Theorie und Unterrichtspraxis der Prozentrechnung

Gliederung

A) Abbildungsverzeichnis

B) Verzeichnis der Anhänge

C) Theorieteil
1. Einleitung
2. Die Geschichte der Prozentrechnung
2.1. Erste Ansätze
2.2. Wort- und Symbolherkunft
3. Prozentrechnung: Eine Sachanalyse
3.1. Prozentrechnung als Spezialfall der Bruchrechnung
3.2. Prozentrechnung als Spezialfall der Schlussrechnung
3.3. Die drei Grundaufgaben
3.3.1. Berechnung des Prozentwertes
3.3.2. Berechnung des Grundwertes
3.3.3. Berechnung des Prozentsatzes
4. Aktuelle Studien zu Kompetenzen & Gewichtung der Prozentrechnung
4.1. Erkenntnisse aus PISA und TIMSS
4.2. Ergebnisse der Untersuchung von Christina Völkl-Wolf
4.3. Erkenntnisse aus der Bildungsstudie Deutschland 2007
5. Prozentrechnung im Alltag
5.1. Relevanz für bestimmte Berufsfelder
5.2. Alltagsproblematik
6. Prozentrechnung in der Hauptschule
6.1. Einführung in den Prozentbegriff
6.2. Methoden zur Berechnung der 3 Grundaufgaben
6.2.1. Dreisatzmethode
6.2.2. Operatormethode
6.2.3. Formel
6.2.4. Vergleich der 3 Methoden
6.3. Typische Schülerfehler bei der Berechnung
6.4. Prozentrechnung im Lehrplan
7. Zusammenfassung

D) Praxisteil
1. Schulprofil
2. Charakteristika der unterrichteten Klasse
3. Lehrplanbezug
4. Lernvoraussetzungen der Schüler
5. Die erste Unterrichtsstunde
5.1. Methodisch-didaktische Vorüberlegungen
5.2. Lernziele
5.3. Geplanter Unterrichtsverlauf
5.4. Reflexion
6. Die zweite Unterrichtsstunde
6.1. Methodisch-didaktische Vorüberlegungen
6.2. Lernziele
6.3. Geplanter Unterrichtsverlauf
6.4. Reflexion
7. Auswertung der Tests
7.1. Der erste Test
7.2. Der zweite Test
7.3. Beurteilung und Vergleich der Ergebnisse
7.4. Betrachtung der Schülerfehler
8. Auswertung des Lehrerzeugnisses
9. Zusammenfassung

E) Quellenverzeichnis

F) Anhang

A) Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Aufgabe K6 der TIMS-Studie

Abbildung 2: Lösungswahrscheinlichkeit der Aufgabe K6

Abbildung 3: Aufgabe O2 der TIMS-Studie

Abbildung 4: Lösungswahrscheinlichkeit der Aufgabe O2

Abbildung 5: Lösungsquoten der Aufgaben (in %)

Abbildung 6: Aufgabe „Verdreifachen“ mit Lösungshäufigkeit

Abbildung 7: Vermittlung Allgemeinwissen durch die Schule (Auszug)

Abbildung 8: Zufriedenheit mit der schulischen Vermittlung (Auszug)

Abbildung 9: Falsche grafische Darstellung

Abbildung 10: Absoluter und relativer Vergleich

Abbildung 11: Bruch und Prozent

Abbildung 12: Vergleich von Bruch, Dezimalbruch, Prozent

Abbildung 13: Prozentsätze darstellen

Abbildung 14: Prozentsätze darstellen: Säulendiagramm

Abbildung 15: Prozentsätze darstellen: Kreisdiagramm

B) Verzeichnis der Anhänge

Anhang 1: Artikulationsschema zur 1. Doppelstunde

Anhang 2: Überarbeitetes Artikulationsschema zur 1. Doppelstunde

Anhang 3: Karten für die Tafel (verkleinert)

Anhang 4: Folie 1 – Berechnung des Prozentwertes

Anhang 5: Folie 2 – Berechnung des Grundwertes

Anhang 6: Folie 3 – Berechnung des Prozentsatzes

Anhang 7: Lerntheke (Stufe 1)

Anhang 8: Lerntheke (Stufe 2)

Anhang 9: Lerntheke (Stufe 3)

