cu
3
O
7
x
von jenem im gesinterten Kondensator unterscheidet. Schmelztexturiertes YBCO
besitzt eine groere praktische Bedeutung, als das gesinterte Material. Der Haupt-
vorteil des schmelztexturierten YBCOs, das ebenfalls ein Typ-II-Supraleiter ist,
liegt in den wesentlich groeren kritischen Stromen, aufgrund derer sich viele
praktische Anwendungen realisieren lassen siehe Abschnitt 3.3.
Vor R. Groer befaten sich bereits P. Eizinger 12 , K.M. Sattler 32 und
H. Barowski 3 mit diesem Experiment der Levitation eines Magneten uber ei-
nem Supraleiter. Bei ihren Untersuchungen verwendeten sie Niob, den einzigen
elementaren Typ-II-Supraleiter, als Kondensatormaterial.
1.1
Supraleiter
Nachdem es H.K. Onnes im Jahre 1908 gelungen war, Helium zu ver ussigen
und er so den Temperaturbereich von ca. 1 K bis 10 K fur physikalische Experi-
mente erschlossen hatte, untersuchte er das temperaturabhangige Verhalten des
Widerstandes von Quecksilber. Dabei fand er 1911, da dieser Widerstand bei
Temperaturen unterhalb von 4.2 K unmebar klein wurde 31 . Diesen Zustand
bezeichneteer als supraleitend. Er tritt bei verschiedenenMaterialien z.B.Metal-
len und bestimmtenKeramiken unterhalb einer materialspezi schenTemperatur
| der sogenannten kritischen Temperatur
T
c
| auf.
Der
Meiner-Oc
hsenfeld-E
ek
t
Bringt man die Probe eines Supraleiters, die sich noch in der normalleitenden
Phase be ndet, in ein Magnetfeld H, so wird das Feld dadurch nicht verzerrt, es
durchdringt die Probe vollstandig. Bei Temperaturen unterhalb von
T
c
be ndet
sich die Probe in der sogenannten Meinerphase, in der das Magnetfeld bis auf
eine dunne Ober achenschichtaus dem Supraleiter verdrangt ist. Erhoht man nun
das Magnetfeld, so wird die Probe schlielich wieder normalleitend. Bei diesem
Ubergang unterscheidet man zwei Supraleitertypen:
Supraleiter
1.Art:
Der Supraleiter ist im Inneren vollig feldfrei. Nur an sei-
ner Ober ache ieen Abschirmstrome, die bis zu einer Tiefe von
L
, der Lon-
donschen Eindringtiefe, in die Probe vordringen. Diese Supraleiter zeigen den
Verdrangungse ekt bis zu einem bestimmten Wert des aueren Feldes, dem kriti-
6
1.
Einfuhrung
schen Magnetfeld
H
c
T
. Dann bricht die Supraleitung komplett zusammen und
die Probe wird vom Magnetfeld durchdrungen.
Supraleiter
2.Art:
Diese verhalten sich fur ausreichend kleine auere Felder
H
H
c1
T
genauso, wie Supraleiter der 1.Art. Fur Felder
H
c1
T
H
H
c2
T
gehen sie in den "Mischzustand ,auch Shubnikov-Phasegenannt,uber.Indiesem
Zustand wird der magnetische Flu in Fluschlauchen durch die Probe gefuhrt.
Da diese sich gegenseitig abstoen, bilden sie eine regelmaige Anordnung
1
. Der
Flu durch den Supraleiter ist dabei quantisiert
2
. Von "Pinning spricht man,
wenn die Fluschlauche an Inhomogenitaten haften, wie es im realen Supraleiter
meistens vorkommt. Solche Inhomogenitaten konnen z.B. Korngrenzen, Gitter-
defekte oder Verunreinigungen sein. Wird das auere Magnetfeld
H
groer als
H
c2
T
, so kehrt die Probe in den normalleitenden Zustand zuruck.
Mit der Entdeckung der Hochtemperatursupraleiter Supraleiter der 2.Art,
die eine kritische Temperatur uber 77 Kelvin haben, bestand nun erstmals die
Moglichkeit, technische Anwendungen mit ertraglichem technischen und nan-
ziellen Aufwand zu realisieren. Fur diese Hochtemperatursupraleiter genugt eine
Kuhlung mit ussigem Sticksto . Auch YBa
2
Cu
3
O
7
x
ist ein derartiger Hochtem-
peratursupraleiter.
