Die vorliegende Maturitätsarbeit untersucht die Quantifizierung des Spiels Roulette. Als Methoden der Quantifizierung wurden statistische und mathematische Modelle verwendet, welche anschließend in Computerprogrammen implementiert wurden. Diese Implementierung hatte zur Folge, dass die Ergebnisse aus den statistischen und mathematischen Modellen kontrolliert werden konnten. Mithilfe der quantitativen Analyse konnte veranschaulicht werden, dass man sein Geld beim Glücksspiel Roulette sicher vermehren kann und die Wahrscheinlichkeit eine gewisse Rendite zu erwirtschaften bis zu einem gewissen Grad vom Startguthaben abhängig ist. Die theoretisch ermittelten Werte in dieser Arbeit wurden am Schluss in der Praxis verwendet um einen Gewinn von 50 CHF zu erspielen.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1 Abstract
2 Einleitung
2.1 Fragestellung und These
2.2 Begründung der Themenwahl
2.3 Definition von Roulette
2.3.1 Europäisches Roulette
2.3.2 Wettmöglichkeiten
2.3.3 Höhe der Einsätze
2.4 Zusammenfassung vorhandener Arbeiten (Ausgangslage)
2.4.1 Wahrscheinlichkeiten
2.4.2 Martingale Strategie
2.4.3 Erwartungswert
2.4.4 Varianz und Standardabweichung
3 Material & Methoden
3.1 Theoretische Grundlagen und Begriffe
3.2 Charakteristika eines Glückspieles
3.3 Martingale-Methode
3.3.1 Beweis
3.3.2 Grenzen
3.3.3 Erwartete Runden
3.3.4 Martingale Runde
3.3.5 Gewinnwahrscheinlichkeiten
3.4 Weitere Strategien
3.4.1 D'Alembert
3.4.2 Fibonacci
3.5 Computersimulation verschiedener Szenarien
4 Resultate
4.1 Beschreibung der Simulationsergebnisse
5 Selbstversuch im Casino
6 Diskussion
7 Fazit
7.1 Beantwortung der Fragestellung
7.2 Selbstreflexion
7.3 Anregung für eine Weiterarbeit
Literaturverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Arbeitsjournal
Anhang
Vorwort
Entscheidet man sich erst einmal für eine mathematische Maturitätsarbeit, wird man nicht selten mit der Frage konfrontiert, welche Beweggründe einen dazu verleiteten, eine derlei herbe „Tortur“ auf sich zu nehmen. In meinem Fall bin ich in der Lage die Frage so zu beantworten, dass der Fragende keine „Tortur“ mehr vor Augen hat, sondern mehr eine Möglichkeit sieht, welche man nutzen kann um seine eigenen Interessen und Gedanken auf ein Blatt zu bringen. Ich habe dieses Thema also gewählt, weil ich die Chance hatte, die mir über 11 Jahren angeeigneten mathematischen Erkenntnisse an einem realen Beispiel ausführlich anwenden zu können. Außerdem denke ich, dass ich mit der Wahl dieses Themas den Grundstein für meinen akademischen und beruflichen Werdegang gelegt habe.
Ich möchte mich bei meinem Betreuer, Herrn Dr. S., ganz herzlich bedanken für die Begleitung während der ganzen Arbeit. Seine Tipps und Verbesserungsmöglichkeiten haben mir stets geholfen und haben es mir erleichtert diese Arbeit zu verfassen. Außerdem danke ich meiner Familie und meinen Freunden für die emotionale Unterstützung über die ganze Zeit. Allen Teilnehmenden will ich auch einen großen Dank aussprechen, denn ohne sie wäre diese Arbeit nicht zustande gekommen.
1 Abstract
Die vorliegende Arbeit untersucht die Quantifizierung des Spiels Roulette. Als Methoden der Quantifizierung wurden statistische und mathematische Modelle verwendet, welche anschließend in Computerprogrammen implementiert wurden. Diese Implementierung hatte zur Folge, dass die Ergebnisse aus den statistischen und mathematischen Modellen kontrolliert werden konnten. Mithilfe der quantitativen Analyse konnte veranschaulicht werden, dass man sein Geld beim Glücksspiel Roulette sicher vermehren kann und die Wahrscheinlichkeit eine gewisse Rendite zu erwirtschaften bis zu einem gewissen Grad vom Startguthaben abhängig ist. Die theoretisch ermittelten Werte in dieser Arbeit wurden am Schluss in der Praxis verwendet um einen Gewinn von 50 CHF zu erspielen.
