Die Zahlbereichserweiterung zu den Rationalen Zahlen. Einführung, Erläuterung, Beweise und Herleitung.
Die ganzen Zahlen haben die Eigenschaft, dass jede Additionsgleichung mit Koeffizienten
aus Z lösbar ist. Bei der Definition der rationalen Zahlen geht es nun darum,
eine Entsprechung für Multiplikationsgleichungen zu finden. Nachfolgend wollen wir
in die rationalen Zahlen einführen und den Umgang mit diesen deutlich machen. Wir
halten uns dabei stark an REISS/SCHMIEDER (2007) und verweisen auf deren Publikation
Inhaltsverzeichnis
- Grundlegendes zu den rationalen Zahlen.
- Äquivalenzrelation: Beweise.......
- Dazu ein Beispiel.
- Definition der rationalen Zahlen
- Veranschaulichung als Äquivalenzklassen
- Definition der Addition und Multiplikation
- Rechenregeln: Beweise......
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Zielsetzung des Textes ist die Einführung der rationalen Zahlen und die Erläuterung des Umgangs mit diesen. Der Text bezieht sich stark auf REISS/SCHMIEDER (2007) und setzt voraus, dass die natürlichen Zahlen aus den Peano-Axiomen entwickelt wurden und die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen hergeleitet wurden.
- Definition und Eigenschaften der rationalen Zahlen
- Die Rolle der Multiplikationsgleichungen
- Äquivalenzrelationen und deren Eigenschaften
- Veranschaulichung rationaler Zahlen als Äquivalenzklassen
- Addition und Multiplikation rationaler Zahlen
Zusammenfassung der Kapitel
Grundlegendes zu den rationalen Zahlen
Dieses Kapitel führt in die Thematik der rationalen Zahlen ein und zeigt, wie sie aus den ganzen Zahlen entwickelt werden können. Die Motivation liegt darin, eine Entsprechung für Multiplikationsgleichungen zu finden, die mit Koeffizienten aus der Menge der ganzen Zahlen nicht immer lösbar sind. Der Text bezieht sich dabei auf die Erkenntnisse von REISS/SCHMIEDER (2007) und erklärt die Herleitung der rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen, analog zur Herleitung der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen.
Äquivalenzrelation: Beweise
Dieser Abschnitt definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge Z×(Z\{0}), die es ermöglicht, Paare von ganzen Zahlen (a,b) als äquivalent anzusehen, wenn sie dieselbe „rationale Zahl“ repräsentieren. Der Text zeigt anhand des Satzes 1, dass diese Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Dazu ein Beispiel
Dieser Abschnitt veranschaulicht die Äquivalenzrelation anhand eines Beispiels und erklärt, warum Paare wie (-1,2) und (1,-2) als äquivalent betrachtet werden können, obwohl sie unterschiedliche Zahlenpaare darstellen.
Schlüsselwörter
Rationale Zahlen, Äquivalenzrelation, Multiplikationsgleichungen, ganze Zahlen, natürliche Zahlen, Paare, Äquivalenzklassen, Definition, Addition, Multiplikation, Rechenregeln, Beweise, REISS/SCHMIEDER (2007).
Häufig gestellte Fragen
Warum müssen die ganzen Zahlen zu rationalen Zahlen erweitert werden?
In der Menge der ganzen Zahlen sind Multiplikationsgleichungen (wie 2x = 1) nicht immer lösbar. Die Erweiterung schafft eine Menge, in der solche Gleichungen eine Lösung haben.
Wie werden rationale Zahlen mathematisch definiert?
Sie werden als Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen definiert, wobei der zweite Teil des Paares nicht Null sein darf (Z × (Z\{0})).
Was ist eine Äquivalenzrelation bei rationalen Zahlen?
Eine Relation, die festlegt, wann zwei Brüche denselben Wert darstellen (z.B. ist (-1, 2) äquivalent zu (1, -2)). Sie muss reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
Wie funktionieren Addition und Multiplikation bei rationalen Zahlen?
Die Rechenregeln werden formal über die Paare ganzer Zahlen hergeleitet und bewiesen, um Konsistenz mit den bekannten Bruchregeln sicherzustellen.
Auf welche Quellen stützt sich die Herleitung?
Die Darstellung hält sich eng an das Werk von REISS/SCHMIEDER (2007) zur Einführung in die Mathematik.
- Arbeit zitieren
- Mo Yanik (Autor:in), 2011, Die Zahlbereichserweiterung zu den Rationalen Zahlen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/179930