1.2
Magnetisc
he
Levitation
Aufgrund des Meiner-Ochsenfeld-E ekts ist es moglich, da ein Permanentmag-
net uber einem Supraleiter levitiert
3
. Die Besonderheit der magnetischen Levi-
tation uber einem Supraleiter besteht in der dabei erreichbaren Stabilitat. Man
unterscheidet prinzipiell drei Arten der Levitation eines Magneten uber supralei-
tendem Material:
Levitation
1.Art:
Der Permanentmagnet schwebt hier aufgrund der abstoen-
den Krafte, die durch die Abschirmstrome gegen das auere Feld hervorgerufen
werden, uber einemSupraleiter 1.Art. Diese Abschirmstromeunterhalb der Ober-
ache des Supraleiters sind gerade so gro, da sie das Feld des Magneten kompen-
sieren. Als beschreibende Modellvorstellung dient hierbei das Dipolmodell. Dabei
geht man davon aus, da das auere Feld eines magnetischen Dipols durch das
1
Diese Anordnung ist ein zweidimensionales, hexagonales Gitter, das Abrikosov-Gitter ge-
nannt wird.
2
Das magnetische Fluquant hierbei ist
0
=
h
2e
, mit
h
dem Planckschen Wirkungsquant
und
e
der Elementarladung.
3
Levitation ist das Schweben eines Korpers in stabiler Gleichgewichtslage, ohne da er me-
chanischen Kontakt zu seiner Umgebung besitzt.
1.2
Magnetisc
he
Levitation
7
eines induzierten Spiegeldipols mit gleichem Abstand von der Ober ache des Su-
praleiters von seinem Inneren abgeschirmt wird. Dabei ist die Gleichgewichtslage
des Magneten uber der supraleitenden Probe nur in vertikaler Richtung stabil.
Levitation
2.Art:
In der Shubnikov-Phase wird der Flu aus dem Supraleiter
nur teilweise herausgedrangt. Ein Groteil durchdringt ihn weiterhin in Form von
Fluschlauchen. Haften diese an Storstellen im Gitter genugend stark Pinning,
so existiert ein Bereich, in dem der Permanentmagnet sowohl horizontal, wie auch
vertikal stabile Gleichgewichtslagen besitzt.
Susp
ension
2.Art:
Kuhlt man einen noch normalleitenden Supraleiter 2.Art
unter Anwesenheit eines aueren Feldes unter seine kritische Temperatur ab,
so werden Flulinien in der Probe eingefroren. Daraus konnen auch anziehende
Krafte zwischen einem Magneten und dem Supraleiter entstehen, so da dieser
unter der supraleitenden Probe suspendieren, d.h. schweben, kann. Bei genugend
starkem Pinning ist auch hier ein kontinuierlicher Bereich mit horizontalen und
vertikalen Gleichgewichtslagen moglich.
Die Wechselwirkung eines Supraleiters mit einem Permanentmagnetenist, wie
man gesehen hat, von der Vorgeschichte der supraleitenden Probe abhangig. So
ist es moglich, da ohne aueres Feld Flu in ihm eingefroren ist und er sich wie
ein Permanentmagnetverhalt. Die statische Levitationskraft zwischen Supraleiter
und Magnet ist abhangig von der Magnetisierung
M
des Supraleiters. Auf den
magnetisierten Korper wirkt in dem aueren Feld
~
H
a
r
die Kraft
~
F
stat
=
Z
V
0
~
M
~
r
~
H
a
dv
:
Entfernt man nun den Magneten, der ein Dipolfeld
~
H
a
r
verursacht, vom Supra-
leiter, so wird | bei entsprechend starkem Pinning | das Feld im Supraleiter
H
i
groer als das auere Feld. Damit wird die Magnetisierung
M
=
H
i
H
a
0
und folglich auch die statische Levitationskraft
F
stat
dem Betrag nach negativ.
In dieser Situation ist eine Suspension moglich.