2 Einleitung
2.1 Fragestellung und These
In dieser Arbeit wird die Anwendung von quantitativer Analyse beim Glücksspiel Roulette untersucht, wobei folgende Fragestellung zu beantworten ist:
- Kann man das eigene Geld mittels quantitativer Analyse sicher beim Roulette vermehren?
Des Weiteren habe ich, aufgrund meiner Überzeugung meine Fragestellung mit einem »Ja« beantworten zu können, eine These aufgestellt, welche zu bestätigen bzw. widerlegen ist:
- Anhand quantitativer Analyse werde ich beim Roulettespielen eine Rendite von 50 CHF erwirtschaften.
Das Ziel dieser Arbeit beruht dementsprechend in der Beantwortung der Fragestellung und der Bestätigung bzw. Widerlegung der These.
2.2 Begründung der Themenwahl
Wie im Vorwort schon angedeutet war mir die Anwendung meines Wissens, welches ich mir über all die Jahre aneignen durfte, an einem Beispiel im Alltag sehr wichtig. Folglich entschied ich mich für ein Thema, welches breit gefächert ist, Komponenten der Mathematik & Informatik beinhaltet und mich öfters im Alltag konfrontiert. Da meine Freunde und ich während den Mittagspausen oftmals in einem Online-Casino Roulette spielten, war für mich klar, dass ich mich mit diesem Spiel in meiner Maturitätsarbeit auseinandersetzen werde. Darüber hinaus war es für mich auch unentbehrlich Fähigkeiten und Wissen einzusetzen, welches ich in meinem späteren Beruf auch verwenden kann.
2.3 Definition von Roulette
2.3.1 Europäisches Roulette
Roulette ist ein Glücksspiel, bei welchem die spielenden Akteure darauf setzten, dass die geworfene Kugel auf das von ihnen gewählte Feld in einem Rouletterad landet. Die Wette, welcher der jeweilige Spieler setzt, wird auf einem Roulette-Tisch, welcher mit den Feldern des Rouletterads übereinstimmt, positioniert (Encyclopedia Britannica, o.D.).
Um die Felder des Roulettes zu verdeutlichen, wird nun Abb. 1 dargestellt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb.1: Ein Rouletterad und Roulette-Tisch(Encyclopedia BritannicaImageQuest, o.D.)
Es ist anzumerken, dass die Abb. 1 eine amerikanische Variante des Roulettes illustriert. In dieser Arbeit gehen wir aber vom europäischen Stil des Roulettes aus, bei dem die Ziffer 00 nicht vorhanden ist. Somit gibt es 37 Felder, auf welche die Kugel zu liegen kommen könnte. (Encyclopedia Britannica, o.D.)
2.3.2 Wettmöglichkeiten
Da man mehrere Wettmöglichkeiten beim Roulette zur Verfügung hat, werden in der Abb. 2 alle Möglichkeiten dargestellt.
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Abb. 2: Wettmöglichkeiten beim Roulette (Spielbank Bad Dürkheim, 2019)
Auch wenn es zahlreiche Wettmöglichkeiten gibt, liegt der Fokus in dieser Arbeit auf die Wettmöglichkeiten, bei welcher man den 1fachen Einsatz (und den gesetzten Einsatz) gewinnen kann. Somit kämen die fünf untersten Möglichkeiten in Frage (Siehe Abb.2).
2.3.3 Höhe der Einsätze
Üblicherweise sind die Minimum- und Maximalwetten an den jeweilig spielenden Tischen gekennzeichnet (Casino Austria, 2021). Somit sind diese nicht überall analog zueinander. In Deutschland erstrecken sich in manchen Casinos die Mindesteinsätze von 1€ bis 5€ und die Maximaleinsätze von 1800€ bis 7000€ (Die Spielbanken Niedersachsen, 2020). Im virtuellen Swiss Casinos beträgt der Mindesteinsatz 1 CHF und der Maximaleinsatz 1‘000 CHF (Swiss Casinos, o.D.).
2.4 Zusammenfassung vorhandener Arbeiten (Ausgangslage)
Es existieren schon mehrere Arbeiten und Bücher über das Glücksspiel Roulette und derer Mathematik dahinter. In den meisten Arbeiten bzw. Bücher hat man gewisse Wahrscheinlichkeiten, Strategien, Erwartungswerte und Varianzen untersucht. Meiner Meinung nach habe ich hier die wichtigsten Erkenntnisse zusammengefasst. Während meiner Recherche ist mir aufgefallen, dass die Forscher bei gewissen Werten andere Lösungen hatten. Dies lag daran, dass manche Forscher das amerikanische Roulette und die anderen das europäische Roulette untersuchten. Nachfolgend fasse ich einige Arbeiten und Bücher zusammen, wobei sich alle Werte auf das europäische Roulette beziehen.
