[...] Die violette Kurve f(x) beschreibt die Funktion, nach der ein Becken mit Wasser gefüllt wird. Sie beschreibt die zugeführte Menge an Wasser. Da die Kurve keine Steigung hat, bleibt auch die Zufuhr der Wassermenge konstant. Geht man davon aus, dass zu Beginn noch kein Wasser im Becken war, kann man annehmen, dass die rote Kurve den Wasserbestand im Becken beschreibt. Die Steigung der Kurve ist 1. Das heißt, dass pro Einheit eins dazu kommt. Wer genau hinschaut merkt: Die violette Kurve ist die Ableitung der roten Kurve. Klar, die violette Kurve ist die Änderung des Bestandes, der mit der roten Kurve beschrieben wird. Man spricht davon, dass die rote Kurve eine Stammfunktion der violetten Kurve ist. Möchte man nun herausfinden, wie groß der Wasserbestand nach 6 Stunden ist, so muss man einfach den Funktionswerte der Stammfunktion bei x=6 nehmen. Wenn jede Stunde 1 m³ Wasser hinzu kommt, sind es nach 6 Stunden 6m³ - der Funktionswert der Stammfunktion. In der unteren Abbildung ist die steigende Gerade um 2 nach oben verschoben. Das heißt, dass der Wasserbestand zu Beginn schon bei 2m³ lag. Aber auch die Ableitung der roten Funktion ist die violette Funktion – der Zahlenwert +2 fällt beim Differenzieren ja weg. Also hat die violette Kurve jetzt schon zwei Stammfunktionen – und es gibt noch unendlich viele mehr, je nachdem, welchen Wert man als Anfangsbestand festlegt. Das nächste Beispiel beschreibt die Höhenänderung bei einem Heißluftballonflug: Zu Beginn hat der Heißluftballon noch keine Höhenänderung – denn der Wert bei x=0 ist null. Ab dort steigt der Ballon allerdings weiter, bis er am Hochpunkt der Funktion seine Höchste Steigung hat. Doch Achtung: nach dem Hochpunkt sinkt der Ballon nicht! Er hat nur eine geringere Höhenänderung als davor. Bis zur Nullstelle der Funktion steigt der Ballon. Bei der Nullstelle bleibt der Ballon stehen, ab dann sinkt er. Beim Tiefpunkt hat er seine schnellste Sinkgeschwindigkeit. Nun wäre die Abbildung unten links eine möglich Stammfunktion. Wenn die Funktion die Höhenänderung beschreibt, so beschreibt die Stammfunktion die tatsächliche Höhe des Ballons. Dieser hat bei der Nullstelle einen Hochpunkt, weil der Ballon bis dahin steigt. Die links unten abgebildete Funktion ist eine Stammfunktion, bei der der Ballon auf der Höhe 0 abhebt. Eine andere Stammfunktion wäre die unten rechts, wo der Ballon bei einer gewissen Höhe startet [...]
Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)
- 1. Lineare Funktionen
- 1.1 Die Funktionsgleichung
- 1.2 Der Graph einer Linearen Funktion
- 1.3 Charakteristische Punkte einer linearen Funktion
- 1.3.1 Schnittpunkt mit der x-Achse
- 1.3.2 Schnittpunkt mit der y-Achse
- 1.3.3 Schnittpunkt von zwei Geraden
- 1.4 Gegenseitige Lage von Geraden
- 1.5 Abstandsberechnung in der Ebene
- 1.5.1 Abstand von zwei Punkten
- 1.5.2 Abstand von zwei parallelen Geraden
- 1.5.3 Abstand von einem Punkt zu einer Geraden
- 1.6 Schnittwinkel von zwei Geraden
- 1.7 Abschließende Aufgabe mit Lösung
- 2. Ganzrationale Funktionen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)
Die Arbeit befasst sich mit den Themenbereichen linearer und ganzrationaler Funktionen. Sie zielt darauf ab, ein grundlegendes Verständnis dieser Funktionstypen zu vermitteln und wichtige Eigenschaften sowie Anwendungen zu erläutern.
- Die Funktionsgleichung und die geometrische Darstellung linearer Funktionen
- Charakteristische Punkte linearer Funktionen wie Nullstellen, Schnittpunkte und Steigungen
- Geometrische Beziehungen zwischen Geraden, wie z. B. Parallelität und Schnittwinkel
- Die Anwendung von linearen Gleichungssystemen zur Berechnung von Schnittpunkten
- Grundlagen der ganzrationalen Funktionen
Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)
Das erste Kapitel befasst sich mit linearen Funktionen und führt die Funktionsgleichung, den Graph und charakteristische Punkte ein. Es werden Methoden zur Berechnung von Schnittpunkten, Abständen und Schnittwinkeln von Geraden behandelt. Das Kapitel schließt mit einer Aufgabe zur Vertiefung des Stoffes.
Schlüsselwörter (Keywords)
Lineare Funktionen, Funktionsgleichung, Graph, Steigung, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Schnittpunkt, Abstand, Schnittwinkel, Lineares Gleichungssystem, Ganzrationale Funktionen.
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- Anonym (Author), 2011, Lineare und ganzrationale Funktionen für die gymnasiale Mittel- und Oberstufe, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/173986
