Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Potenzreihen. Dabei wird auf die Grundlagen eingegangen, sowie die Thematisierung der Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Potenzreihen. Wir wollen klarstellen, aufbauend auf den illustrierten Grundlagen, wie Potenzreihen differenzierbar und integrierbar sind.
Im Hauptteil der Arbeit wird es ein Kapitel zu Potenzreihen geben, bei der wir uns die Definition und ein geeignetes Beispiel ansehen. Demnach werden wir uns zwei Standardverfahren zur Bestimmung der Konvergenz/Divergenz einer Reihe, ansehen. Die beiden Verfahren, die wir betrachten, heißen Wurzelkriterium und Quotientenkriterium. Natürlich werden wir die beiden Verfahren differenziert betrachten, indem wir den jeweiligen Beweis tiefgründig untersuchen und anhand eines geeigneten Beispiels illustrieren. Außerdem werden wir das Quotientenkriterium auf Potenzreihen aufstellen. Dabei werden wir ebenfalls den Beweis ausführlich darstellen und ein Beispiel heranziehen.
Im nächsten Abschnitt des Hauptteils wird es um die Differenzierbarkeit von Potenzreihen gehen. Dabei werden wir auf die punktweise und gleichmäßige Konvergenz eingehen. Die nötigen Sätze und Beweise werden wir natürlich angeben und anhand von Beispielen darstellen. Die Beispiele dienen an der Stelle für das Verständnis und soll die wesentliche Intention der Differenzierbarkeit von Potenzreihen klarstellen. Zum Ende des Kapitelabschnitts soll deutlich gemacht werden, wie Potenzreihen differenzierbar sind.
Nachdem wir uns mit der Differenzierbarkeit von Potenzreihen beschäftigt haben, widmen wir uns der Integrierbarkeit von Potenzreihen. An der Stelle möchten wir ebenfalls die nötigen Sätze und Beweise darstellen. In dem Abschnitt zur Integration von Potenzreihen möchten wir reichliche Beispiele illustrieren, wie z. B. arctan(x), arcsin(x), arccos(x), log(1 + x) und log(1+x)/1+x. Hierbei soll ebenfalls deutlich gemacht werden, wie man Potenzreihen integriert.
In dem vorherigen Kapitel haben wir Zahlen im Reellen betrachtet. Deshalb wollen wir zum Schluss einen allgemeinen Ausblick der Potenzreihen und deren Differentiation und Integration in den komplexen Zahlen betrachten.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einleitung
- 2 Hauptteil
- 2.1 Potenzreihen
- 2.2 Differenzierbarkeit von Potenzreihen
- 2.3 Integrierbarkeit von Potenzreihen
- 3 Schluss
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit untersucht die Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Potenzreihen. Ziel ist es, ausgehend von den Grundlagen der Potenzreihen, deren Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit zu erklären und zu veranschaulichen.
- Definition und Beispiele von Potenzreihen
- Konvergenzuntersuchung mittels Wurzel- und Quotientenkriterium
- Punktweise und gleichmäßige Konvergenz im Kontext der Differenzierbarkeit
- Sätze und Beweise zur Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Potenzreihen
- Beispiele zur Integration von Potenzreihen (arctan(x), arcsin(x), arccos(x), log(1+x), log(1+2x))
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 1 (Einleitung): Dieses Kapitel führt in die Thematik ein und beleuchtet die historische Entwicklung der Betrachtung von Folgen und Reihen in der Analysis, mit Fokus auf den Grenzwertbegriff und die Bedeutung der Analysis für das Verständnis von Potenzreihen.
Kapitel 2.1 (Potenzreihen): Hier werden Potenzreihen definiert und anhand von Beispielen erläutert. Es werden das Wurzel- und Quotientenkriterium zur Bestimmung der Konvergenz/Divergenz von Reihen vorgestellt, inklusive Beweisen und Beispielen.
Kapitel 2.2 (Differenzierbarkeit von Potenzreihen): Dieses Kapitel behandelt die Differenzierbarkeit von Potenzreihen, wobei die punktweise und gleichmäßige Konvergenz eine Rolle spielt. Es werden relevante Sätze und Beweise präsentiert und durch Beispiele veranschaulicht.
Kapitel 2.3 (Integrierbarkeit von Potenzreihen): Dieses Kapitel befasst sich mit der Integrierbarkeit von Potenzreihen. Es werden Sätze und Beweise dargestellt und Beispiele wie arctan(x), arcsin(x), arccos(x), log(1+x) und log(1+2x) zur Illustration der gliedweisen Integration verwendet.
Schlüsselwörter
Potenzreihen, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit, Konvergenz, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Punktweise Konvergenz, Gleichmäßige Konvergenz, gliedweise Integration, gliedweise Differentiation, Analysis, Grenzwert.
- Quote paper
- Gazaleh Ramadan (Author), Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit von Potenzreihen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1505997
