Folgernd auf das dies jährige Hauptthema „Optimierung“, haben wir uns, nach nicht langer Überlegung, dazu entschieden die optimale Verpackung für einen Liter Milch zu finden. Dazu werden wir sowohl auf die Verpackungen eines Tetra Pak´s wie auch auf die einer Glasflasche eingehen, die wir am Ende
miteinander vergleichen wollen
Gliederung
1. Vorwort
1.1. Definition
1.2. Fragestellung
2. Milchflasche
2.1. Vorwort
2.2. Berechnungen
2.3. Ergebnis
2.4. Vergleich
3. Tetra Pak
3.1. Vorwort
3.2. Berechnungen
3.3. Ergebnis I
3.4. Ergebnis II
3.5. Fazit
4. Vergleich Flasche & Tetra Pak
5. Gruppenreflexion
1. Vorwort
Folgernd auf das diesjährige Hauptthema „Optimierung“, haben wir uns, nach nicht langer Überlegung, dazu entschieden die optimale Verpackung für einen Liter Milch zu finden. Dazu werden wir sowohl auf die Verpackungen eines Tetra Pak´s wie auch auf die einer Glasflasche eingehen, die wir am Ende miteinander vergleichen wollen.
1.1 Definition
Das Wort Optimum leitet sich von dem lateinischen Wort „Optimus“ ab und bedeutet: Bester Die Optimierung ist die Suche nach dem Optimum, unter dem man das beste erreichte Resultat im Sinne eines Vergleichsverfahrens zwischen verschiedenen Parametern oder Eigenschaften unter dem Aspekt einer Anwendung, einer Nutzung oder eines Ziels versteht.1 2
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1.2 Fragestellung
Tetra Pak
Die Fragestellung, mit der wir uns beschäftigt haben, lauten:
- Wie verpacke ich 1 Liter Milch in einem Tetra Pak und verbrauche dabei so wenig Material wie möglich?
- Ist unser Tetra Pak mit der optimalen Oberfläche ideal für den Nutzer?
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Flasche
- Wie verpacke ich 1 Liter Milch in einer Flasche mit der optimalen Oberfläche?
- Warum haben die Firmen ihre Milchflaschen so geformt wie sie jetzt ist?
- Wäre unsere Flasche mit der optimalen Oberfläche ideal für den Nutzer?
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2. Die Milchflasche
2.1 Vorwort
Idee
Unsere Idee ist die Milchflasche zu optimieren, sodass de Verbrauch an Material so gering wie möglich ist.
Dabei schauen wir uns auch an, warum die Industrie ihre Flasche so formt wie sie jetzt ist.
Das Problem
Das erste Problem, dem wir uns stellen mussten, war eine passende Formel für die Flasche zu finden. Während ein Tetra Pak eine einfache geometrische Form aufweist, lässt sich eine Flasche schwieriger betrachten. Daher nahmen wir uns vor sie einfach zu betrachten und sie in 3 Körper zu unterteilen. Dabei haben wir die Kantenlänge auf 7 cm festgelegt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.1.3 Skizze der Milchflasche
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.2 Berechnung
Volumen
Halszylindervolumen VHals
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Kegelstumpfzylinder VKst
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Körperzylindervolumen VKörper
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die einzelnen Volumenformeln werden addiert, somit ergibt sich die Gesamtvolumenformel.
Flaschenvolumen VFl
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Oberfläche
Halszylindermantel MHals
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Kegelstumpfmantel MKst
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Körperzylindermantel MKörper + Grundfläche AKGr
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die einzelnen Oberflächenvolumen werden addiert, somit erhalten wir die Gesamtoberflächenformel.