Modellhaft kann man sich die Flulinien als Gummiseile vorstellen. Damit
kann das Schwingungsverhalten eines aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenk-
ten Permanentmagneten, der uber einem Supraleiter 2.Art levitiert bzw. darun-
ter suspendiert qualitativ veranschaulicht werden: Ist die Schwingungsamplitude
gro, so konnen die Fluschlauche entpinnt werden, sie wandern durch den Supra-
leiter. Dies fuhrt zu einer weicheren Federkonstante der Schwingung. Harter wird
sie im Gegensatz dazu, wenn sich der Permanentmagnet naher beim Supraleiter
be ndet. Ist namlich der raumliche Abstand gering, so wird der Supraleiter von
8
1.
Einfuhrung
Abbildung 1.1: Statische Levitationskraft in Abhangigkeit vom Abstand Perma-
nentmagnet | Supraleiter, in einem Schmelzproze hergestelltes
YBCO, aus 27
vielen Fluschlauchen durchdrungen, da das auere Feld gro ist. Die Schwin-
gung, die der Permanentmagnet ausfuhrt, ist somit nichtlinear. Einen kurzen
Uberblick uber bisherige Experimente, die sich mit der Levitation eines Perma-
nentmagneten uber einem Supraleiter beschaftigen und so versuchen, Aufschlu
uber dessen Levitationsverhalten zu erlangen, ndet man bei R. Groer 15 .
1.3 Ziel dieser Diplomarbeit
Mit Hilfe der Beobachtung der erzwungenen vertikalen Schwingungen eines ku-
gelformigen Permanentmagneten in einem Kondensator aus schmelztexturiertem
YBCO sollten Kenntnisse uber sein Levitationsverhalten gewonnen werden. Be-
sonders interessierten dabei die nichtlinearen Eigenschaften des Oszillators. Dabei
sollten insbesondere Unterschiede zu den Ergebnissen, die von R. Groer in ei-
nem Kondensator aus gesintertem YBCO gefunden wurden, festgestellt werden.
Deshalb wurde im wesentlichen das gleiche Meprogramm mit demselben Perma-
nentmagneten wie im gesinterten Kondensator durchgefuhrt. Hauptgegenstand
der Untersuchungen waren demnach:
Dissipationsmechanismen dynamische Dampfungskrafte
dynamische Levitationskrafte
1.3 Ziel dieser Diplomarbeit
9
der Zusammenhangzwischen statischen und dynamischenLevitationskraften
Die dynamischen Reibungs- und Levitationskrafte wurden sowohl in Abhangig-
keit vom Ort des Permanentmagneten im Kondensator, wie auch von der Tem-
peratur untersucht.
Aufgrund der geringen Masse des Permanentmagnetenwar die Energieau osung
des durchgefuhrten Experimentes mit
E
2eV
sehr gro
4
. Damit ist die Energieau osung um den Faktor 2 schlechter als bei den
Experimenten im gesinterten YBCO. Die Grunde dafur sind zum einen die ho-
heren Ladungen, die der Permanentmagnet trug, zum anderen auch die groeren
Resonanzfrequenzen, die bis um den Faktor 2.5 hoher waren als im gesinterten
Kondensator.
Bleibt noch auf den wesentlichen Nachteil des durchgefuhrten Experimentes
hinzuweisen. Dieser besteht darin, da der Ort, an dem der Permanentmagnet im
Oszillator schweben soll, sich bei der Herstellung eines neuen Oszillators siehe
Abschnitt 5.1 nicht festlegen lat und ein Oszillator dadurch nicht reproduzierbar
ist.
4
Bei einer Meungenauigkeit des detektierten Stromes von I
0:01pA, einer Masse
m
5:2
10
8
kg, einer Ladung des Permanentmagneten q
2:9pC, !
2500Hz und einem
Plattenabstand d = 10
3
m ergibt sich mit A =
dI
! jq j
eine Au osung der Schwingungsamplitude
A
1:4nm und damit E =
1
2
m!A
2
3:2
10
19
J. Dabei wurde mit der nachtraglich
bestimmten Masse siehe S.39 gerechnet.
