Alles rund um den Würfel - Mathematikstunde in einer Grundschule - Aufgaben, Ergebnisse und Reflexionen

Gliederung

1. Einleitung
1.1 Vollkörper
1.2 Kantenmodell
1.3 Flächenmodell

2. Ergebnisse unserer Studie
Aufgabe 1 Wie viele Würfelnetze gibt es? Zeichne sie
Aufgabe 2 Wie viele Klebestellen müssen es sein?
Aufgabe 3 Wie viele Kanten hat ein Würfel?
Aufgabe 4 Wie viele Seiten hat ein Würfel?
Aufgabe 5 Die Ameise läuft einen gekenn-zeichneten Weg über den Würfel. Welchen Weg läuft sie auf dem Würfelnetz? Zeichne ihn rot ein
Aufgabe 6 Wie viele Möglichkeiten gibt es die Augenzahlen auf dem Würfel anzuordnen?

3. Reflexionen

4. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Der Würfel ist einer der fünf platonischen Körper, er wird auch Sechsflächner (Hexaeder) genannt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Würfel ist ein Körper.
Er hat acht Ecken, sechs Flächen und zwölf Kanten.
Die Flächen sind gleich große Quadrate. Legt man sie übereinander, sind alle deckungsgleich.
Die Kanten sind gleich lang. An jeder Kante stoßen zwei Flächen aneinander. An jeder Kante liegen zwei Ecken.
An jeder Ecke stoßen immer drei Flächen und drei Kanten zusammen. Rollt man einen Würfel ab, so entsteht ein Würfelnetz. Damit besteht jedes Würfelnetz aus sechs gleich großen, zusammenhängenden Quadraten.^[1]

Wichtig zum Kennen lernen des Würfels ist das vielfältige Hantieren, denn in der Umwelt findet man nur selten würfelförmige Gegenstände. Sie können auf verschiedene Arten selbst hergestellt und dargestellt werden.

1.1 Vollkörper

Vollkörper sind feste, kompakte Körper, deren Seitenflächen kongruent zueinander sind. Anders als bei dem Kanten- und Flächenmodell ist dieses Modell innen ausgefüllt, eben voll wie der Name schon sagt. Ein Würfel besitzt sechs deckungsgleiche Seitenflächen. Vollkörper lassen sich in der Grundschule sehr schön herstellen. Man kann beispielsweise aus einer Kartoffel einen Vollkörper schneiden und die sechs Seitenflächen mit unterschiedlichen Motiven verzieren, sodass man am Ende einen Stempel in Würfelformat hat. Des Weiteren lassen sich Vollkörper aus Knetmasse herstellen. Diese Aufgabe wäre besonders in der ersten Klasse zu empfehlen, um somit zusätzlich die Motorik zu schulen. Fächerübergreifend könnten im Werkunterricht aus den verschiedensten Materialen wie z.B. Holz, Stein und Gips solche Vollkörper hergestellt werden. Es gibt verschieden Möglichkeiten solche Modelle spielerisch und praktisch im Unterricht kennen zu lernen.

1.2 Kantenmodell

An einem Kantenmodell kann sowohl die Anzahl der Ecken, die Anzahl der Kanten als auch die Länge der Kanten den Kindern verdeutlicht werden. Der Umgang mit Kantenmodellen schafft eine neue Raumerfahrung und schult das räumliche Vorstellungsvermögen. Aus diesem Grund sollten Kinder so früh wie möglich in der Grundschule damit beginnen mit diesem Modell zu hantieren.

Kinder lernen über die verschiedenen Sinne, sodass das Selbstbauen eines Kantenmodells das bloße Ansehen positiv unterstützt. Eine Aufgabe könnte somit das Erbauen eines solchen Modells sein, welches im Nachhinein noch einmal von den Kindern zur Verdeutlichung erfühlt werden kann.