Flaschenoberfläche OFl 2πr1h1 + πr1²
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Rechenweg für die Oberfläche
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Da unsere Funktion drei Variablen enthält, und wir den Radius ermitteln möchten, muss die Kegelstumpfseite s und die Körperzylinderhöhe h1 zu anderen Formeln umwandeln, die nur den Körperradius r1 als Variable besitzen. So kann man die beiden ungewünschten Variablen durch die neuen Ausdrücke ersetzten, sodass wir in unserer benötigten Oberflächenfunktion nur noch eine Variable haben.
Satz des Pythagoras
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir können den Satz des Pythagoras verwenden um s zu ermitteln, da im Kegelstumpf ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, das sich aus den Strecken s, h2 und der Differenz von r1 und r2 zusammensetzt.
Nebenbedingung
Die Nebenbedingung wird durch das Volumen des Körpers definiert. Das Volumen beträgt 1004ml, das sich aus 1000ml Milch und 4ml Luft, damit es nicht überläuft, zusammensetzt. Wir nehmen die Volumenformel und stellen sie nach h1 um, daraus ergibt sich ein Ausdruck der h1 definiert und das Volumen auf 1004cm3 definiert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ableitungen
Die erste Ableitung brauchen wir um die Extremwerte zu bestimmen. Die Extrempunkte liegen immer auf der Höhe wo die erste Ableitung die Abszisse schneidet. Um zu beweisen dass es sich um einen Tiefpunkt handelt überprüfen wir die zweite Ableitung wenn diese positiv ist, ist dort ein Tiefpunkt im Ursprungsgraf enthalten, da die erste Ableitung so durch die Nullstelle steigt. Dieses hat zur folge das im Ausgangsgraph das nach dem Tiefpunkt die Steigung zunimmt also großer wird. Damit ist bewiesen, dass hier ein Tiefpunkt vorhanden ist.
Ableitungsregeln3
Die folgenden Regeln haben wir bei den Ableitungen verwendet.
Kettenregel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Produktregel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quotientenregel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Summen- und Differenzenregel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Rechenweg zur ersten Ableitung
Vereinfachung der Optimierungsfunktion der Flasche
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung der Konstanten 2 ist 0
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung der Konstanten ist .
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung der Konstanten 2 ist 0.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verwende die Quotientenregel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verwende die Produktregel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verwende die Produktregel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Vereinfache unter der Voraussetzung, dass alle Variablen positiv sind.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Jetzt berechne die zweite Ableitung.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die zweite Ableitung ist die Ableitung der Ableitung.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Schreibe die erste Ableitung von drei Zeilen vorher ab.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verwende die Produktregel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung der Konstanten 10 ist 0.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verwende die Kettenregel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung der Konstanten 20 ist 0.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verwende die Produktregel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung der Konstanten -10 ist 0.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung der Konstanten 753 ist 0.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Vereinfache unter der Voraussetzung, dass alle Variablen positiv sind.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Funktionsgraph der Vereinfachten Flasche
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir sehen hier die Ableitung unserer Funktion, die mit ihrer Nullstelle den x-Wert unseres Extrempunkts anzeigt und durch die zweite Ableitung beweist dass es ein Tiefpunkt ist da sie positiv ist
Die x-Achse zeigt den Radius des großen Zylinders der Flasche in cm an und die y-Achse beschreibt die Oberfläche der Gesamtflasche in cm².
Berechnung des Tiefpunktes
Bedingung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir haben das Newton-Verfahren für die Bestimmung der Nullstelle der Ableitung angewandt. Dafür haben wir die Nullstelle zuerst mit einer Wertetabelle eingegrenzt und dann einen nahen Wert in die Formel eingesetzt. Diesen Wert, den wir dort herausbekommen haben, haben wir wieder in die Funktion eingesetzt, diesen Vorgang haben wir so oft wiederholt bis der Wert stagniert.
Überprüfung der hinreichenden Bedingung
Zweite Ableitung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zweite Ableitung mit eingesetzten Werten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ergebnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Berechnen der Höhe
Um die Höhe der Flasche auszurechnen haben wir unseren errechneten Radius r in die Volumenformel eingesetzt und erhalten so die Höhe des großen Zylinders und addieren dann die gegebenen Höhen. So ergibt sich die Gesamthöhe der Flasche.