10
2. Theoretische Vorbemerkungen
2 Theoretische Vorbemerkungen
In diesem Kapitel wird zunachst die Theorie nichtlinearer Schwingungen behan-
delt, soweit sie fur das Verstandnis des Experimentes notwendig ist. Sodann wird
das Dipolmodell eingefuhrt, das den im Experiment zwischen zwei Supraleitern
schwebenden Magneten beschreibt. In Kapitel 6 wird dann bei der Darstellung der
Meergebnisse und deren Interpretation auf die Inhalte dieses Kapitels zuruck-
gegri en.
2.1 Allgemeine Bewegungsgleichung fur die Oszillationen
des Permanentmagneten im Kondensator
Oszilliert der Permanentmagnet der Masse
m
aufgrund der antreibenden Kraft
F
a
im Kondensator, so wirken auf ihn zusatzlich zum Antrieb
F
a
die statische
Levitationskraft, die dynamische Levitationskraft
F
dy n
und die Reibungskraft
F
r eib
.
In der folgenden Bewegungsgleichung ndet die statische Levitationskraft, die
der Schwerkraft des Permanentmagneten entgegenwirkt, keine Berucksichtigung.
Sie beein ut die Oszillationen nur in der Weise, als sie die Gleichgewichtslage
des Permanentmagneten im Kondensator festlegt.
Die dynamische Levitationskraft
F
dy n
nennt man auch dynamische Ruckfuhr-
kraft, die man sich als Federkraft vorstellen kann.
Die allgemeine Bewegungsgleichung
mx
=
F
dy n
+
F
r eib
+
F
a
2.1
wobei
x
die vertikale Auslenkung des Permanentmagneten aus seiner Gleich-
gewichtslage darstellt beschreibt die Wechselwirkung des Magneten mit einer
Kondensatorelektrode. Die Bewegungsgleichung fur die Wechselwirkung mit bei-
den Kondensatorplatten besitzt dieselbe Form wie Gleichung 2.1 man erhalt
sie, indem man die jeweiligen Krafte superponiert.
Die
An
triebskraft
F
a
Bei der Versuchsdurchfuhrung wurde der Permanentmagnet immer durch eine
sinusformige Wechselspannung, die an der unteren Elektrode des Kondensators
angelegt wurde siehe Abbildung 4.1, zu Schwingungen angeregt.
Die Antriebskraft
F
a
ist also gegeben durch
F
a
=
F
0
sin
t
+
'
2.2
wobei
F
0
=
q
U
ac
d
,
q
die Ladung des Permanentmagneten,
U
ac
die maximaleAmp-
litude der angelegten Wechselspannung,
deren Kreisfrequenz,
'
ein beliebiger
Phasenwinkel und
d
der Plattenabstand des Kondensators ist.
2.2
Auswirkungen
der
Reibungskraft
auf
die
Sc
h
wingungsfrequenz
11
Die Reibungskraft
F
r eib
Die Reibungskraft, Ursache der Dampfung, besteht aus drei additiven Komponen-
ten, die von der Temperatur abhangen. Sie setzt sich zusammen aus einem Anteil,
der durch Oszillationen von Fluwirbeln innerhalb ihrer Haftzentren im Supralei-
ter hervorgerufen wird, er wachst linear mit der Geschwindigkeitsamplitude des
Magneten. Ein weiterer Anteil, der quadratisch mit der Geschwindigkeitsamp-
litude zunimmt, entsteht durch Fluwirbelbewegungen an der Ober ache des
Supraleiters, die hysteretische Dissipationsverluste verursachen. Schlielich gibt
es noch einen Anteil, der durch thermische Aktivierung der Fluschlauche zu-
stande kommt. Die Dissipationsmechanismen werden ausfuhrlich in Abschnitt
6.2 behandelt.
Da die Reibungskraft praktisch keine Rolle bei dem E ekt der Verschiebung
der Resonanzfrequenz spielt, wird in Abschnitt 2.2 gezeigt.
Die dynamische Ruckfuhrkraft
F
dy n
Die erzielten Ergebnisse zeigen, da es sich im Experiment um ein nichtlineares
Schwingungssystem handelt. Aus der im Experiment gewonnenen Skelettkurve
1
konnte die jeweilige rucktreibende Kraft
F
dy n
mit Hilfe der Theorie des sogenann-
ten Umkehrproblemes in parametrischer Form gewonnen werden. Hiermit konnte
mit Hilfe eines Computers die Kraft fur verschiedene Auslenkungen berechnet
und geplottet werden Abschnitt 6.3.