Nicht von allen geometrischen Modellen lässt sich so gut ein Kantenmodell anfertigen wie von dem Würfel.

Es gibt unterschiedlich vorgefertigtes Material (z.B. Geomag) zum Bauen der Modelle. Allerdings können diese auch mit geringen Kosten von den Kindern selbst angefertigt werden. Knetkugeln und Zahnstocher könnten beispielsweise geeignetes Material sein, um den Kindern zu verdeutlichen, dass acht Knetkügelchen, die die Ecken des Würfels darstellen, benötigt werden, um den Würfel zusammenzuhalten und somit ein regulärer Würfel immer acht Ecken hat. Ein Kantenmodell aus bemalten Streichhölzern oder bunten Strohhalmen könnte dazu dienen, parallele Kanten zu kennzeichnen oder eine Seitenfläche hervorzuheben.

Lässt man die Kinder diesen geometrischen Körper ertasten, so kommt den Kanten und Ecken wieder eine besondere Bedeutung zu, da diese im Gegensatz zu den Flächen erfühlt werden können.

Als nächsten Schritt könnte das Modell mit Papierquadraten beklebt werden, um ein Flächenmodell zu erzeugen und auf das Thema Netze vorzubereiten.

1.3 Flächenmodell

Die Flächenmodelle aus Netzen sind so genannte Würfelnetze. Ein Netz ist eine zweidimensionale Figur, in der Flächen so verbunden sind, dass daraus ein dreidimensionaler Körper gefaltet werden kann. Zu beachten ist, dass das Würfelnetz aus 6 Flächen besteht, dass diese Flächen quadratisch sind und gleich groß sein müssen. Darüber hinaus sollte man beachten, dass Netze, die durch Spiegelung oder Drehung aufeinander abgebildet werden können, gleich sind.

Wenn man ein Würfelnetz gefunden hat, kann man Klebestellen anbringen und ein Flächenmodell daraus bauen.

Man findet die Flächenmodelle durch:

- Aufschneiden und Auseinanderklappen eines Würfels,
- durch Abrollen und Umfahren eines Würfels und
- durch Zusammensetzen und Falten von kongruenten Quadraten.

Zum Aufschneiden und Auseinanderklappen eignen sich z.B. Verpackungen von Gesichtscremes, die meist quadratische Seiten haben. Man kann dabei insgesamt 11 Würfelnetze finden, die sich voneinander unterscheiden.

Beim Abrollen (man nennt es auch Abwickeln) entdeckt man nur 4 Typen von Würfelnetzen. Dies sind nur die Würfelnetze, die sich in einem Zug abrollen lassen, ohne, das sie vor – und zurückgekippt werden müssen.

Man gelangt beim Ausschneiden und Auseinanderklappen ebenso wie beim Abrollen und Umfahren eines Würfels vom Würfel zum Netz, während man beim Zusammensetzen und Falten kongruenter Quadrate vom Netz zum Würfel gelangt.

Hilfreiches Material zum Zusammensetzen und Falten von kongruenten Quadraten, die einen Würfel ergeben sollen, können Bierdeckel sein, anhand derer die Schüler und Schülerinnen versuchen sollen unterschiedliche Würfelnetze zu legen und dann zu überprüfen, ob sie einen Würfel ergeben oder nicht.

2. Ergebnisse unserer Studie

Am 07.05.2007 besuchten wir die 2. und 4. Klasse der Wiesengrundschule Leighestern, um unsere Studie zum Thema „Wie bastelt man einen Würfel? Struktur, Vorstellungen und Darstellungen“ durchzuführen. Nach vorheriger Absprache mit den Klassenlehrern, der Schulleitung und der Einverständnis der Eltern dokumentierten wir die Lösungs- und Denkwege der Schüler und Schülerinnen.

Wir baten die Klassen sich in Gruppen zusammenzufinden, um die von uns ausgeteilten Arbeitsblätter zu bearbeiten. Der Arbeitsauftrag bestand aus sechs Aufgaben, bei denen der Würfel auf verschiedene Weisen in unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden betrachtet werden sollte.