Radius unseres Zylinders
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Formel der Höhe unseres Zylinders
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ergebnis unserer Höhen des Zylinders
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Formel der Gesamthöhe
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Eingesetzte Werte und Ergebnis der Gesamthöhe
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Probe durch Volumen
Wir haben unsere Volumenformel genommen, mit unserer vorgegebenen Volumen von 1004 und haben dort dann unsere ausgerechneten Werte (Radius r und Höhe h) eingesetzt. So kommen wir bei der Formel auf ein Ergebnis von 1004 = 1004. Damit haben wir bestätigt das unsere Werte des Radius und der Höhe richtig sind.
Unsere Volumenformel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Volumenformel mit eingesetzten Werten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ergebnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Rechenweg der Oberfläche
Gesamtoberflächenformel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Gesamtoberflächenformel mit eingesetzten Werten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ergebnis unserer Gesamtoberfläche
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Industrieflasche
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Industrieflasche Oberfläche4
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Unsere optimierte Flasche nach Integral
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Optimierung der Oberfläche durch Integralrechnung
Die Oberflächenformel der optimalen Flasche5
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nebenbedingung: Volumenformel nach h aufgelöst
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Oberflächenformel mit eingesetzten Werten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir haben die Formel unterteilt in zwei Teile: Einmal das eingesetzte h und einmal die Oberflächenfunktion. Parameter haben wir in 0,25er Schritten von 0,25 bis 1,5 eingesetzt und dann haben wir die Formel wieder zusammen gesetzt und das Ergebnis als Tabelle ausgegeben.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.3 ERGEBNISSE
Die Ergebnisse unseres Rechenweges des vereinfachten Körpers
- Der Radius beträgt 5,0764 cm
- Die Höhe beträgt 17,09608077 cm
- Die Oberfläche beträgt 620,964968 cm²
Die Ergebnisse unserer Flasche nach Integralrechnung
- Der Radius beträgt 4,5 cm
- Die Höhe beträgt 18,846 cm
Die Oberfläche beträgt 635,95cm² bei einem Deckelradius von 0,5cm
Die Ergebnisse der Industrieflasche
- Der Radius beträgt 4 cm
- Die Flasche misst eine Gesamthöhe von 26 cm
- Die Oberfläche beträgt 1033, 250977 cm²
2.4 Vergleich zwischen der Industrieflasche und der optimalen Flasche
- Die optimale Flasche hat einen größeren Durchmesser als die Industrieflasche, dafür ist die Industrieflasche höher.
- Dadurch ist auch die Oberfläche der Industrieflasche größer, weil diese nicht optimiert ist.
- Dies liegt daran, dass die optimale Flasche für den Verbraucher ungeeignet wäre.
3. Das Tetra Pak
3.1 Vorwort
Zunächst wollen wir erwähnen, dass eine Kugel die Optimale Form wäre. Allerdings ist diese nicht alltagstauglich. Genau wie die zweit bessere Form, der Würfel. Die Kantenlängen des Würfels wären zu lang und somit würde dieser nicht gut in eine Hand passen.
Die Kantenlängen können nur a . a sein, nicht a . b, da wir sonst mit drei Parametern arbeiten müssten.
3.2 Berechnungen
- Zielfunktion
[Oberfläche = O]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nebenbedingung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verbesserte Zielfunktion und Ableitungen
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1. Ableitung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2. Ableitung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Berechnung des Tiefpunktes
Bedingung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Überprüfung der hinreichenden Bedingung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Berechnung der Höhe
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3.3 Ergebnis I
Die ideale Maße für eine Milchtüte wären Breite und Höhe von 10 cm. Hierbei hätten wir die geringste Oberfläche für 1 Liter Milch. Folglich wäre die optimale Tüte ein Würfel.