Anhang 10: Lerntheke (Stufe 1) Lösung

Anhang 11: Lerntheke (Stufe 2) Lösung

Anhang 12: Lerntheke (Stufe 3) Lösung

Anhang 13: Artikulationsschema zur 2. Doppelstunde

Anhang 14: Überarbeitetes Artikulationsschema zur 2. Doppelstunde

Anhang 15: Stationentraining (Aufgaben)

Anhang 16: Stationentraining (Lösung)

Anhang 17: Stationentraining (Laufzettel)

Anhang 18: 1. Test

Anhang 19: 2. Test

Anhang 20: Zeugnis

Anhang 21: Urkunde

C) Theorieteil

1. Einleitung

Prozentrechnen gehört wohl zu dem Themenbereich, der für unsere Schüler den größten Alltagsbezug hat. Belegen lässt sich dies auch durch zahlreiche Untersuchungen: Eckert (1980) und Stollberg (1981) haben beispielsweise bei der Analyse unterschiedlicher Tageszeitungen herausgefunden, dass das Thema Prozent auf jeder Seite durchschnittlich etwa sechsmal in irgendeiner Form vorkommt. Davon vor allem im Wirtschafts- und Politikteil. Außerdem hat das Prozentrechnen auch im Berufsleben entscheidende Bedeutung. Wolf (1973) fragte dazu 80 Berufstätige, welche mathematischen Kenntnisse aus der Schule sie in ihrem Beruf tatsächlich bräuchten. Von den 40%, die mathematisches Wissen benötigten, gaben die meisten das Prozentrechnen an. Was nun für unsere Schüler^[1] besonders wichtig ist, sind die Einstellungstests der Betriebe. Allgemein lässt sich sagen, dass fast alle Betriebe das Beherrschen der Prozentrechnung voraussetzen. Schulz (1988) hat dazu etwa 600 betriebliche Ausbilder gebeten, die verschiedenen Teilgebiete der Mathematik nach ihrer Bedeutung für die betriebliche Ausbildung zu ordnen. Das Prozentrechnen landete dabei auf Platz zwei hinter den Grundrechenarten. Konkret auf Einstellungstests bezogen fand Mäder (1977) beim Vergleich von sechs Betrieben heraus, dass die Tests bei kaufmännischen Betrieben zu 25% aus Prozent- und Zinsrechnung bestehen. Selbst bei handwerklichen Betrieben wird sie noch mit 8% berücksichtigt (Berger 1989: S.1-2). Auf die Relevanz der Prozentrechnung in den einzelnen Berufsfeldern wird später genauer eingegangen. Somit wird deutlich, dass man dieses mathematische Gebiet nicht nur beim Vergleichen von Preisen im Supermarkt braucht. Vielmehr ist es ein wichtiger Bestandteil für ein erfolgreiches Leben. Deswegen ist eine ausführliche Behandlung und regelmäßige Wiederholung in der Schule unabdingbar.

Die nachfolgende Arbeit soll nun zunächst die theoretischen Grundlagen der Prozentrechnung vermitteln. Dabei wird neben der Geschichte auch auf aktuelle Studien zur Prozentrechnung eingegangen. Außerdem wird das Prozentrechnen im Alltag und in der Schule dargelegt. Der darauffolgende Praxisteil soll zwei Unterrichtsbeispiele zum effektiven Üben der Prozentrechnung liefern. Der dadurch erreichte Lernfortschritt soll durch einen kurzen Test belegt werden.

2. Die Geschichte der Prozentrechnung

Die Prozentrechnung wird genutzt, um einen relativen Vergleich zweier Mengen herzustellen. Dabei wird der Prozentbegriff in der Literatur ganz unterschiedlich aufgefasst: als Spezialfall der Schluss- oder Bruchrechnung (Strehl 1979: 119/120), als „standardized ratio comparison that is often used to describe relative amounts of increase and decrease“ (Parker 1997: 406), zur Beschreibung quantitativer Beziehungen (Breinlinger/Schlesinger 1983: 44) oder auch als Operator, der zwei Größen miteinander verknüpft (Kilian 1977: 68). Das Rechnen in Prozent ermöglicht die Angabe von Zahlenverhältnissen, also keine absoluten Zahlen, sondern nur abstrakte Größen, die man vergleichen kann. Diese beziehen sich auf einen bekannten oder unbekannten Grundwert. Und eben durch diese Abstraktion kann sie in vielen alltäglichen Bereichen zum Einsatz kommen: Im Bank- oder Finanzwesen wenn es um Steuern oder Zinsen geht, bei Statistiken während eines Fußballspiels oder bei Umfrage- und Wahlergebnissen oder auch in der Chemie oder Physik, wenn es um Zellwachstum, Flüssigkeitsgemische oder Wachstums- und Zerfallsprozesse geht.