2.2
Auswirkungen
der
Reibungskraft
auf
die
Sc
h
wingungs-
frequenz
Der Ein u, den die Reibungskraft auf die Schwingungsfrequenz ausubt, ist so
gering, da er im Vergleich zu dem E ekt, den die dynamische Ruckfuhrkraft
verursacht, vernachlassigt werden kann. Um dies zu zeigen, werden die Frequenz-
verschiebungen, die durch den linear und den quadratisch von der Geschwin-
digkeit des Magneten abhangenden Anteil der Reibungskraft verursacht werden,
berechnet. Der lineare Reibungsterm hat die Form
F
l
=
lin
_
x
und der quadra-
tische
F
q
= ~
q uad
j
_
x
j
_
x
=
3
8
q uad
j
_
xj
_
x
. Dabei sind
lin
und
q uad
die in Abschnitt
6.2 ausgewerteten Reibungskoe zienten. Zu ~
q uad
=
3
8
q uad
kommt man, wenn
man bedenkt, da im Resonanzfall die Geschwindigkeit _
x
des Oszillators und die
Antriebskraft
F
a
in Phase sind. Ausgehend vom Ansatz
x
=
A
cos
!
t
der har-
monischen Naherung ist _
x
=
v
sin
!
t
, mit
v
=
A!
und
F
a
=
F
0
sin
!
t
. Im
stationaren Zustand geht man davon aus, da die wahrend eines Schwingungs-
zyklus aufgenommene Energie gleich der durch Reibung dissipierten ist. Dann
1
Als Skelettkurve bezeichnet man die Kurve der maximalen Schwingungsamplituden, die
mit verschiedenem Antrieb erreicht werden, aufgetragen uber den zugehorigen Frequenzen.
12
2. Theoretische Vorbemerkungen
lautet die Energiebilanz
1
T
Z
T
0
F
a
_
x
dt
= 1
T
Z
T
0
F
reib
_
x
dt:
2.3
Hierbei ist
T
=
2
!
die Schwingungsperiode. Setzt man nun die Reibungskraft
F
reib
an als
F
reib
=
F
l
+
F
q
=
lin
_
x
~
quad
j
_
xj
_
x
so erhalt man aus der Energiebilanz 2.3 nach Einsetzen von
F
a
,
F
reib
und _
x
und
einfacher Rechnung
F
0
=
lin
v
+ 83
~
quad
v
2
:
Ein Koe zientenvergleich mit der Anpassung Gleichung 6.7 liefert die oben
erwahnte Beziehung zwischen ~
quad
und
quad
.
Zunachst sieht man sich den linearen Term
F
l
an. In diesem Fall lautet die
Bewegungsgleichung mit
lin
=
lin
m
x
+
lin
_
x
+
!
0
2
x
= 0
:
Gema 6 lautet hierfur die exakte Losung fur die Schwingungsamplitude
x
=
A
cos
!
t
und die Schwingungsfrequenz
!
=
!
0
s
1 14
lin
!
2
:
Bei Oszillator M#2 im schmelztexturierten Kondensator wurde bei
T
= 85K ein
lin
von 26
1
s
ermittelt. Setzt man fur
!
2
380 Hz, so ergibt sich
!
!
0
=
!
!
0
1
2
10
5
:
Im Fall des quadratischen Reibungsterms
F
q
ist die Bewegungsgleichung einer
freien Schwingung mit linearer Federkraft und
quad
=
~
q uad
m
x
+
quad
j
_
x
j
_
x
+
!
0
2
x
= 0
:
Deren Losung fur die Auslenkung erhalt man gema 6 in 2. Naherung zu
x
=
A
cos
!
t
+
quad
A
2
15
sin3
!
t
+ 121 sin5
!
t
:
Die Schwingungsfrequenz wird beschrieben durch
!
=
!
0
1 4
2
quad
A
2
2
0
:
0407
:
2.3 Bestimmung der Ladung des Magneten aus der Resonanzkurve
13
Setzt man wiederum Werte aus einer Messung an Oszillator M#2 bei T=90 K
ein, so erhalt man mit
q uad
1
10
4
1
m
und A=11
m, der bei 90 Kelvin maximal
erreichten Amplitude,
!