Die Maße der im Handel erhältlichen Milchtüte beträgt 19,8 cm für die Höhe und 7 cm für die Breite.
Sie ist demnach nicht optimal.
Um möglichst genau an der Wirklichkeit zu sein muss alles berücksichtigt sein wie z.B. die Klebestreifen an den Ränder.
Hierfür haben wir ein Wert von 0,8 cm als konstanten Wert benutzt. Dieses ergibt einen neuen Materialverbrauch.
(gelb markiert)
Da die Milchtüte nicht nur Klebestreifen hat, sondern auch umgeklappte Kanten, müssen auch diese berücksichtigt werden, wenn man den Materialverbauch herausfinden möchte.
Die umgeklappten Kanten sind in unserer Abbildung ebenfalls gelb markiert.
Wie wäre also unter gegebenen Voraussetzungen der optimale Materialverbrauch?
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Annahme
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zielfunktion
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nebenbedingung
Nach unseren Berechnungen passen nur 970 cm3 in die Milchtüte. Der Rest befindet sich in den Auswölbungen an den Seiten des Tetra Pak´s.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verbesserte Zielfunktion
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Extrempunkte
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bedingung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Notwendige Bedingung(Newton)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir haben das Newton-Verfahren für die Bestimmung der Nullstelle der Ableitung angewandt. Dafür haben wir die Nullstelle zuerst mit einer Wertetabelle eingegrenzt und dann einen nahen Wert in die Formel eingesetzt.
Diesen Wert, den wir dort herausbekommen haben, haben wir wieder in die Funktion eingesetzt, diesen Vorgang haben wir so oft wiederholt bis der Wert stagniert.
Überprüfung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Weitere Werte
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Neue Berechnung des Materialverbrauchs
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3.4 Ergebnis II
Der Materialverbrauch der Milchindustrie ist nur gering höher als der von uns errechnete Verbrauch.
Dies lässt sich dadurch erklären, dass bei Lebensmittelverpackungen auch die Hygiene mit im Vordergrund steht.
3.5 FAZIT
Die Milchindustrie nutz die für sie und uns optimale Verpackung!
4. Vergleich Flasche und Tetra Pak
- Gewicht
Da die Glasflaschen schwerer sind als das Tetra-Pak ist der Transport teuer, da weniger Flaschen auf einen LKW geladen werden können im Vergleich zum Tetra-Pak.
- Transport
Der Transport der Flaschen ist auch platzaufwendiger, da sie in Kästen transportiert werden müssen
- Kosten
Durch das höhere Gewicht und den aufwendigeren Transport ergibt sich für die Milchflasche ein höherer Preis. Des Weiteren muss man die Produktionskosten mit einbeziehen. Darum ist die Glasflasche teurer
- Ökologische Gesichtspunkte
Glas kann zu 100 % recycled werden, allerdings ist es sehr energieaufwendig wegen der Glasschmelzung und das Tetra Pak besteht aus 98%igen recycleden Material, daher ist das Tetra Pak ökologisch korrekter.
5. Gruppenreflexion
Vor dem Projekt
Die Gruppe, zu der wir uns zusammenfanden, entstand dadurch, dass wir schon immer in dieser Formation zusammengearbeitet hatten. Daher mussten wir nicht lange suchen, um eine geeignete Gruppe zu finden. Nachdem wir das Thema „Optimierung“ gehört hatten, dachten wir uns zuerst, dass dies ein sehr umfangreiches Thema ist.
Lange brauchten wir aber nicht zu überlegen. Schon in der ersten Stunde hatten wir uns auf das optimieren einer Verpackung für einen Liter Milch entschieden.
Danach haben wir uns entschieden, dass wir den geringsten Materialverbrauch für eine Glasflasche und ein Tetra Pak herausfinden wollen.