Aufgrund der Bedingung mit dem ganzen Klassenverband eine Unterrichtsstunde lang die Studie durchzuführen, konnten wir nur einzelne Gruppen näher beobachten.

Die Arbeit mit der Digitalkamera half uns im Nachhinein die Ergebnisse auszuwerten, sodass wir in Ruhe die Denkschritte der Kinder nachvollziehen und analysieren konnten.

Aufgabe 1

Die erste Aufgabe „Wie viele Würfelnetze gibt es? Zeichne sie.“, wurde als eine der schwierigsten von den Kindern empfunden.

Die erste Schwierigkeit bestand für sie darin, den Begriff „Würfelnetz“ für sich selbst zu definieren. Vor allen Dingen in der 2. Klasse war der Begriff fast allen unbekannt, da die Kinder sich im Unterricht zuvor noch nicht damit beschäftigt hatten.

Vielleicht hätten wir an dieser Stelle statt des abstrakten Begriffs des ‚Netzes’ die plastische Metapher des ‚Kleides’ verwenden können. Die Kleid-Metapher hat als unmittelbare Konnotationen die Aspekte

- ‚Flächigkeit’ (man kann sowohl das Netz als auch das Kleid flach hinlegen),
- ‚Räumlichkeit’ (das Netz passt um einen Würfel, das Kleid um einen Körper),
- ‚Zusammenhang’ (Netz und Kleid sind ein zusammenhängendes Gebilde).

Nachdem der Begriff geklärt wurde, ist uns aufgefallen, dass es vielen Schülern sehr schwer viel, sich weitere neue Netze auszudenken.

Auffällig war, dass viele Kinder weitere Netze fanden, ihnen allerdings nicht bewusst gewesen ist, dass sie die gespiegelte oder gedrehte Version des abgebildeten Beispiels zeichneten.

An dieser Stelle gingen wir auf die Kinder ein, indem wir an die einzelnen Gruppen Arbeitsblätter verteilten, auf denen 17 Würfelnetze abgebildet waren, wobei die Kinder daraus die elf richtigen erkennen sollten.

Auffällig hierbei war, dass von den meisten Kindern die richtigen Netze erkannt, allerdings falsch abgezeichnet wurden.

So kam es nach der Korrektur, das heißt nach dem Weglassen der gedrehten/ gespiegelten und falsch gezeichneten Netzen zu folgendem Ergebnis:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Diagramm der 2. Klasse zeigt, dass alle Kinder mindestens noch ein weiteres Würfelnetz zeichnen konnten. Es ist ein breit gefächertes Ergebnis, was deutlich macht, dass Kinder mit unterschiedlichem Leistungsniveau die Aufgabe bearbeiteten.

Durch die verstärkte Gruppenarbeit und trotz des Arbeitsblattes zur Hilfestellung gelang es trotzdem zwei Kindern, als schlechtestes Ergebnis, nur ein Würfelnetz zu zeichnen, wohingegen vier Kinder als beste Leistung sieben Würfelnetze malen konnten. Der Durchschnitt lag bei dieser Aufgabe bei fünf Netzen, welche von sechs Kindern korrekt gewusst wurden.

Deutlich wurde uns auch, dass bei dieser Aufgabe nicht die „Matheprofis“ am besten abgeschnitten haben, sondern diese nur zwischen vier und sechs richtigen Netzen zeichnen konnten. Dies gab den Leistungsschwächeren einen regelrechten Motivationsschub, da das erste Mal ihre gute Leistung im Vordergrund stand und nicht (wie immer) die der „Profis“.