!
0
=
!
!
0
1
2
10
4
:
Im Fall des durch thermische Aktivierung verursachten Anteils der Damp-
fungskraft lat sich keine analytische Losung der Bewegungsgleichung angeben,
da die mathematische Gestalt dieser Dampfungskraft nicht bekannt ist. Da sie
sich aber von der Groe gesehen zwischen
F
l
und
F
q
bewegt, so durfte sich auch
ihr Ein u auf die Schwingungsfrequenz in deren Groenordnung bewegen.
Bei den in den obigen Rechnungen eingesetzten Werten handelt es sich um
solche, bei denen der jeweiligeReibungskoe zientaus der Messung maximalwird.
Es handelt sich also bei den berechneten Frequenzabweichungen jeweils um obere
Schranken.
Vergleicht man nun die oben ermittelten Werte mit dem im Experiment bei
vergleichbarer Amplitude ermittelten Wert
!
!
0
0
:
02, so kann der Anteil, der
dabei aus der Dampfung entsteht, vernachlassigt werden.
2.3 Bestimmung der Ladung des Permanentmagneten aus
der Resonanzkurve
In diesemAbschnitt wird aus einer Resonanzkurve
I
f
, die bei einer festen Anre-
gung aufgenommen wurde, die Ladung
q
des Permanentmagneten berechnet. Die
Kenntnis der Ladung ist fur die weitere Auswertung der Medaten unerlalich,
denn man benotigt sie zur Berechnung aller Groen, die von Interesse sind.
Fur die Berechnung der Ladung geht man von der folgenden Bewegungsglei-
chung einer nichtlinearen Schwingung mit linearer Reibung aus:
x
+
lin
_
x
+
!
2
0
x
=
F
0
m
cos
t
x
2
x
3
:
2.4
Dabei sei die Reibungskraft mit der Dampfungskonstante
lin
klein und
F
0
soll
die Amplitude der antreibenden Kraft sein. Be ndet man sich in der Nahe der
Resonanz, d.h. es soll
=
!
0
+
gelten, so ist gema 22 , S.107
=
cA
2
v
u
u
t
F
0
2
m!
0
A
2
lin
2
2
mit
A
der Amplitude der Schwingung und
c
einer Konstanten, die durch die
Koe zienten der Anharmonizitat gegeben ist. Setzt man nun hier die maximal
14
2. Theoretische Vorbemerkungen
mogliche Amplitude 22 , S.108
A
max
=
F
0
m!
0
lin
2.5
ein, so erhalt man
=
cA
2
s
lin
A
max
2
A
2
lin
2
2
:
Die Breite der Resonanzkurve bei
A
=
A
max
=
p
2 ist
!
1
=
p
2
=
lin
v
u
u
u
t
0
@
A
max
1
p
2
A
max
1
A
2
1 =
lin
:
Zusammen mit Gleichung 2.5,
F
0
=
qU
ac
d
und
A
=
d
I
!
j
q
j
ergibt sich der Betrag der Ladung
q
des Permanentmagneten zu
j
q
j
=
d
s
I
max
m
!
1
=
p
2
U
ac
:
2.6
Man bestimmt die Ladung auf diese Weise direkt aus den Megroen Stromsignal
I
, Frequenz
f
=
!=
2
und der angelegten Wechselspannung
U
ac
.
Da die auf diese Weise ermittelte Ladung unemp ndlich gegenuber dem ver-
wendeten Dampfungsgesetz ist, wurde bei der Auswertung in Abschnitt 6.1 auf
Gleichung 2.6 zur Ladungsbestimmung zuruckgegri en. Dort ist auch kurz
erlautert, wie man das Vorzeichen der Ladung erhalt, namlich durch das Messen
der In uenzladung des Magneten.
2.4 Das Umkehrproblem
Da es nicht moglich ist, die rucktreibende Kraft im Experiment direkt zu messen,
ist man darauf angewiesen, sie aus der experimentell ermittelten Skelettkurve zu
bestimmen. Diese Sachlage wird als Umkehrproblem bezeichnet, da man ubli-
cherweise mit Hilfe der bekannten Ruckfuhrkraft Aussagen uber den Verlauf der
Skelettkurve gewinnt.