Wir wussten schon vorher, dass sich das Tetra Pak als relativ einfach gestalten lassen sollte. Da dies ein einfacher Körper ist. Hier haben wir auch versucht einige Informationen zu erhalten, indem wir die Firma Tetra Pak angeschrieben hatten. Leider stellte sich dies als Sackgasse heraus, da man uns nicht ausreichend Informationen zustellen wollte und Fragen mit Gegenfragen beantwortete.
Die Flasche sollte schon als ein schwereres Problem darstellen.
Während des Projekts
Das optimale Tetra Pak hatten wir, wie schon vorher erwähnt, schnell gefunden. Die Berechnung für den vereinfachten Körper war schnell gefunden. Danach versuchten wir es auf ein reales Tetra Pak zu beziehen und merken, dass hier noch mehr Faktoren zu berücksichtigten waren, die das Optimum beeinflussen konnten. Hierfür konnten wir aber auch nach relativ kurzer Zeit eine Lösung finden.
Da wir mit dem Tetra Pak keine weiteren Probleme hatten , konnte wir den Rest unsere Zeit der Flasche widmen. Mit der Flasche hatten wir zuerst unsere Schwierigkeiten, da dies ein komplexer Körper ist. Erst einmal eine geeignete Funktion zu finden, stellte uns vor ein Problem. Dies lösten wir aber, indem wir die Flasche vereinfachten mit 3 einfachen Körper.
Wir hatten in der Gruppe keine größeren Probleme, auch die Aufgabenverteilung war schnell gefunden. Nur am Anfang hatten wir noch das Problem, dass mehrere an einer Aufgabe tüftelten. Dies geschah aber nur, während wir versuchten eine Lösung für unser „Flaschenproblem“ zu finden. Danach war die Verteilung gerecht aufgeteilt.
Da wir uns mit der Flasche länger als wir dachten befassen mussten, haben wir 5 mal eine Nachtschicht eingelegt. Dies geschah bei jeweils einem von uns zu Hause.
Die eingeschränkte Zeit die wir zur Verfügung hatten war unser größtes Problem. Insgesamt war die Gruppenarbeit sehr angenehm und ruhig.
Interne/Externe
Am Anfang hatten wir noch bedenken bezüglich der Präsentation vor Publikum. Nach der Internen haben wir aber gemerkt, dass dies der einfachste Teil des gesamten Projekts war. Obwohl wir teilweise noch etwas unsicher waren, haben gelernt wie man sich vor größerem Publikum verhält und haben einiges an Selbstsicherheit gewonnen.
6. Ehrenwörtliche Erklärung
Wir erklären hiermit, dass wir die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und alle Formulierungen, die wörtlich oder dem Sinn nach aus anderen Quellen entnommen wurden, kenntlich gemacht haben.
Verwertete Informationen aus dem Internet sind dem Lehrer vollständig in digitaler Form zur Verfügung gestellt worden, einschließlich der genauen Angabe der Internetadresse.
Sofern sich-auch zu einem späteren Zeitpunkt-herausstellt, dass die Arbeit oder Teile davon nicht selbstständig verfasst wurden, die Zitationshinweise fehlen oder Teile ohne Quellennachweis aus dem Internet entnommen wurden, so wird die Arbeit auch nachträglich mit null Punkten bzw. Note sechs gewertet.
[...]
1 http://de.wikipedia.org/wiki/Optimum
2 http://www.google.de/search?hl=de&defl=de&q=define:Optimierung&ei=zgqdS7TPAcbC- Qbqk7DKAQ&sa=X&oi=glossary_definition&ct=title&ved=0CAYQkAE
3 WinFunktion Mathematik plus 17 Das große Tafelwerk interaktiv(Mit CD) -ISBN-13: 978-3464571446
4 http://www.in-sel.com/selma/Drehkoerper/bausteine/bst3-2.htm WinFunktion Mathematik plus 17 Das große Tafelwerk interaktiv(Mit CD) -ISBN-13: 978-3464571446
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in diesem Dokument?