2.1. Erste Ansätze

In den heutigen Schulbüchern wird den Schülern vermittelt, dass das Wort Prozent aus dem lateinischen pro centum (vgl. z.B. Formel 7 2007: 23) oder dem italienischen pro cento kommt und die Vermutung liegt somit nahe, dass die Wurzeln der Prozentrechnung in Italien liegen könnten. Einige verbinden sie mit der Zeit des Kaisers Augustus.

Tatsächlich stammen die ersten Ideen der Prozentrechnung aus der Zeit der Babylonier. Damals, etwa 2100 vor Christus, gaben sie bereits Zinssätze in Form von Brüchen an. Die Law of Hammurabi schrieb damals vor, dass der Zins einer geliehenen Menge Getreide 1/3 betrug. Die geliehene Menge wurde also in drei gleichgroße Teile geteilt, wobei einer dieser Teile der zu zahlenden Zinsen entsprach. Hierbei ging es jedoch noch nicht um Verhältnisrechnungen, sondern es beruhte lediglich auf der Äquivalenz von Mengen (Parker/Leinhardt 1995: 429). Erste konkretere Hinweise für die Berechnung „nach Hundert“ lassen sich ebenfalls in der babylonischen Zeit finden. Damals war von einer Aufgabe die Rede, bei der der Anteil der Lämmer prozentual zur gesamten Herde ausgedrückt wurde (Tropfke 1980: 530). Ebenso kann man erste Vorläufer der Prozentrechnung in Indien finden. Um 700 vor Christus wurde in der indischen Grammatik Regeln für die Nachsilbe ka verfasst. So bedeutete beispielsweise panca satam „fünf Hundert“. Fügte man die Nachsilbe ka hinzu, wurde daraus pancakam satam, was so viel bedeutet wie „fünf in Hundert“. Daraus kann man schließen, dass man bereits mit relativen Vergleichen gearbeitet hat und die Zahl 100 als Vergleichsgröße benutzt wurde (Berger 1989: 7), ganz in der Tradition der heutigen Prozentrechnung. Den italienischen Kaiser Augustus (63 v.Chr. – 14 n.Chr.) zu nennen ist dennoch nicht verkehrt. Im römischen Reich wurden zu seiner Regierungszeit ebenfalls Hundertstelbrüche verwendet, um Steuern festzusetzen. Als im Mittelalter die Bedeutung des Geldes wuchs, wurde die Zahl 100 zur allgemeinen Berechnungsgrundlage. Außerdem wurden die Anwendungsgebiete der Prozentrechnung um die Berechnung von Zinsen, Verlusten und Gewinnen erweitert (Berger 1989: 8). Die Entwicklung der Prozentrechnung, wie wir sie heute kennen, begann jedoch erst ab 1860 (Parker/Leinhardt 1995: 434). Seitdem hat sie Einkehr in mehr und mehr Berufsfelder gefunden (vgl. Abschnitt 5.1.).

2.2. Wort- und Symbolherkunft

Das Wort perceto taucht zum ersten Mal in Italien im Jahre 1481 auf (Parker/Leinhardt 1995: 431). Es hat sich zu pro cento weiterentwickelt und ist im 17. Jahrhundert zu procento verschmolzen. Das daraus abgeleitete deutsche Wort „Prozent“ findet erstmals im 18. Jahrhundert Erwähnung (Tropfke 1980: 531).

Das Prozentsymbol „%“, so wie wir es heute kennen, kommt ursprünglich ebenfalls aus Italien. Lange Zeit wurden Rechenaufgaben nicht durch Symbole sondern nur durch Worte ausgedrückt. Nachdem das Wort pro cent o im 17. Jahrhundert zu procento verschmolz und auch offiziell anerkannt wurde, wurde es in den mittelalterlichen italienischen Handschriften häufig durch p.c., p cento, p 100 oder pc° abgekürzt. Ebenso üblich war . Aus entstand vermutlich aus drucktechnischen Gründen in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts das Symbol . Somit wurde oft per und pro verwendet. Später wurde das per und pro nur noch durch p abgekürzt und schließlich wurde es in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts ganz weggelassen. In der Folgezeit des 19. Jahrhunderts wurde dann allmählich der Bruchstrich in schräg gesetzt, sodass unser heute geläufiges %-Symbol entstand (Tropfke 1980: 532).