2.4.1 Wahrscheinlichkeiten
Das Buch Roulette (Glück und Geschick), welches von Dr. Pierre Basieux verfasst wurde, untersucht alle Faktoren beim Roulette: Regeln, Strategien, Geschichte, Psychologie des Menschen, Kugelverhalten und weitere. Da sich diese Arbeit jedoch nur auf die Regeln und Strategien des Roulettes konzentriert, fasse ich folgendes zusammen:
Jeder Spielwurf (Coup) ist ein Zufallsexperiment, wobei das Feld, in der die Kugel zu liegen kommt, ein Ergebnis darstellt. Die Menge aller Ergebnisse, {0, 1, 2, ., 36}, bezeichnen wir mit G und nennen sie die Grundergebnismenge. Jede Teilmenge E der Grundergebnismenge G ist ein Ereignis E. Bezeichnen wir nun die Anzahl der Ergebnisse, aus denen das Ereignis E besteht, mit n(E), so beträgt die Wahrscheinlichkeit p(E) des einmaligen Eintretens des Ereignisses E (Basieux, 2013, S.23)
Zu jedem Ereignis E gehört ein Gegenereignis E. Für die Wahrscheinlichkeit p(E) gilt stets (Basieux, 2013, S.24)
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Wenn man nun die Wahrscheinlichkeit berechnen will, bei welcher das Ereignis E bei n- facher Wiederholung genau k Mal eintritt, muss man davon ausgehen, dass während der Ereignisfolge bei den ersten k Durchführungen E eintritt und bei den restlichen n - k Durchführungen nicht.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reihenfolge E, E, E, E, E,E, E, E, E, E, wobei n = 10, auftritt ist somit (Basieux, 2013, S.24) (Packel, 2006, S.80)
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Diese Wahrscheinlichkeit sagt jedoch nur aus, dass das Ereignis E zuerst fünf Mal nacheinander und dann das Ereignis E fünf Mal nacheinander eintritt. Wenn man aber die Wahrscheinlichkeit für das k-malige Eintreten von E im Laufe von n Versuchen (hier als bn,p(k) definiert) berechnen will, benötigt man den Binomialkoeffizienten. Damit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu (Basieux, 2013, S.25)
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Hierzu ein konkretes Beispiel:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zehn Coups irgendeine Ereignisfolge eintritt, die genau sechs rote Nummern enthält - und daher vier nichtrote -, beträgt nach dieser Formel
Wenn man nun einen Schritt weiter geht und die Wahrscheinlichkeit dafür sucht, dass bei n Coups mindestens k-mal das Ereignis E eintritt, so setzt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus der Wahrscheinlichkeit der bereits bekannten Form
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
und über alle j von k bis n aus. Unter Verwendung des Summenzeichens S erhalten wir (Basieux, 2013, S.27)
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Hierzu ein konkretes Beispiel:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 286 Coups mindestens 125 Mal Rot eintrifft (wobei die restlichen Coups Grün oder Schwarz aufweisen), beträgt gemäß dieser Formel
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Um diesen Term zu berechnen, müsste man über 150 Summanden einzeln ausrechnen und anschliessen zusammenaddieren.
2.4.2 Martingale Strategie
Eines der plausibelsten Glückspielsysteme ist die Martingale Strategie. Diese Strategie ist dafür bekannt dem Spieler einen Gewinn zu garantieren. Die Idee lautet wie folgt:
-Es wird 1 Einheit (meist 1 CHF) auf Rot, Schwarz, Gerade, Ungerade, Hoch oder Tief gesetzt.
-Gewinnt man, sammelt man den Gewinn ein und setzt wieder 1 Einheit.
-Verliert man aber, verdoppelt man beim nächsten Coup den Einsatz auf 2 Einheiten. Wenn man dann gewinnt, sammelt man den Gewinn ein und setzt wieder 1 Einheit.
-Wenn man aber auch beim nächsten Coup verliert (totaler Verlust = 3 Einheiten), verdoppelt man seinen Einsatz wieder und setzt 4 Einheiten.
-Zusammengefasst: Wenn man gewinnt, setzt man 1 Einheit. Wenn man verliert, verdoppelt man die folgenden Coups bis man gewinnt.
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Da die Wahrscheinlichkeit immer zu verlieren nach strebt, kann man mit dieser Strategie nur gewinnen. Jedoch gibt es zwei Probleme. Der Maximaleinsatz des jeweiligen Casinos darf nicht überschritten werden und der Einsatz kann nur solange verdoppelt werden wie es das Guthaben zulässt (Basieux, 2013, S.71) (Bollman, 2021, S.85) (Thorp, 1984, S.114).