Dieses Dokument ist eine Ausarbeitung zum Thema Optimierung von Verpackungen für einen Liter Milch. Es werden sowohl Glasflaschen als auch Tetra Paks untersucht, um die jeweils optimale Form und den minimalen Materialverbrauch zu ermitteln.
Welche Fragestellungen werden bezüglich der Milchflasche untersucht?
Die zentralen Fragen bezüglich der Milchflasche sind: Wie kann man 1 Liter Milch in einer Flasche mit optimaler Oberfläche verpacken? Warum haben die Firmen ihre Milchflaschen in ihrer aktuellen Form? Wäre eine Flasche mit optimierter Oberfläche ideal für den Nutzer?
Wie wird die Milchflasche in den Berechnungen vereinfacht?
Die Milchflasche wird zur Vereinfachung in drei Zylinderkörper unterteilt: einen Halszylinder, einen Kegelstumpfzylinder und einen Körperzylinder. Die Kantenlänge des Quaders wird auf 7 cm festgelegt.
Welche mathematischen Methoden werden zur Optimierung der Milchflasche verwendet?
Zur Optimierung werden Volumen- und Oberflächenberechnungen durchgeführt. Der Satz des Pythagoras und Ableitungsregeln (Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel, Summen- und Differenzenregel) werden angewendet, um Extremwerte zu bestimmen und die Oberfläche zu minimieren. Das Newton-Verfahren wird zur Bestimmung der Nullstelle der Ableitung verwendet.
Welche Ergebnisse werden für die optimierte Milchflasche erzielt?
Für die vereinfachte Flasche wird ein Radius von 5,0764 cm, eine Höhe von 17,09608077 cm und eine Oberfläche von 620,964968 cm² berechnet. Die Flasche nach Integralrechnung hat einen Radius von 4,5 cm und eine Höhe von 18,846 cm, wobei die Oberfläche 635,95cm² bei einem Deckelradius von 0,5cm beträgt. Die Industrieflasche hat einen Radius von 4 cm und eine Gesamthöhe von 26 cm, wobei die Oberfläche 1033, 250977 cm² beträgt.
Welche Fragestellungen werden bezüglich des Tetra Paks untersucht?
Die zentralen Fragen bezüglich des Tetra Paks sind: Wie verpacke ich 1 Liter Milch in einem Tetra Pak und verbrauche dabei so wenig Material wie möglich? Ist unser Tetra Pak mit der optimalen Oberfläche ideal für den Nutzer?
Welche Annahmen werden bei der Berechnung des Tetra Paks getroffen?
Es wird zunächst die ideale Form ohne Berücksichtigung von Klebestreifen und umgeklappten Kanten betrachtet. Später werden diese Faktoren einbezogen, um den tatsächlichen Materialverbrauch genauer zu bestimmen.
Welche Ergebnisse werden für das optimierte Tetra Pak erzielt?
Die idealen Maße für eine Milchtüte wären eine Breite und Höhe von 10 cm, was einem Würfel entspricht. Unter Berücksichtigung von Klebestreifen und umgeklappten Kanten wird der Materialverbrauch erneut optimiert.
Wie wird Flasche und Tetra Pak verglichen?
Der Vergleich bezieht sich auf Gewicht, Transport, Kosten und ökologische Gesichtspunkte. Glasflaschen sind schwerer und transportaufwendiger, aber zu 100 % recyclebar. Tetra Paks bestehen aus recyceltem Material und sind ökologisch korrekter.
Welche Schlussfolgerungen werden aus der Gruppenreflexion gezogen?
Die Gruppenarbeit war angenehm, jedoch stellte die begrenzte Zeit eine Herausforderung dar. Die Präsentation vor Publikum wurde als einfacher Teil des Projekts empfunden, und es wurde Selbstsicherheit gewonnen.
- Quote paper
- Malte Dittmar (Author), 2010, Optimierung von Körpern, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/148358