3. Prozentrechnung: Eine Sachanalyse

Im nachfolgenden Textabschnitt soll nun Klarheit in das „Definitionschaos“ (Berger 1989: S.10) Prozentrechnung gebracht werden. Sie soll als Spezialfall der Bruch- sowie der Schlussrechnung dargestellt werden. Außerdem werden die drei Grundaufgaben und ihre Lösungsmöglichkeiten gezeigt.

3.1. Prozentrechnung als Spezialfall der Bruchrechnung

Für das oben bereits auftauchende Symbol p% kann man genauso den Bruch schreiben. Also entspricht p% einer Bruchzahl mit dem Nenner 100 und dem Zähler p. Ebenso wie der Bruchoperator × einer Größe ihren m-fachen n-ten Teil zuordnet, ordnet auch dieser Prozentoperator × einer Größe ihren p-fachen 100-ten Teil zu. Diese Ausgangsgröße wird als Grundwert G bezeichnet und die Größe, die ihr zugeordnet wird, nennt man Prozentwert P. Der Zähler des Bruches , also p, wird Prozentsatz genannt. Hier noch einmal zusammengefasst nach Strehl (1979):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Strehl 1979: S.119)

Man sieht also, dass sich der Prozentoperator ebenso verhält wie der Bruchoperator. Er bildet nämlich einen Größenbereich auf sich selbst ab. In der Schule ist dieser Prozentoperator besser bekannt unter dem Namen Prozentsatz (Strehl 1979: S.119-120). Mathematisch lässt sich der Begriff Größenbereich wie folgt definieren:

Ist G eine Menge, auf der eine innere Verknüpfung + und eine strenge Ordnungsrelation < erklärt sind, so nennt man (G,+,<) einen Größenbereich, wenn für alle x,y,z ϵ G folgendes gilt:

1. (x+y)+z=x+(y+z) (Assoziativgesetz der Addition)
2. x+y=y+x (Kommutativgesetz der Addition)
3. Es gilt genau einer der Fälle x<y, y<x oder x=y (Trichotomiegesetz)
4. x<y gilt genau dann, wenn es ein z ϵ G gibt, für das x+z=y gilt

(Lösbarkeitsgesetz).

(Groß 2011: Kapitel 4 „Größen“, Folie 42)

Die in der Schule behandelten Größenbereiche der Flächeninhalte, Rauminhalte, Geldwerte, Längen, Gewichte und Zeitspannen sind Beispiele für so eine Struktur eines mathematischen Größenbereichs.

3.2. Prozentrechnung als Spezialfall der Schlussrechnung

Als Schlussrechnung werden Aufgaben bezeichnet, bei denen von drei gegebenen Größen aus, auf eine vierte unbekannte Größe geschlossen werden muss. Viele Aufgaben zu proportionalen Funktionen sind nach diesem Prinzip aufgebaut (Groß 2011: Skript 8 „Funktionen“, Folie 23). Neben dem Prozentoperator kann man nun also auch eine andere Zuordnung betrachten, nämlich die eben erwähnte proportionale Zuordnung/Funktion:

(Proportionale) Funktionen sind Abbildungen zwischen Mengen (Schreibweise: f: A à B), bei denen jedem Element aus der linken Menge (A), genau ein Element aus der rechten Menge (B) zugeordnet wird. Speziell die proportionalen Funktionen weisen zudem noch folgende beiden Eigenschaften auf:

1. Summeneigenschaft

Eine Abbildung f: G1 à G2 zwischen zwei Größenbereichen G1 und G2 heißt proportionale Funktion, wenn folgende Gleichung für alle x,y ϵ G1 erfüllt ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel: Eine Kugel Eis kostet 60 Cent.

Wertetabelle:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Laut Summeneigenschaft gilt hier f(1 + 2) = f(1) + f(2), also f(3) = f(1) + f(2). Da f(3) hier 180 Cent entspricht und sich dies aus f(1) = 60 Cent und f(2) = 120 Cent zusammen addiert, ist die Summeneigenschaft erfüllt.

