vorchristlichen Jahrhundert noch beherrschte die Vorstellung, daß alle Dinge in ganzen Zahlen ausgedrückt
werden können, das Weltbild. Dieses wurde von den Pythagoreern, einer einflußreichen mathematis chen Schule,
geprägt. Allerdings war es auch ein Pythagoreer, nämlich Hippasus von Metapont1, welcher durch die
Entdeckung inkommensurabler Streckenverhältnisse dieses Weltbild zerstörte und sich dafür die Strafe der
Götter einhandelte. Er hat am Pentagramm, dem Ordenssymbol der Pythagoreer, festgestellt, daß hier zwei
Strecken nicht kommensurabel sind, d.h. nicht in derselben Maßeinheit angegeben werden können.
Wagt man nun den Sprung ins 19.Jahrhundert, so muß man feststellen, daß in dieser Zeit nun zahlreiche
Versuche zur Präzisierung des Begriffs der reellen Zahlen unternommen worden sind.
Einige dieser Präzisierungsversuche sollen nun in den folgenden Abschnitten näher besprochen werden.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Weierstraß: Aggregate
- Definition: Zählen
- Beispiel: Gültigkeit der Regeln a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)
- Definition: Zahlgröße
- Beispiel: ✓ ✓ (an, bn ganze Zahlen)
- Grundvoraussetzungen für Weierstraß' Theorie der positiven reellen Zahlen
- Definition: Bestandteil einer Zahlgröße
- Beispiel: z=1+=+ ist Bestandteil von a = 1 +\n2 4\n2\n1 1 1\n4 8\n3 1\naber nicht von a'= 1+=+=.\n4 8
- Definition: Unendliche und endliche Zahlgröße
- Satz: Veränderliche Größe x zwischen endlichen Grenzen a, a + d
- Fundamentalfolgen
- Definition: Fundamentalfolge oder Cauchysche Folge
- Definition: Rational konvergente Folge
- Beispiel: Nichtperiodische Dezimalbrüche, wie beispielsweise derjenige für √2
- Beispiel: Kettenbruchentwicklung für das Verhältnis ½ (1 + √5) des goldenen Schnittes
- Satz: Mit der komponentenweisen Addition bzw. Multiplikation wird die Menge F aller\nFundamentalfolgen zu einem Ring.
- Dedekind: Schnitte
- Definition: Vollständigkeit der Menge der rationalen Zahlen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Der Text verfolgt das Ziel, die Entstehung und Entwicklung des Begriffs der reellen Zahlen von den frühen Vorstellungen der Pythagoreer bis hin zu den Präzisierungsversuchen im 19. Jahrhundert zu beleuchten.
- Die verschiedenen Definitionen der reellen Zahlen durch Weierstraß, Cantor und Dedekind
- Die Rolle des Konvergenzkriteriums von Cauchy und der Intervallschachtelung
- Die Bedeutung des Begriffs der "Zahlgröße" in den verschiedenen Theorien
- Die Herausforderungen, die sich aus der Einführung unendlicher Mengen und Grenzwerten ergeben
- Die Entwicklung des Konzepts der Vollständigkeit der reellen Zahlen
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung
Die Einleitung gibt eine kurze historische Einführung in die Entwicklung des Begriffs der reellen Zahlen. Sie schildert die traditionelle Vorstellung der Pythagoreer, dass alle Dinge durch ganze Zahlen darstellbar sind, und wie diese Vorstellung durch die Entdeckung inkommensurabler Streckenverhältnisse durch Hippasus von Metapont widerlegt wurde.
Weierstraß: Aggregate
Dieser Abschnitt stellt die Theorie von Karl Weierstraß zur Definition der reellen Zahlen vor. Weierstraß definiert den Begriff der "Zahlgröße" als eine Zusammenfassung von Einheiten, wobei er die Möglichkeit zulässt, dass auch unendlich viele Einheiten zusammengefasst werden können. Er führt den Begriff der "endlichen Zahlgröße" ein und erklärt, wie man mit Hilfe des Prinzips der Intervallschachtelung den Begriff der reellen Zahl definieren kann.
Fundamentalfolgen
Dieser Abschnitt behandelt die Definition der reellen Zahlen mithilfe von Fundamentalfolgen, die von Georg Cantor entwickelt wurde. Cantor definiert Fundamentalfolgen als Folgen rationaler Zahlen, deren Differenzen mit wachsenden Indizes beliebig klein werden. Er zeigt, dass jede rational konvergente Folge eine Fundamentalfolge ist und dass es auch Fundamentalfolgen gibt, die nicht rational konvergieren.
Schlüsselwörter
Die wichtigsten Schlüsselwörter des Textes sind: reelle Zahlen, Weierstraß, Aggregate, Fundamentalfolgen, Cantor, Dedekind, Schnitte, Intervallschachtelung, Konvergenzkriterium, Cauchy, Zahlgröße, Vollständigkeit, inkommensurable Streckenverhältnisse, irrationale Zahlen, rationale Zahlen.
Häufig gestellte Fragen
Wie wurde der Begriff der reellen Zahlen historisch geprägt?
Die Entwicklung reicht von der Entdeckung inkommensurabler Strecken durch die Pythagoreer bis hin zur mathematischen Präzisierung im 19. Jahrhundert.
Was ist ein Dedekindscher Schnitt?
Es ist eine Methode von Richard Dedekind zur Definition der reellen Zahlen, bei der die Menge der rationalen Zahlen in zwei Klassen zerlegt wird.
Was sind Fundamentalfolgen nach Cantor?
Georg Cantor nutzte Folgen rationaler Zahlen (Cauchysche Folgen), deren Differenzen gegen Null streben, um die Existenz reeller Zahlen zu beweisen.
Welche Rolle spielte Karl Weierstraß bei den reellen Zahlen?
Weierstraß entwickelte eine Theorie der "Zahlgrößen" (Aggregate), die auf der Zusammenfassung unendlicher Mengen von Einheiten basierte.
Warum war die Entdeckung inkommensurabler Strecken ein Schock für die Antike?
Die Pythagoreer glaubten, alles sei durch ganze Zahlen ausdrückbar. Die Entdeckung, dass z.B. die Diagonale im Quadrat nicht als Bruch darstellbar ist, zerstörte ihr Weltbild.
- Arbeit zitieren
- Daniela Dossing (Autor:in), 2001, Die reellen Zahlen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/16848
