Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Symmetrisierung von Charakteren und der Berechnung modularer Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren. Neben einer Zusammenstellung aller benötigten Hilfsmittel und der Ausarbeitung der theoretischen Hintergründe besteht ein großer Teil der Arbeit aus der Implementierung der theoretischen Fakten. Die Programme zur Symmetrisierung und zur Berechnung von Zerlegungsmatrizen wurden im Computeralgebrasystem GAP implementiert.
Im ersten Kapitel werden alle für die nachfolgenden Kapitel wichtigen Grundlagen aus der Algebra und der Darstellungstheorie erläutert. Neben Bezeichnungsweisen und Schreibweisen werden im Verlauf dieses Kapitels elementare Definitionen gegeben und Zusammenhänge ausgearbeitet.
Das zweite Kapitel beinhaltet die Theorie der Symmetrisierung. Hierbei wird unterschieden, ob gewöhnliche oder modulare Charaktere (Brauer-Charaktere) symmetrisiert werden. Bei der Symmetrisierung von Brauer-Charakteren wird zwischen der gewöhnlichen und der verfeinerten Symmetrisierung differenziert.
Bei der Berechnung der verfeinerten Symmetrisierung modularer Charaktere sind die Zerlegungsmatrizen von Schur-Algebren von großer Wichtigkeit. Das folgende dritte Kapitel befaßt sich zunächst mit den dazu in der Literatur existierenden Konventionen. Anschließend wird ein möglicher Weg für die Berechnung der Matrizen erklärt und an einem Beispiel verdeutlicht.
Im vierten Kapitel werden die für die Symmetrisierung implementierten Programme kurz vorgestellt. Hierbei spielen die Programme zur Berechnung der Zerlegungsmatrizen eine entscheidende Rolle.
Page 1
Kapitel 1
Grundlagen
Das erste Kapitel besch¨ aftigt sich mit wichtigen Grundlagen aus der Algebra und der Darstellungstheorie. Dabei werden neben Bezeichnungsweisen und Schreibweisen im Verlauf des Kapitels elementare Definitionen und Zusammenh¨ ange formuliert.
1.1 Partitionen
Es seien n, m ∈ N.
1.1.1 Definition (a) Eine endliche Folge nat¨ urlicher Zahlen λ = (λ 1 , . . . , λ m ) heißt Partition von n, geschrieben λ − n, falls gilt:
(i) λ 1 ≥ . . . ≥ λ m > 0.
m (ii) i=1 λ i = n.
Mit a i := |{j | λ j = i, 1 ≤ j ≤ m}, 1 ≤ i ≤ n, verwenden wir als abk¨ urzende Schreibweise λ = (n an , (n − 1) a n−1 , . . . , 1 a 1 ), wobei alle Teile k ∈ {1, . . . , n} mit a k = 0 ausgelassen werden.
Es ist l(λ) := m die L¨ ange von λ.
)
λ 1
definiert durch
i := |{j | λ j ≥ i, 1 ≤ j ≤ m}|, 1 ≤ i ≤ λ 1 .
Insbesondere ist λ − n.
1.1.2 Definition Definiere auf P(n) := {λ | λ − n} die lexikographische Ordnung < wie folgt. F¨ ur λ = (λ 1 , . . . , λ m ), µ = (µ 1 , . . . , µ m ) ∈ P(n) ist λ < µ genau dann, wenn ein i ∈ {1, . . . , max{m, m }} existiert, so daß
λ j = µ j f¨ ur alle 1 ≤ j ≤ i − 1 und λ i < µ i .
Dabei wird λ j := 0 f¨ ur alle j > m und µ j := 0 f¨ ur alle j > m gesetzt.
Page 4
1.1.10 Bemerkung Seien λ ∈ P(n) und p ∈ N. Der p-Kern, das p-Gewicht, die p-Signatur und der p-Quotient von λ sind eindeutig durch λ bestimmt.