2. Vervielfachungseigenschaft

Eine Abbildung f:G1 à G2 zwischen zwei Größenbereichen G1 und G2 heißt proportionale Funktion, wenn folgende Gleichung für alle x ϵ G1 und alle q = ϵ Q+ erfüllt ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Groß 2011: Kapitel 8 „Funktionen“, Folie 15/16)

Beispiel: Eine Kugel Eis kostet 60 Cent.

Wertetabelle:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier wird in der zweiten Zeile die Anzahl der Kugeln verfünffacht. Laut Vervielfachungseigenschaft gilt somit f(5 × 1) = 5 × f(1), also f(5) = 5 × f(1). Beide Seiten der Gleichung sind äquivalent, da sowohl f(5) als auch 5 × f(1) 300 Cent entspricht. Also ist auch die Vervielfachungseigenschaft erfüllt.

Nehmen wir nun also die proportionale Zuordnung f: G0 à Q+, die einen Größenbereich G0 in die Menge Q+ der positiven rationalen Zahlen abbildet. Dabei wird einem gegebenen Grundwert G die Zahl 1, also 100% zugeordnet. Nun muss man sich fragen, welche Zahl p% dem Prozentwert P zugeordnet wird. Aus der Vervielfachungseigenschaft der direkt proportionalen Funktionen ergibt sich die Ausgangsgleichung:

P = G × und daraus folgt p% = 100% × und da 100% = 1 entspricht ergibt sich also: p% = .

Schematisch lässt sich dies wie folgt festhalten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Strehl 1979: S.120)

Analog dazu kann man auch dem Grundwert G die Zahl 100 und dem Prozentwert P die Zahl p zuordnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Strehl 1979: S. 121)

Somit wurde die Prozentrechnung auf die Schlussrechnung zurückgeführt. Dies ermöglicht, alle Lösungsverfahren für die Schlussrechnung auch auf die Prozentrechnung anzuwenden. Dazu zählen unter Anderem der Zwei- und der Dreisatz, die Tabellen sowie die Quotienten- und Verhältnisgleichungen. Hier ein kurzer Blick auf die Quotientengleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Unterschied zur Schlussrechnung, bei der diese Division zu zusammengesetzten Größen führt wie zum Beispiel € pro kg, handelt es sich bei der Prozentrechnung stets um eine einfache Division. P und G haben dabei die gleiche Einheit und ihre Division führt im Sinne des Aufteilens oder Messens auf eine Zahl wohingegen die Quotienten P : p und G : 100 Divisionen im Sinne des Verteilens darstellen (Strehl 1979: S.121).

3.3. Die drei Grundaufgaben

Die Prozentrechnung weist drei Problemstellungen auf, wie sie in Sachaufgaben auftauchen können. Nun sollen verschiedene Möglichkeiten aufgezeigt werden, die drei Grundaufgaben zu lösen. Es ist als Lehrer wichtig, nicht nur einen Lösungsweg anzubieten. Vielmehr soll sich der Schüler selbst die Methode auswählen, die ihm am besten gefällt.

3.3.1. Berechnung des Prozentwertes

Bei der ersten Grundaufgabe ist die Ausgangsgröße und der Operator gegeben. Gesucht ist die zugeordnete Größe. Sie hat folgendes Schema, das bereits aus Abschnitt 3.1. bekannt ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gegeben sei nun eine einfache Aufgabe, in der der Prozentwert gesucht wird:

Aufgabe: Wie viel sind 15% von 550 Euro?

Gegeben sind hier der Grundwert G = 550 € sowie der Prozentsatz p = 15%.

a) Lösung als Tabelle

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei beiden Ansätzen ergibt sich die Lösung im rechten untersten Feld. Wie oben bereits erwähnt wird, entspricht der Grundwert G 100%. Es wird auch von einer Eigenschaft der direkten Proportionalität Gebrauch gemacht (Vervielfachungseigenschaft).

c) Lösung mit der Formel

Die Formel kann man aus der letzten Zeile des Dreisatzes und der Tabelle ablesen (fett gedruckt). Für den Prozentwert gilt hier P = 550 € : 100 × 15. Verallgemeinert ergibt dies:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

d) Lösung mit dem Hunderterblatt (Prozentblatt)