2.4.3 Erwartungswert
Nehmen wir an man setzt immer 1 Einheit (hier 1) auf Rot (wenn man gewinnt und auch wenn man verliert). Die Wahrscheinlichkeit, dass man verliert, beträgt p =— Somit beträgt der Erwartungswert (Thorp, 1984, S.4) (Packel, 2006, S.24) (Wikibooks, o.D.) (Koken, 2000, S.8) (Pflaumer, 2019, S.1)
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Nachfolgend gilt: Je höher die Einheit, desto negativer ist der Erwartungswert.
Der Erwartungswert bei der Martingale Strategie unterscheidet sich jedoch von dem nun bekannten Erwartungswert. Man geht davon aus, dass N = 1,2,3,4.n die Anzahl Coups ist, welche gebraucht wird um während eines Spieles zu gewinnen. Eine Martingale Runde besteht aus N = 1,2,3,4.n Coups. N setzt sich aus n-1 Niederlagen und einem anschliessenden Sieg zusammen (falls man bei einer Martingale Runde keinen Einsatz mehr tätigen kann, weil das Guthaben den Einsatz nicht decken kann oder der Einsatz den Maximaleinsatz überschreitet und man nicht weiter spielen kann, so gilt dies auch als eine Martingale Runde). Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler alle N Coups verliert, beträgt pn (wobei p = 19/37). Der totale Verlust der Martingale Runde wäre dann 2n — 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler alle N Coups nicht verliert, beträgt 1 — pn. Der totale Gewinn einer Martingale Runde wäre dann 1 (hier ist 1 Einheit = 1). Somit ist der Erwartungswert bei einer Martingale Runde (Pflaumer, 2019, S.3)
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Bei M Martingale Runden beträgt der Erwartungswert (Pflaumer, 2019, S.3)
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2.4.4 Varianz und Standardabweichung
Nehmen wir an man wettet immer mit einer Einheit (hier mit 1) und die Wahrscheinlichkeit, dass man verliert wenn man auf Rot setzt beträgt p = 19/37. So beträgt die Varianz des Gewinns gemäss folgenden Formeln und Parametern (Pflaumer, S.1)
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Die Varianz des Gewinns bei der Martingale Strategie unterscheidet sich jedoch von der nun schon bekannten Varianz. Wie schon vorher beschrieben setzt sich eine Martingale Runde aus N = 1,2,3,4.. ,n Coups zusammen. So ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler alle n Einsätze verliert pn und der totale Verlust 2n — 1.Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler alle n Einsätze nicht verliert beträgt 1 — pn. Somit ist die Varianz des Gewinns bei einer Martingale Runde (Epstein, 2009, S.23) (Universität Ulm, 2011, S.68) (YouTube, 2020) (Pflaumer, 2019, S.3) (Lambacher Schweizer Stochastik, o.D.)
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Die Standardabweichung des Gewinns bei einer Martingale Runde beträgt somit
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3 Material & Methoden
3.1 Theoretische Grundlagen und Begriffe
In der Statistik werden unter anderem die folgenden Begriffe gebraucht um eine statistische Analyse zu beschreiben. Nachfolgend definiere ich statistische Begriffe für das Glücksspiel Roulette. Es wird angenommen, dass bei 100 Spielrunden die Kugel 4 Mal auf dem Feld 18 zu liegen kam.
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Tabelle 1: Statistische Begriffe für das Glücksspiel Roulette definiert. Quelle: Autor
Es ist anzumerken, dass h(x19) * p(x19) ist, weil ersteres die relative Häufigkeit beschreibt und letzteres die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel genau 4 Mal (bei 100 Runden) auf dem Feld 18 zu liegen kommt.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachten wir das Glücksspiel Roulette als ein Zufallsexperiment, welches man beliebig oft wiederholen kann. Bei der Durchführung einer Spielrunde tritt genau ein Ergebnis von mehreren möglichen Ergebnissen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein (Laplace Experiment). Das Ergebnis ist nicht vorhersehbar. Ausserdem gilt das Glücksspiel Roulette als ein Laplace Experiment, welches auch ein Zufallsexperiment ist. Jedoch haben alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit einzutreffen. Nachfolgend definiere ich die Mengen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung für das Glückspiel Roulette.
Jedes Feld, in welcher die Kugel während einer Runde zu liegen kommt, zählt als ein Ergebnis.