1.1.11 Definition Sei p ∈ N.
1.1.12 Bemerkung Sei p ∈ N. Eine Partition ist genau dann p-spaltensingul¨ ar, wenn die zu dieser Partition konjugierte Partition p-zeilensingul¨ ar ist.
1.2 Moduln und p-modulare Systeme
Es seien R ein kommutativer Ring mit 1 und A eine (als R-Linksmodul endlicherzeugte) R-Algebra. Des weiteren sei M ein (endlich-erzeugter) A-Linksmodul. 2
1.2.1 Schreibweise Seien R 1 und R 2 zwei Ringe. Die Schreibweise R 1 ∼ = R 2
bedeutet, daß R 1 und R 2 als Ringe isomorph sind.
Seien X und Y zwei A-Linksmoduln. Die Schreibweise X A ∼ = Y bedeutet, daß
X und Y als A-Linksmoduln isomorph sind.
1.2.2 Definition (a) Ein Untermodul U von M heißt echt, falls {0} < U < M .
[James & Kerber, Satz 2.7.37] ¨ aquivalent zum p-Quotienten (im Sinne von James & Kerber) ist.
2 Alle Aussagen dieses Abschnitts lassen sich analog auch f¨ ur A-Rechtsmoduln formulieren.
Page 6
1.2.10 Definition (a) M heißt freier A-Linksmodul, falls eine Menge S exi-
1.2.11Definition Es seien R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring, J(R) das Jacobson-Radikal von R, K := Quot(R) der Quotientenk¨ orper von R und k := R mit char(k) = p ∈ P. Dann heißt das Tripel (K, R, k) ein p-modulares System.
1.3 Grothendieck-Gruppen
Es seien R ein vollst¨ andiger diskreter Bewertungsring und A ein Ring mit 1.
1.3.1 Bezeichnungen Sei X A ein Vetretersystem der Isomorphieklassen der endlich-erzeugten A-Rechtsmoduln, das heißt X A sei eine (nicht eindeutig bestimmte) Menge, so daß zu jedem A-Rechtsmodul 3 M genau ein A-Rechtsmodul M X ∈ X A existiert mit M ∼ = A M X .
F¨ ur einen A-Rechtsmodul M bezeichne M X den (eindeutig bestimmten) A- Rechtsmodulmit
M ∼ = A M X . M X ∈ X A und
1.3.2 Definition Es heißt
die freie abelsche Gruppe ¨ uber X A .
1.3.3 Definition Sei
F 0 := N + Q − M | N, Q, M ∈ X A und es existiert eine kurze exakte Folge {0} → N → M → Q → {0}} F ab (X A ).
Dann heißt
die Grothendieck-Gruppe von A. F¨ ur einen A-Rechtsmodul M sei
Page 8
und
m
(b
1
b
2
) =
m
◦
ϕ(b
1
b
2
)
Also ist der A-Rechtsmodul M auch ein B-Rechtsmodul.
(ii) Seien M, N A-Rechtsmoduln und ψ : M → N ein A-Modulhomomor- phismus.Wegen (i) sind M und N zwei B-Rechtsmoduln und ψ ist ein B-Modulhomomorphismus.
(iii) Wegen (i) und (ii) wird jede exakte Folge von A-Modulhomomor- phismenzu einer exakten Folge von B-Modulhomomorphismen.
der wegen (i) jeden A-Rechtsmodul auf diesen als B-Rechtsmodul abbildet.
1.4 Endomorphismenringe
Es seien (K, R, k) ein p-modulares System und A eine (als R-Rechtsmodul endlich-erzeugte) R-Algebra. Weiterhin seien M ein (endlich-erzeugter) A-Rechts- modulund E := End A (M ) der Endomorphismenring von M .
1.4.1 Bemerkung (a) M ist E-Linksmodul mittels
E × Hom A (Y, M ) → Hom A (Y, M ), (ϕ, β) → ϕ ◦ β,
-
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X. -
Upload your own papers! Earn money and win an iPhone X.