Hierbei wird den Schülern ein Blatt mit 100 gleichgroßen Kästchen vorgelegt und anhand dessen wird berechnet:

Alle 100 Kästchen entsprechen dem Grundwert G = 550 €, also 100%. Jedes Kästchen ist folglich 1%. Ein Kästchen entspricht also dem 100sten Teil von 550 €. Somit ist also 1 K. ≙ 1% ≙550 € : 100. Ein Kästchen entspricht also 5,50 € ≙1%. Da 15% gesucht sind, muss man die 5,50 € noch mal 15 nehmen. 1% ≙550 € : 100 = 5,50 €

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

e) Lösung mit der Operatormethode

Diese Methode erweist sich als sehr schnell mit dem Taschenrechner zu bewältigen, ist jedoch für Schüler nicht so einfach zu durchschauen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Bruch wird üblicherweise als Dezimalbruch geschrieben, um ihn schneller im Taschenrechner eingeben zu können.

3.3.2. Berechnung des Grundwertes

Die zweite Grundaufgabe hat folgendes, aus Abschnitt 3.1. bekanntes Schema – hier ist die Ausgangsgröße gesucht und der Operator und die zugeordnete Größe gegeben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gegeben sei auch hierzu eine einfache Aufgabe, bei der der Grundwert gesucht und der Prozentwert und Prozentsatz gegeben sind.

Aufgabe: 15% entsprechen 82,50 €. Wie hoch ist der Grundwert?

a) Lösung mit der Tabelle

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In unserem konkreten Beispiel wäre die Rechnung 82,50 € : 0,15 = 550 €. Der Einfachheit halber wird hier der Bruch erneut als Dezimalbruch geschrieben.

3.3.3. Berechnung des Prozentsatzes

Auch hier wird wieder Bezug zu dem Schema aus Abschnitt 3.1. genommen – die Ausgangs- und die zugeordnete Größe sind gegeben und der Operator ist gesucht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auch hier betrachten wir eine einfache Aufgabe, bei der der Grundwert und der Prozentwert gegeben sind. Nun ist der Operator gesucht.

Aufgabe: Wie viel Prozent von 550 € sind 82,50 €?

a) Lösung mit der Tabelle

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wieder wird hier die Vervielfachungseigenchaft der direkten Proportionalität genutzt. Im Unterschied zu den oberen beiden Grundaufgaben wird bei der Berechnung des Prozentsatzes aber nicht von 1% aus weitergerechnet, sondern von dem Grundwert 1 €.

c) Berechnung mit der Formel

Die Formel ist erneut aus dem Dreisatz und der Tabelle ersichtlich (rechts unten). Hier ist p = 100 : 550 € × 82,50. Allgemein gilt also p = 100 : G × P. Etwas umgestellt entspricht dies der vertrauteren Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ebenso kann man natürlich auch eine der oberen Formeln umstellen. Hier zum Beispiel die Formel für den Prozentwert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(P. Kirsche 27.06.2011, Uni Augsburg)

Auf einige dieser Lösungswege wird später nochmals unter Punkt 6 „Prozentrechnung in der Hauptschule“ eingegangen.

4. Aktuelle Studien zu Kompetenzen & Gewichtung der Prozentrechnung

Nachdem nun die Grundlagen geklärt wurden, soll im in diesem Abschnitt der Bildungsstand der Schüler hinsichtlich der Prozentrechnung dargelegt werden. Der „Pisa-Schock“ (z.B. Internet: Süddeutsche Zeitung) hatte bereits die Bildungsdefizite der deutsche Schüler aufgezeigt. Im Folgenden soll nun diese Studie, neben drei anderen, im Hinblick auf Prozentrechnung untersucht und dargestellt werden.

4.1. Erkenntnisse aus PISA und TIMSS

Bei der internationalen PISA-Studie aus dem Jahr 2000 waren lediglich 2 von 31 Aufgaben zur Proportionalität und Prozentrechnung gestellt. Das entsprach etwa 6% der Aufgaben. Bei den sogenannten PISA-E-Tests von 2000 auf nationaler Ebene waren es 15 von 86 Aufgaben und somit stolze 17%. Die Ergebnisse und Erfolgsquoten dieser Aufgaben sind leider nicht einsehbar, da nur ein kleiner Teil der PISA-Aufgaben öffentlich gemacht wurden. Von den Tests 2003 liegen wiederum überhaupt keine Erkenntnisse über die Aufgabentypen vor (Völkl-Wolf 2010: S.19). Somit lassen sich aus dieser Studie nur sehr wenige Schlüsse über die Kompetenz der Schüler in der Prozentrechnung ziehen. Dennoch kann man bereits festhalten, dass Prozentrechnung, gerade auf nationaler Ebene, ein wichtiger Bestandteil war.