Auffällig und wichtig bei dieser Grafik ist allerdings, dass die ältesten dieser Klasse eines der schlechtesten Ergebnisse erzielten. Sie liegen mit zwei und vier gezeichneten Würfelnetzen unter dem Durchschnitt, was weitere Fragen aufwirft, wie zum Beispiel: „Warum haben diese beiden so schlecht abgeschnitten? Fehlt es ihnen in diesem Alter an Vorkenntnissen? Wie können sie speziell gefördert werden? Hatten sie keine Lust diese Aufgabe zu lösen oder steckt ein ernstzunehmendes Problem dahinter?... “

Das Diagramm der 4. Klasse zeigt, dass das Ergebnis ähnlich breit gefächert ist wie bei der 2. Klasse. Ebenso zwei Kinder konnten nur ein neues Würfelnetz zeichnen, ebenso waren fünf Netze das häufigste Ergebnis, welches sieben Kinder erreichten. Allerdings gab es nur ein Kind, das sieben Würfelnetze herausgefunden hat.

Vergleicht man die beiden Klassen miteinander, so stellt sich die Frage, warum die 2. Klasse bei dieser Aufgabe insgesamt besser abgeschnitten hat als die 4. Klasse, obwohl diese den Würfel/die Würfelnetze schon als Unterrichtsthema durchgenommen hatten? Wieso konnte die 4. Klasse mit ihrem Vorwissen nicht glänzen und die 2. Klasse beeindrucken?

Vergleicht man die Lösungswege der beiden Klassen so können trotz ähnlichem Endergebnis unterschiedliche Strategien erkannt werden.

Betrachtet man die Grundsätze:

„Man braucht 6 Flächen. Die Flächen sind quadratisch. Sie müssen gleich groß sein. Und zwei Netze sind gleich, wenn sie durch Spiegelung oder Drehung aufeinander abgebildet werden können.“ (Franke, 2007), so zeigt sich, dass diese vor allen Dingen bei den Jüngeren nicht beachtet wurden. So kam es vor, dass Würfelnetze mit sieben, acht oder neun Flächen gezeichnet wurden, da den Kindern auf die Schnelle nicht bewusst war, dass ein regulärer Würfel immer aus sechs Seiten besteht. Außerdem wussten die Zweitklässler nicht, dass es elf Würfelnetze gibt, sodass sie nach einem spätestens nach zwei weiteren Würfelnetzen dachten, die Aufgabe gelöst zu haben. Bei den Älteren wurden die Grundsätze eher beachtet und aufgrund der Vorkenntnisse wusste fast jedes Kind die richtige Antwort bezüglich der Anzahl. Gedankliches Operieren kennzeichnete ihre Lösungsstrategie, wohingegen bei den Kleineren unterschiedliche Vorgehensweisen auffielen. Die einen diskutierten/ kommunizierten und versuchten mit ihren Händen den Würfel nachzustellen, um sich einige Netze vorzustellen, die anderen nahmen einen realen Würfel als Hilfsmittel, um diesen in Gedanken aufzuklappen und wieder andere fertigten eine Zeichnung an, um auf die richtige Lösung zu kommen.

Trotz des Vorwissens konnte, wie in der Grafik ersichtlich, keiner alle elf Würfelnetze zeichnen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die „Regeln“ wie ein Würfelnetz gebildet oder wie es nie ein Würfelnetz werden kann, hatten die Kinder auch in der 4. Klasse noch nicht durchgenommen und schenkten ihnen somit keine Beachtung. So wusste kein Kind, dass nicht vier Quadrate „um einen Punkt herum“ liegen dürfen, nicht mehr als 4 Quadrate „in einer Reihe“ liegen können und die übrigen Quadrate auf unterschiedlichen Seiten dieser Reihe angeordnet sein müssen. Hätten sie diese Grundsätze verfolgt, so hätten sie sich die elf Netze eventuell erschließen können.

Wären sie der Viereranordnung gefolgt, so wären folgende sechs Netze möglich gewesen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] aus Franke, Marianne (2007). Didaktik der Geometrie in der Grundschule.2. Aufl. München.