Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Laplace-Transformation. Zunächst soll sich allgemein mit der Laplace-Transformation beschäftigt werden sowie mit dem zentralen Eindeutigkeitssatz nach Lerch. In Kapitel 3 werden alle wichtigen Transformationen und Regeln hergeleitet, sodass das Lösen von Differentialgleichungen in Kapitel 4 behandelt werden kann. Die Delta-Distribution soll in Kapitel 5 thematisiert werden, woraufhin Kapitel 6 diese Arbeit mit einem Fazit und Ausblick schließt.
An vielen Stellen stützt sich die Arbeit auf das Werk "Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems", welches als Grundlage dient. Dieses Buch soll hier genauer ausarbeitet, verständlich und erweitert werden, sodass die Laplace-Transformation mit Grundlagen der Analysis 1 und 2, der Linearen Algebra sowie etwas Vorwissen zu Differentialgleichungen verstanden werden kann.
Um das Repertoire an Lösungsmethoden zu erweitern, macht es Sinn sich mit weiteren Strategien auseinander zu setzen. Denn einfacher wäre es natürlich statt einer Differentialgleichung ein algebraisches Problem zu lösen, wie man es seit der Schulzeit schon etliche Male gemacht hat. Mit dieser Idee gelangt man zum Thema dieser Bachelorarbeit: Der Laplace-Transformation, die genau dies ermöglicht.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Integraltransformationen
- Laplace-Transformation
- Beispiel einer Transformation
- Existenz der Transformierten
- Die inverse Laplace-Transformation
- Laplace-Transformation
- Besondere Transformationen und Eigenschaften
- Ausgewählte Transformationen
- Eigenschaften der Laplace-Transformation
- Transformation von Ableitungen
- Laplace-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen
- Konkrete Anwendung an einem Beispiel
- Zwischenfazit zur Nutzung von Laplace-Transformationen zum Lösen von Differentialgleichungen
- Vergleich zur Fourier-Transformation
- Delta-Distribution
- Herleitung der Delta-Distribution
- Die Delta-Distribution und die Laplace-Transformation
- Lösen von Differentialgleichungen mit Delta-Distribution
- Fazit und Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit der Laplace-Transformation, einem wichtigen Instrument zum Lösen von Differentialgleichungen, insbesondere in der Physik. Die Arbeit zielt darauf ab, die Laplace-Transformation und ihre Anwendung im Kontext von Differentialgleichungen verständlich zu erklären und zu vertiefen.
- Einführung in die Laplace-Transformation und ihre Eigenschaften
- Anwendung der Laplace-Transformation zum Lösen von linearen, konstanten Anfangswertproblemen
- Vergleich der Laplace-Transformation mit der Fourier-Transformation
- Die Delta-Distribution und ihre Rolle beim Lösen von Differentialgleichungen
- Anwendung der Laplace-Transformation in der Physik und anderen Disziplinen
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 2 legt den Grundstein für die Arbeit, indem es das Konzept der Integraltransformationen einführt und die Laplace-Transformation als ein Spezialfall dieser Transformationen erläutert.
Kapitel 3 widmet sich den besonderen Transformationen und Eigenschaften der Laplace-Transformation. Es werden wichtige Transformationen und Rechenregeln hergeleitet, die für die spätere Anwendung im Kontext von Differentialgleichungen essentiell sind.
Kapitel 4 zeigt auf, wie die Laplace-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen eingesetzt werden kann. Anhand eines konkreten Beispiels wird die Anwendung der Laplace-Transformation demonstriert und die Effizienz dieser Methode gegenüber anderen Lösungsstrategien herausgestellt.
Kapitel 5 beschäftigt sich mit der Delta-Distribution, einem wichtigen Werkzeug für die Analyse von Schockfunktionen und Impulsen im Kontext von Differentialgleichungen. Es wird gezeigt, wie die Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen mit Delta-Distribution eingesetzt werden kann.
Schlüsselwörter
Laplace-Transformation, Integraltransformation, Differentialgleichungen, Anfangswertprobleme, Fourier-Transformation, Delta-Distribution, lineare Algebra, Analysis, Physik, Mechanik.
- Quote paper
- Anonym (Author), 2023, Die Laplace-Transformation. Transformationen, Regeln und Differentialgleichungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1430760