Etwas genauere Ergebnisse lässt die TIMS-Studie zu. Diese wurde bereits 1995 und 1996 an ungefähr 130 Schulen mit über 5.000 Schülern in Deutschland durchgeführt. Insgesamt waren 500.000 Schüler aus 46 Ländern beteiligt. Sie brachte die Erkenntnis, dass Deutschland im Bereich der mathematischen Grundbildung nur im unteren Mittelfeld landete. Von den veröffentlichten Aufgaben stammen nur zwei aus dem Bereich der Prozentrechnung. Für die eine Aufgabe muss man den Prozentwert berechnen und anschließend den neuen Grundwert ermitteln. Ferner mussten die Teilnehmer erkennen, dass hier von einem erhöhten Grundwert ausgegangen werden muss:

Abb. 1. Aufgabe K6 der TIMS-Studie

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Baumert u.a. o.J.: S.82)

Die richtige Antwort ist D. Die Lösungswahrscheinlichkeit unterscheidet sich je nach Klassenstufe wie folgt:

Abb. 2. Lösungswahrscheinlichkeit der Aufgabe K

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Baumert u.a. o.J.: S.82)

Wie in der dritten und vierten Zeile ersichtlich, haben nur 43% der Siebtklässler und 53% der Achtklässler diese Aufgabe richtig beantwortet. Somit hat nur maximal jeder zweite korrekt geantwortet.

Die zweite Aufgabe erfordert die Berechnung des Prozentsatzes bei erhöhtem Grundwert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3. Aufgabe O2 der TIMS-Studie

(Baumert u.a. o.J.: S.90)

Die richtige Antwort ist C. Hier die Verteilung der Lösungswahrscheinlichkeiten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4. Lösungswahrscheinlichkeit der Aufgabe O

(Baumert u.a. o.J.: S.90)

Bei dieser Aufgabe haben die deutschen Schüler sogar noch schlechter abgeschnitten. Lediglich jeder dritte Achtklässler hat richtig geantwortet. Von den Siebtklässlern gerade mal 27%.

Leider kann auch die TIMS-Studie keine repräsentativen Aussagen über die Kompetenz der deutschen Schüler bei der Prozentrechnung geben, da nur zwei veröffentlichte Aufgaben zu diesem Thema vorliegen. Dennoch sind bei den obigen Beispielen Defizite erkennbar.

4.2. Ergebnisse der Untersuchung von Christina Völkl-Wolf

In ihrer 2010 erschienen Doktorarbeit „Internetgestützte Untersuchung zu Kompetenzen in der Prozentrechnung bei Erwachsenen und Jugendlichen“ untersucht Christina Völkl-Wolf in erster Linie die Repräsentativität der Online-Befragung für mathematische Studien. Dennoch lassen sich daraus, aufgrund der Thematik der Befragung, Rückschlüsse auf die Fähigkeiten der Schüler in Sachen Prozentrechnung ziehen, da alle Aufgaben die Prozentrechnung thematisieren. Hier nun ein Blick auf die Lösungsquoten aller Aufgaben der Studie:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 5. Lösungsquoten der Aufgaben (in %)

(erstellt nach Völkl-Wolf 2010: S160)

Es ist zu erkennen, dass bis auf die erste Aufgabe „Verdreifachen“ und die letzte Aufgabe „Kreisdiagramm“, gute bis sehr gute Lösungsquoten erzielt wurden. Man betrachte nun die vermeintlich schwierigste Aufgabe „Verdreifachen“, entnommen aus dem Jahrgangsstufentest der 9. Klassen 2003 an Realschulen in Bayern:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 6. Aufgabe „Verdreifachen“ mit Lösungshäufigkeit

(Völkl-Wolf 2010: S.162)