Bei der theoretischen Losung fuhrt man die neue Variable
z
ein, mit deren
Hilfe man eine Parameterdarstellung der rucktreibenden Kraft
2
f
dyn
=
F
dyn
=m
erhalt. Man de niert
z
:= sign
x
s
2
Z
x
0
f
dyn
u
du:
2.7
2
In diesem Abschnitt wurden sowohl aus der rucktreibenden Kraft, wie auch aus der Energie
die Masse herausdividiert. Die ublichen Bezeichnungen werden aber beibehalten.
2.4 Das Umkehrproblem
15
Physikalisch stellt
z
diejenige Geschwindigkeit dar, bei der der schwingende Per-
manentmagnet eine kinetische Energie besitzt, die der potentiellen Energie bei
der Auslenkung
x
z
entspricht.
Dementsprechend setzt man
h
z
x
:=
f
dy n
x
bzw
:
h
z
:=
f
dy n
z
1
als die von
z
abhangige Ruckfuhrkraft. Quadriert man Gleichung 2.7, di eren-
ziert sie dann nach
x
und setzt
h
z
fur
f
dy n
x
ein ausfuhrlich dargestellt in
30 , so erhalt man schlielich
z
dz
=
h
z
dx
2.8
bzw. integriert
x
z
=
z
Z
0
u
h
u
du:
2.9
Setzt man voraus, da
f
dy n
x
bei
x
= 0 die einzigeNullstellebesitzt, die gleichzei-
tig einfach sein mu, und sign
x
= sign
f
dy n
x
ist dies sind die Bedingungen
fur ein eindeutiges und periodisches
x
, so kann
h
z
auch in der Form
f
dy n
x
=:
h
z
x
=:
z
G
z
+
U
z
2.10
mit
G
z
bzw.
U
z
einer geraden bzw. ungeraden Funktion, dargestellt werden.
Konkret lautet
G
z
:
G
z
= 12
2
6
6
4
T
0 +
z
z
2
2
Z
0
dT
E
dE
p
z
2
2
E
dE
3
7
7
5
:
2.11
Hierbei stellt
T
die Schwingungsdauer und
E
die durch die Masse dividierte
Schwingungsenergie dar. Die ungerade Funktion
U
z
ubt keinen Ein u auf den
Verlauf der Skelettkurve aus. Sie ist verantwortlich fur das Auftreten der zweiten
Harmonischen
3
der Schwingung.
Das Integral, mit dessen Hilfe
G
z
in Gleichung 2.11 berechnet wird, kann
gema 19 analytisch gelost werden, wenn sich
T
E
in der Form
T
E
=
n
X
=0
t
E
2
2.12
3
Die Funktion
U
z
ist allgemein fur das Auftreten aller geraden hoheren Harmonischen
verantwortlich. Im Experiment konnten aber nur Harmonische bis zum dritten Grad detektiert
werden, da dann die Amplituden zu klein wurden, als da sie vom Experiment noch aufgelost
werden konnten.
16
2. Theoretische Vorbemerkungen
schreiben lat. In unserem Fall ist die Schwingungsenergie
E
durch die Kenntnis
der Geschwindigkeitsamplitude
v
gegeben:
E
= 12
v
2
:
Um die Koe zienten
t
aus Gleichung 2.12 zu erhalten, tragt man die Schwin-
gungsdauer
T
direkt uber der Schwingungsenergie
E
auf:
T
E
= 1
f
v
E
=
1
f
p
2
E
:
2.13
Dabei ist
f
die Schwingungsfrequenz des Permanentmagneten. Durch die so er-
haltene Kurve wird nun numerisch eine Anpakurve der Form von Gleichung
2.12 gelegt und man erhalt die
t
als Koe zienten der Anpakurve. Mit Hilfe
dieser Koe zienten besteht nun die Moglichkeit, eine Wertetabelle fur die Kraft
f
dy n
in Abhangigkeit von der Auslenkung
x
zu berechnen.
Um die in Abschnitt 6.3.3 beschriebenen unsymmetrischen Ruckfuhrkrafte
zu erhalten, geht M. Niemetz 30 zur Festlegung der ungeraden Funktion
U
z
davon aus, da
f
dy n
in eine Taylorreihe entwickelbar ist:
f
dy n
=
!
