Ein Ring-mit-1 besteht aus einer Menge R von Elementen zusammen mit zwei Verknüpfungen + und *, die je zwei Elementen x, y aus R wieder ein Element x + y bzw. x * y von R zuordnen. Damit eine solche Struktur Ring genannt wird, müssen die folgenden drei Gruppen von Gesetzen für alle Elemente x, y, z ` R erfüllt sein:
1. Gesetze der Addition • Assoziativität: (x + y) + z = x + (y + z)
• Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elementes: Es gibt genau ein Element 0 von R, für das gilt: 0 + x = x
• Existenz und Eindeutigkeit inverser Elemente: Zu jedem Element x aus R gibt es genau ein Element -x aus R, für das gilt: x + (-x) = 0 • Kommutativität: x + y = y + x
2. Gesetze der Multiplikation • Assoziativität: x * (y * z) = (x * y) * z
• Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elementes: Es gibt genau ein Element 1 von R, für das gilt: 1 * x = x = x * 1
Inhaltsverzeichnis
- I. Der Restklassenring Zn
- II. Die Einheitengruppe
- III. Die Einheiten von Zn
- IV. Die Eulersche Q-Funktion
- IV.1 Eigenschaften der Eulerschen ø-Funktion
- IV.2 Berechnung der Eulerschen ø-Funktion
- IV.3 Die Struktur der Einheitengruppe E(Zn)
- V. Zusammenfassung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Der Text behandelt die Eigenschaften des Restklassenrings Zn und die Einheitengruppe E(Zn).
- Definition und Eigenschaften des Restklassenrings Zn
- Die Einheitengruppe E(Zn)
- Die Eulersche ø-Funktion
- Berechnung der Eulerschen ø-Funktion
- Die Struktur der Einheitengruppe E(Zn)
Zusammenfassung der Kapitel
I. Der Restklassenring Zn
Dieses Kapitel definiert den Restklassenring Zn und erklärt die Addition und Multiplikation von Restklassen. Es wird gezeigt, dass Zn ein kommutativer Ring-mit-1 ist.
II. Die Einheitengruppe
Dieses Kapitel definiert die Einheitengruppe E(Zn) als die Menge aller invertierbaren Elemente des Restklassenrings Zn.
III. Die Einheiten von Zn
Dieses Kapitel behandelt die Einheiten des Restklassenrings Zn und ihre Eigenschaften.
IV. Die Eulersche Q-Funktion
Dieses Kapitel behandelt die Eulersche ø-Funktion, eine wichtige Funktion in der Zahlentheorie. Es werden die Eigenschaften der Eulerschen ø-Funktion und ihre Berechnung erläutert.
Schlüsselwörter
Restklassenring, Einheitengruppe, Eulersche ø-Funktion, Primzahl, Körper, Schiefkörper, modulo n, inverse Elemente, neutrales Element, Restklasse.
Häufig gestellte Fragen
Was ist ein Restklassenring Zn?
Es handelt sich um eine mathematische Struktur, die aus den Restklassen modulo n besteht und einen kommutativen Ring mit neutralen Elementen bildet.
Wie ist die Einheitengruppe E(Zn) definiert?
Die Einheitengruppe umfasst alle invertierbaren Elemente innerhalb des Restklassenrings Zn.
Welche Bedeutung hat die Eulersche ø-Funktion?
Die Eulersche ø-Funktion gibt die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen an, was der Größe der Einheitengruppe E(Zn) entspricht.
Welche Gesetze müssen für einen Ring-mit-1 erfüllt sein?
Es müssen die Gesetze der Addition (Assoziativität, neutrales Element, inverse Elemente, Kommutativität) und der Multiplikation erfüllt sein.
Was wird im Kapitel über die Struktur der Einheitengruppe untersucht?
Dort wird analysiert, wie die Gruppe E(Zn) mathematisch aufgebaut ist und welche algebraischen Eigenschaften sie besitzt.
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- Daniela Dossing (Author), 2000, Die Einheitengruppe im Restklassering Z_n, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/16846