Es ist zu sehen, dass nur 39% die richtige Antwort „200%“ angegeben haben. Schaut man sich die prozentuale Verteilung der Antworten der Schüler und Erwachsenen an, ergibt sich folgendes Bild: Nur 22% der Schüler, jedoch 43% der Erwachsenen haben korrekt angeklickt. Dieses Ergebnis spiegelt sich in allen weiteren Aufgaben wider. Die Erwachsenen haben durchgehend prozentual besser abgeschnitten als die Schüler. Jedoch kann man nicht sagen, wie oben zu sehen, dass die Schüler nun „schlecht“ im Prozentrechnen sind. Die meisten Lösungsquoten liegen schließlich zwischen 80% und 90%.

Wie kommt es nun, dass Erwachsene besser abschneiden, obwohl ihre Schulzeit schon länger her ist? Tatsache ist, dass sie häufig in ihrem Beruf oder im Alltag mit Prozentrechnung in Berührung kommen. Sei es nun beim Einkaufen, bei der Berechnung von Versicherungsprämien oder der Ermittlung von Zinsen. Dadurch, dass sie sich mit diesen Problemen auseinandersetzen müssen, eignen sie sich diese im Alltag notwendige Mathematik an und können somit schulische Defizite oder Verlerntes kompensieren – frei nach dem „learning by doing“ Prinzip. Somit ist aus schulischer Sicht festzuhalten, dass man Prozentrechnung auch für Schüler so alltagsbezogen und enaktiv wie möglich vermitteln sollte, damit sie im späteren Alltag und Berufsleben einen leichteren Einstieg finden (Völkl-Wolf 2010).

4.3. Erkenntnisse aus der Bildungsstudie Deutschland 2007

Die Ergebnisse sollen nun an zwei Grafiken dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 7. Vermittlung Allgemeinwissen durch die Schule (Auszug)

(Bildungsstudie 2007)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 8. Zufriedenheit mit der schulischen Vermittlung (Auszug)

(Bildungsstudie 2007)

Die Bildungsstudie Deutschland 2007 zeigt den direkten Vergleich der Meinungen von Eltern, Lehrern und Personalverantwortlichen auf. Abbildung 7 zeigt, wie wichtig einzelne Fähigkeiten angesehen werden. Hierbei wird die deutsche Sprache von allen drei Gruppen als am Wichtigsten eingestuft. Dicht dahinter kommen bereits die Grundrechenarten und die Mathematik. Es zeigt sich also, wie enorm relevant das Rechnen und somit auch das Prozentrechnen ist. Abbildung 8 erläutert nun, wie zufrieden die Eltern, Lehrer und Personalverantwortlichen mit der schulischen Vermittlung sind. Entscheidend für die Schüler und ihr späteres Berufsleben ist hierbei die Meinung der Personalverantwortlichen. Diese sind nämlich sehr unzufrieden mit der Vermittlung der Grundrechenarten und der mathematischen Inhalte.

Zusammenfassend kann man also festhalten, dass unsere Schüler laut Christiane Völkl-Wolf gar nicht so schlecht im Prozentrechnen sind. Dies bestätigt auch die relative Zufriedenheit der Eltern und Lehrer mit der schulischen Vermittlung (siehe Abbildung 8). Geht es aber um das Berufsleben und somit um die aktive Anwendung von Mathematik und eben auch Prozentrechnung in realen Situationen, zeigen die Grafiken anhand der Meinungen der Personalverantwortlichen, dass erheblicher Nachholbedarf herrscht.

5. Prozentrechnung im Alltag

Die Ergebnisse der Bildungsstudie Deutschland 2007 haben bereits gezeigt, wie wichtig Mathematik von Personalverantwortlichen eingestuft wird und wie unzufrieden diese mit ihrer schulischen Vermittlung sind. Wenn also die Schüler den Lehrer wieder einmal fragen: „Wofür brauchen wir das später?“, kann dieser gerade für das Prozentrechnen einige schlagende Argumente liefern denn es gibt zahlreiche Berufe, die täglich Kontakt mit dem Rechnen in Prozenten haben. Außerdem kommen Prozente häufig in den Medien zum Einsatz, zur Veranschaulichung, aber auch zur Verwirrung oder Täuschung.

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^[1] Mit „Schüler“ sind stets auch Schülerinnen gemeint. Dies dient lediglich der einfacheren Lesbarkeit.