Bei den pythagoreischen Zahlentripeln sind mir zunächst bei bestimmten Tripeln Zusammenhänge aufgefallen. Ich war als Lehrer in der Lage, für jede Zahl größer als 2 ein pythagoreisches Zahlentripel anzugeben. Interessant war auch, wenn die Schüler:innen die Reihe fortsetzen sollten. Eigentlich gab es in der Klasse unter den Schüler:innen meistens eine:n, der für die geraden oder ungeraden Zahlen die Reihe fortsetzen konnte. Dies war auch der Anlass, die pythagoreischen Zahlen weiter zu untersuchen.
Zunächst habe ich herausgefunden, dass c bzw. b abhängig von d mit einer quadratischen Funktion dargestellt werden kann. Bei der Variablen d muss unterschieden werden zwischen einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl, so dass man jeweils 2 unterschiedliche Funktionen erhält. Durch das Finden von b wird dann c = b + d und anschließend a mit Hilfe des Satzes von Pythagoras gefunden. Durch Hinzunahme der Variablen q wurden die fehlenden Lücken bei der Funktion zur Bestimmung von c bzw. b geschlossen. Eine Herausforderung stellte das Finden der primitiven pythagoreischen Tripel dar. Dazu habe ich aus einer sogenannten Ausgangsfunktion Unterfunktionen bilden können, die nur primitive Tripel für c liefert. Dazu war noch eine Laufvariable i bei den Formeln nötig. Bei den Formeln spielte die Teilbarkeit und der ggT eine große Rolle. In Kapitel 7.6 ist der entscheidende Durchbruch für die Formeln gefunden worden.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Die Variable d
- Beweis für die ungerade Reihe (d = 1)
- Beweis für die gerade Reihe (d = 2)
- Herleitung der Formel für c mit d = 1 und d = 2
- Wie entwickelt sich c bei d = 1 …
- Formel bzw. Funktion für c bei d = 1
- Wie entwickelt sich c bei d = 2
- Formel bzw. Funktion für c bei d = 2
- Weitere Reihen mit d = 3 bis d = 7
- Herleitungen
- Dazugehörige Formeln bzw. Funktionen
- Abhängigkeit dieser Formeln zu d
- Variable d ungerade
- Variable d gerade
- Überraschung bei d = 8 und d = 9
- Herleitung d = 8 mit Funktion
- Herleitung d = 9 mit Funktion
- Weitere Sonderfälle
- Unterschied d „ungerade“ (d = 2n+1 mit n∈ℕ₀)
- Unterschied d „gerade“ (d = 2n mit n∈ℕ)
- Hinführung zur Formel
- Formel, Funktion
- Für d ungerade gilt:
- Für d gerade gilt:
- Beweis, dass a = √(c² - b²) eine natürliche Zahl ist
- Für d ungerade
- Für d gerade
- Gibt es noch weitere Zahlentripel
- Funktionen zum Erstellen von Zahlentripeln mit Unterstützung von Excel
- Für d ungerade
- Für d gerade
- Tabelle für die Funktionen bis d = 100
- Weitere Erkenntnisse
- Unterschied mit ungeradem d = c - b
- Unterschied mit geradem d = c - b
- Ablesen der Abhängigkeit an der Funktion
- Auf der Suche nach den primitiven Zahlentripeln
- ggt und die Zahlentripel (ggT = größter gemeinsamer Teiler)
- Tabellen
- Fall 2a genauer betrachtet mit q > 1 und q² < d bzw. 2q² < d
- Fall 2a für d ungerade
- Fall 2a für d gerade
- Zusammenhang der Formel mit der Erzeugung primitiver Zahlentripel
- Formeln, die keine primitiven Zahlentripel liefern können
- Erzeugung primitiver Tripel durch Funktionen des Typs 2b
- Überblick/Beschreibung Sieb:
- Sieben der Ausgangsfunktion mit „ungeradem d“
- Sieben der Ausgangsfunktion mit „geradem d“
- Begründung für die Restklassen modulo q bzw. 2q
- Abhängigkeit der Ausgangsfunktion mit ungeradem d (d = q²)
- Abhängigkeit der Ausgangsfunktion mit geradem d (d = 2q²)
- Funktionen, die nur primitive Tripel liefern
- Beispiel für das Erstellen der „Unterfunktionen“ aus der Ausgangsfunktion
- Unterfunktionen für ungerades d bis d = 225
- Unterfunktionen für gerades d bis d = 200
- Weitere Zusammenhänge zwischen der Ausgangsfunktion und den „Unterfunktionen“
- d ungerade (d = q²)
- d gerade
- Veränderte „Unterfunktionen“
- Beispiele für d ungerade: d = 121 und d = 169
- Beispiele für d gerade: d = 32 und d = 50
- Vergleich Variante 1 und Variante 2 bei d = 121 und d = 32
- !!Neu: Start für f und g gefunden!! Jetzt perfekt!!