2
0
x
+
x
2
+
x
3
:
2.14
Gema den Gleichungen 2.8 und 2.10 lat sich
f
dy n
auch darstellen als
f
dy n
=
z
x
dz
dx
mit
dz
dx
=
1
G
z
+
U
z
:
Ein Vergleich der ersten und zweiten Ableitung dieser beiden Darstellungen von
f
dy n
an der Stelle
x
= 0 liefert unter Berucksichtigung der Beziehungen
4
U
0 = 0
und
G
0
0 = 0:
f
0
dy n
0 =
G
0
2
=
!
2
0
f
00
dy n
0 = 3
U
0
0
G
0
4
= 2
Den Koe zienten gewinnt man mit Hilfe der zweiten Harmonischen
A
2!
gema
22 aus der Beziehung
A
2!
= 6
!
2
0
A
2
:
Damit ist
U
0
0 = 23
G
0
4
= 4
G
0
4
!
2
0
A
2!
A
2
:
2.15
Man setzt so
U
z
als lineare Funktion
U
z
=
U
0
0
z
2.16
4
Diese beiden Beziehungen gelten aufgrund der Symmetrieeigenschaften von
G
z
und
U
z
.
2.5 Das Dipolmodell
17
an.
Aufgrund ihrer Achsensymmetrie ist
G
an der Stelle
x
= 0 nicht unendlich
oft
5
stetig di erenzierbar und damit in eine Taylorreihe entwickelbar, da
lim
x!0
0
G
0
x
= lim
x!0+0
G
0
x
:
2.17
D.h.
f
00
ist nicht mehr stetig. Im Modell der Taylorentwicklung entspricht dies
verschiedenen Werten von , namlich
+
und , bei positiver und negativer
Auslenkung. Das im Experiment mit Hilfe der zweiten Harmonischen ermittelte
stellt den arithmetischen Mittelwert von
+
und dar. Da die Amplitude der
zweiten Harmonischen nur durch diesen Mittelwert beein ut wird, wird auch
U
0
0 dadurch bestimmt.
Die Bedingung
G
0
0 = 0, die oben beim Bilden der zweiten Ableitung von
f
dy n
benutzt wurde, gilt nun nicht mehr und es ist
lim
x!00
f
00
dy n
x
= 3
U
0
0 + lim
x!00
G
0
x
G
0
4
= 2
:
Bildet man nun jeweils auf jeder Seite den Mittelwert, so erhalt man aufgrund
der Symmetrie, die aus Gleichung 2.17 hervorgeht, das gleiche Ergebnis, das
oben fur taylorentwickelbare Funktionen erhalten wurde.
Eine ausfuhrlichere theoretische Darstellung des Umkehrproblems ndet man
in 21 und 30 .
2.5 Das Dipolmodell
In der experimentellen Anordnung be ndet sich der Permanentmagnet oft in der
Nahe der Mitte zwischen den supraleitenden Kondensatorplatten. Sein Magnet-
feld an deren Ober ache ist in diesem Fall kleiner als das untere kritische Feld
B
c
1
.
Deshalb kann es nicht in den Supraleiter eindringen, es wird durch induzierte Ab-
schirmstrome daran gehindert. Diese Abschirmstrome ieen an der Ober ache
des Supraleiters innerhalb einer Schicht der Dicke
Londonsche Eindringtiefe,
die von der Temperatur abhangt.
Mit den in Abbildung 2.1 verwendeten Bezeichnungen ergibt sich das Magnet-
feld auf der Ober ache des Supraleiters gema 18 zu
H
x
= 3
M
0
4
r
5
xy
cos
hx
sin
2.18
H
y
= 3
M
0
4
r
5
y
2
1
3
r
2
cos
hy
sin
2.19
wobei
r
2
=
x
2
+
y
2
+
h
2
und
M
0
das Dipolmoment des Permanentmagneten ist.
Bei dem hier verwendeten Modell des Spiegeldipols wird angenommen, da die
5
Hier
wird
n
ur
b enotigt,
da
die
zw
eite
Ableitung
v
on
f
dy n
no c
h
stetig
ist.
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