- Unterfunktionen für bestimmte gerade „d“, genauer d = 2q²
- Unterfunktionen für bestimmte ungerade „d“, genauer d = q²
- Weitere Erkenntnisse bei den Unterfunktionen mit nur primitiven Tripeln, Beweise
- Fall 1: (d gerade und d = 2q²)
- Fall 2: (d ungerade und d = q²)
- Überblick der Funktionen zur Erzeugung von pythagoräischen Zahlentripeln (c, b, a)
- Für alle Tripel
- d ist ungerade:
- d ist gerade:
- Ausgangsfunktionen für primitive Zahlentripel
- Für bestimmte ungerade „d“, genauer d = q²
- Für bestimmte gerade „d“, genauer d = 2q²
- Unterfunktionen hergeleitet aus den Ausgangsfunktionen
- Unterfunktionen mit ungeradem q und d = q²
- Unterfunktionen mit q Element aus ℕ und d = 2q²
- Für alle Tripel
- Die neuen Funktionen auf einen Blick
- Funktionspaar für alle pythagoräischen Tripel (Vorstufe)
- d ungerade
- d gerade
- Funktionspaar für alle primitiven pythagoräischen Tripel, die wichtigste Erkenntnis meiner Arbeit
- „Unterfunktionen“ mit ungeradem q und d = q² (d ungerade)
- „Unterfunktionen“ mit q Element aus ℕ und d = 2q² (d gerade)
- Funktionspaar für alle pythagoräischen Tripel (Vorstufe)
- Kürzere Formeln mit Ausgangsgröße b
- Funktionspaar für alle pythagoräischen Tripel (Vorstufe)
- d ungerade
- d gerade
- Funktionspaar für alle primitiven pythagoräischen Tripel, die wichtigste Erkenntnis meiner Arbeit
- „Unterfunktionen“ mit ungeradem q und d = q² (d ungerade)
- „Unterfunktionen“ mit q Element aus ℕ und d = 2q² (d gerade)
- Funktionspaar für alle pythagoräischen Tripel (Vorstufe)
- Primitive Tripel als Funktionen für a (neu), b und c
- „Unterfunktionen“ mit ungeradem q und d = q² (d ungerade)
- „Unterfunktionen“ mit q Element aus ℕ und d = 2q² (d gerade)
- Ausgangsfunktionen für primitive Tripel auch für a
- Ausgangsfunktionen mit ungeradem q und d = q² (d ungerade)
- Ausgangsfunktionen mit q und d = 2q² (d gerade)
- Wie alles zusammenhängt, ausgehend von a
- Zusammenhang der Ausgangsfunktionen für q ungerade (d = q²)
- Zusammenhang der Unterfunktionen für q ungerade (d = q²)
- Zusammenhang der Ausgangsfunktionen für d gerade, q∈ℕ (d = 2q²)
- Zusammenhang der Unterfunktionen für d gerade, q∈ℕ (d = 2q²)
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Zielsetzung dieser Arbeit ist die Entwicklung neuer Formeln und Funktionen zur Erzeugung pythagoräischer Zahlentripel, insbesondere die Generierung primitiver Tripel. Es wird ein neuer Ansatz verfolgt, der auf der Variablen 'd' (Differenz zwischen der größten und zweitgrößten Zahl des Tripels) basiert.
- Entwicklung neuer Formeln zur Generierung pythagoräischer Zahlentripel
- Untersuchung der Variable 'd' und deren Einfluss auf die Tripel
- Erstellung von Funktionen zur Erzeugung primitiver pythagoräischer Zahlentripel
- Analyse der Zusammenhänge zwischen verschiedenen Formeln und Funktionen
- Anwendung von Excel zur Unterstützung der Berechnungen
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Die Einleitung führt in die Thematik der pythagoräischen Zahlentripel und den neuen Ansatz mit der Variablen d ein, welcher die Grundlage der gesamten Arbeit bildet. Sie skizziert die Vorgehensweise und die zu erreichenden Ziele der Untersuchung. Die Bedeutung der effizienten Erzeugung solcher Tripel, insbesondere der primitiven, wird hervorgehoben.
Die Variable d: Dieses Kapitel untersucht systematisch die Variable d und ihre Beziehung zu pythagoräischen Zahlentripeln. Es werden Beweise für ungerade und gerade Reihen von d präsentiert, gefolgt von der Herleitung von Formeln für c basierend auf d = 1 und d = 2. Der Fokus liegt auf der Entwicklung von Formeln und Funktionen zur Berechnung von c abhängig von der Variablen d, und analysiert das Wachstum von c bei unterschiedlichen Werten von d. Das Kapitel legt die Basis für die weiteren Kapitel, indem es die grundlegenden mathematischen Zusammenhänge erarbeitet.
Überraschung bei d = 8 und d = 9: Dieses Kapitel untersucht die Sonderfälle d = 8 und d = 9, die von den zuvor etablierten Mustern abweichen. Es analysiert die Unterschiede zwischen ungeraden und geraden Werten von d und leitet daraus weitere Erkenntnisse für die Formelentwicklung ab. Die Besonderheit dieser Fälle wird detailliert beschrieben und in den Kontext der vorherigen Kapitel eingeordnet, um die umfassende Struktur der pythagoräischen Zahlentripel zu veranschaulichen.
Formel, Funktion: In diesem Kapitel werden die entwickelten Formeln und Funktionen zur Berechnung pythagoräischer Zahlentripel vorgestellt. Es wird bewiesen, dass a eine natürliche Zahl ist, und die Frage nach weiteren Zahlentripeln wird diskutiert. Ein wichtiger Aspekt ist die Implementierung der Funktionen in Excel, um die praktische Anwendung zu demonstrieren. Die Kapitel fasst die bis dahin entwickelten Formeln zusammen und beschreibt ihre Anwendung und Grenzen.
Weitere Erkenntnisse: Dieses Kapitel präsentiert zusätzliche Erkenntnisse über die Unterschiede bei ungeradem und geradem d und die Abhängigkeit der Funktionen von der Variablen d. Es erweitert das Verständnis der Zusammenhänge und bereitet den Weg für die Suche nach primitiven Zahlentripeln in den folgenden Kapiteln. Die gewonnenen Erkenntnisse werden detailliert beschrieben und bilden die Basis für die nachfolgenden Analysen.
Auf der Suche nach den primitiven Zahlentripeln: Das Kapitel konzentriert sich auf die Identifizierung und Erzeugung primitiver pythagoräischer Zahlentripel. Es untersucht den größten gemeinsamen Teiler (ggt) und analysiert verschiedene Fälle und Tabellen, um den Zusammenhang zwischen den Formeln und der Erzeugung primitiver Tripel aufzuzeigen. Es werden Strategien zur Eliminierung von nicht-primitiven Tripeln entwickelt und untersucht. Der Fokus liegt auf der Entwicklung von Methoden zur selektiven Generierung primitiver Tripel.
Funktionen, die nur primitive Tripel liefern: Dieses Kapitel beschreibt die Entwicklung von Funktionen, die ausschließlich primitive pythagoräische Zahlentripel liefern. Es werden verschiedene Ansätze vorgestellt, darunter die Verwendung von Unterfunktionen und das Sieben der Ausgangsfunktionen. Die mathematischen Grundlagen und die Beweise für die Korrektheit der Funktionen werden ausführlich erläutert. Die Kapitel gipfelt in der Präsentation von optimierten Funktionen, welche ausschließlich primitive Tripel erzeugen.
Überblick der Funktionen zur Erzeugung von pythagoräischen Zahlentripeln (c, b, a): Dieses Kapitel bietet einen umfassenden Überblick über die im Laufe der Arbeit entwickelten Funktionen zur Generierung von pythagoräischen Zahlentripeln. Es werden die Funktionen für alle Tripel und für primitive Tripel getrennt dargestellt und miteinander verglichen. Es präsentiert eine übersichtliche Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse der Arbeit.
Die neuen Funktionen auf einen Blick: Dieses Kapitel fasst die wichtigsten Ergebnisse der Arbeit zusammen, indem es die neuen Funktionen zur Erzeugung von pythagoräischen Zahlentripeln noch einmal prägnant darstellt. Es bietet eine übersichtliche Zusammenfassung der entwickelten Funktionen und deren Eigenschaften.
Kürzere Formeln mit Ausgangsgröße b: Dieses Kapitel präsentiert alternative Formeln, die von der Ausgangsgröße b ausgehen. Es bietet eine weitere Perspektive auf die Erzeugung pythagoräischer Zahlentripel und erweitert das Repertoire an verfügbaren Methoden. Die Kapitel zeigt alternative Lösungsansätze auf.
Primitive Tripel als Funktionen für a (neu), b und c: Das Kapitel präsentiert neue Funktionen, die direkt die Werte für a, b und c liefern, wobei der Fokus auf der Erzeugung primitiver Tripel liegt. Es werden die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Funktionen detailliert erläutert. Das Kapitel erweitert die bereits bestehenden Funktionen um neue Perspektiven und Ansätze.
Schlüsselwörter
Pythagoräische Zahlentripel, primitive Zahlentripel, Formel, Funktion, Variable d, größter gemeinsamer Teiler (ggt), Excel, Unterfunktionen, Restklassen, modulo, mathematischer Beweis.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zu: Entwicklung neuer Formeln und Funktionen zur Erzeugung pythagoräischer Zahlentripel
Was ist das Hauptziel dieser Arbeit?
Das Hauptziel ist die Entwicklung neuer Formeln und Funktionen zur Erzeugung pythagoräischer Zahlentripel, insbesondere die Generierung von primitiven Tripeln. Ein neuer Ansatz wird verfolgt, der auf der Variablen 'd' (Differenz zwischen der größten und zweitgrößten Zahl des Tripels) basiert.
Welche Rolle spielt die Variable 'd'?
Die Variable 'd' ist der zentrale Bestandteil des neuen Ansatzes. Die Arbeit untersucht systematisch den Einfluss von 'd' (gerade oder ungerade) auf die Struktur und die Erzeugung pythagoräischer Zahlentripel. Es werden Formeln und Funktionen entwickelt, die 'd' als Eingabevariable verwenden, um die Tripel zu berechnen.
Wie werden primitive pythagoräische Zahlentripel erzeugt?
Die Arbeit entwickelt verschiedene Funktionen und Methoden zur Erzeugung primitiver Tripel. Dies beinhaltet die Analyse des größten gemeinsamen Teilers (ggt), das Sieben von nicht-primitiven Tripeln und die Entwicklung spezieller "Unterfunktionen", die ausschließlich primitive Tripel liefern. Die "Unterfunktionen" sind optimierte Versionen der Hauptfunktionen, welche die Erzeugung von nur primitiven Tripeln gewährleisten.
Welche Arten von Funktionen werden vorgestellt?
Es werden verschiedene Arten von Funktionen vorgestellt: Funktionen zur Erzeugung aller pythagoräischen Tripel, Funktionen zur Erzeugung ausschließlich primitiver Tripel, und "Unterfunktionen" die aus den Hauptfunktionen abgeleitet wurden und ebenfalls nur primitive Tripel generieren. Zusätzlich werden alternative Formeln präsentiert, die von der Ausgangsgröße 'b' ausgehen.
Wie werden die Funktionen in der Praxis angewendet?
Die Arbeit beschreibt die Implementierung der Funktionen in Excel, um die praktische Anwendung zu demonstrieren. Tabellen und Beispiele werden verwendet, um die Funktionsweise und die Ergebnisse der Funktionen zu veranschaulichen.
Welche Sonderfälle werden betrachtet?
Die Arbeit betrachtet die Sonderfälle d = 8 und d = 9, die von den zuvor etablierten Mustern abweichen. Diese Fälle werden detailliert analysiert, um ein umfassendes Verständnis der Struktur pythagoräischer Zahlentripel zu erhalten.
Welche mathematischen Konzepte werden verwendet?
Die Arbeit verwendet mathematische Konzepte wie den größten gemeinsamen Teiler (ggt), Restklassen, Modulo-Operationen und mathematische Beweise, um die Korrektheit der entwickelten Funktionen zu gewährleisten.
Was sind die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeit?
Die wichtigsten Ergebnisse sind die Entwicklung neuer Formeln und Funktionen, insbesondere die "Unterfunktionen", die effizient und präzise primitive pythagoräische Zahlentripel erzeugen. Diese Funktionen bieten einen neuen Ansatz zur Generierung dieser Tripel und erweitern das bestehende Wissen auf diesem Gebiet.
Wie hängen die verschiedenen Funktionen zusammen?
Die Arbeit beschreibt detailliert die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Funktionen, insbesondere zwischen den Hauptfunktionen und den abgeleiteten "Unterfunktionen". Es werden Diagramme und Erklärungen bereitgestellt, um die Beziehungen zwischen den verschiedenen Ansätzen zu veranschaulichen.
Gibt es einen Überblick über alle entwickelten Funktionen?
Ja, die Arbeit bietet einen umfassenden Überblick über alle entwickelten Funktionen, sowohl für die Generierung aller pythagoräischen Tripel als auch für die Generierung ausschließlich primitiver Tripel. Dieser Überblick fasst die wichtigsten Ergebnisse der Arbeit zusammen und bietet eine übersichtliche Darstellung der verschiedenen Ansätze.
- Quote paper
- Wolfgang Mülhaupt (Author), 2023, Pythagoreische Zahlentripel und wie Formeln entstehen. Ein neuer Ansatz mit d = c - b, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1365537