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Jede Teilmenge E der Ergebnismenge fi wird als Ereignis bezeichnet. Nachfolgend definiere ich 2 mögliche Ereignisse für das Glückspiel Roulette.
Das Feld, in welches die Kugel zu liegen kommt, trägt die Nummer 18. E1 = {18}
Ereignis E2: Das Feld, in welches die Kugel zu liegen kommt, ist durch 5 teilbar.
E2 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}
(Schanz, 2021)
3.2 Charakteristika eines Glückspieles
Casinospiele bieten dem Casino oft vorhersehbare langfristige Vorteile (Hausvorteile). Den Spielern bieten sie die Möglichkeit, kurzfristig zu gewinnen, was in einigen Fällen erheblich sein kann. Somit gilt, dass nachhaltig zu gewinnen, auf lange Sicht, als Spieler definitiv nicht möglich ist (Wikibrief, o.D.) (Basieux, 2013, s.82).
Der Nachteil für den Spieler ergibt sich aus der Tatsache, dass das Casino die Gewinne nicht den "echten Gewinnchancen" des Spiels entsprechend auszahlt. Bei den "echten Gewinnchancen" handelt es sich um die Auszahlungen, die unter Berücksichtigung der Gewinnchancen eines Gewinns zu erwarten wären. Wird beispielsweise auf eine Zahl auf einem Würfel gesetzt, so wäre die "echte Gewinnchance" das Fünffache des Einsatzbetrags (vorausgesetzt, der Spieler erhält den ursprünglichen Einsatzbetrag zurück), da eine 1:6- Chance besteht, dass die Zahl, auf welche gesetzt wurde, erscheint. Das Casino zahlt aber möglicherweise nur das Vierfache des Einsatzbetrags aus (Wikibrief, o.D.).
Nachfolgend veranschauliche ich den Hausvorteil eines Casinos an mehreren Beispielen.
a) Nehmen wir an, man setzt beim Roulette 1 CHF auf eine Zahl mit einer möglichen 35fachen Auszahlung.
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b) Nun die gleiche Wette aber mit 2 CHF.
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c) Nehmen wir an, man setzt beim Roulette 1 CHF auf Rot mit einer möglichen 1 -fachen Auszahlung.
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d) Nun die Gleiche Wette aber mit 2 CHF.
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Man sieht also, dass das Casino beim Roulette immer einen Hausvorteil von mindestens 2.7% hat (vorausgesetzt, dass der Mindesteinsatz 1 CHF ist). Nehmen wir aber nun an, dass wir das Feld 0 aus dem Spiel nehmen.
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Wir sehen, dass das Feld 0 essentiell für das Casino ist. Denn ohne die 0 wäre das Spiel Roulette fair und das Casino würde auf lange Sicht keinen Gewinn oder Verlust generieren.
(Packel, 2006, S.24)
3.3 Martingale-Methode
3.3.1 Beweis
Da im Kapitel 2.4.2 die Vorgehensweise bei der Martingale Strategie schon erläutert wurde, untersucht dieses Kapitel nur den mathematischen Themenbereich der Martingale Strategie.
Im folgenden Teil, veranschauliche ich, dass man bei der Martingale Strategie nach jedem Sieg das Guthaben um 1 Wetteinheit erhöht. Dazu verfasse ich zuerst eine Tabelle, welche den Einsatz während aufeinanderfolgenden Niederlagen darstellt.
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Tabelle 2: Einsatzhöhen während eines Martingale Spiels. Quelle: Autor
Explizite Darstellung: an = 2n [1]
Rekursive Darstellung: an+1 = an • 2 Um nun beweisen zu können, dass die Summe aller zuvor gesetzten Einsätze (bei kontinuierlichen Niederlagen) mit einem Sieg in der nächsten Runde gedeckt und sogar 1 Einheit dem Guthaben addiert werden kann, untersuche ich dies mit der Summenformel.
Die Summe der Einsätze bei n kontinuierlichen Niederlagen ergibt sich aus folgender Formel
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Die Einsatzhöhe bei der Niederlage an beträgt 2n_[1]. Somit würde der Einsatz bei an+1 die Höhe (2n_[1]) -2 betragen. Da man bei einem Gewinn seinen Einsatz und das 1-fache des Einsatzes zurückerhält und dann einen Gewinn von einer Einheit erwartet ergibt sich folgende Gleichung
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Für n kann man nun jede beliebige Zahl einsetzen und man erhält als Lösung eine 1.
3.3.2 Grenzen
Im Kapitel 2.4.2 wurden 2 Probleme bei der Martingale Strategie erläutert. Diese werden im folgenden Abschnitt untersucht. Als Wiederholung fasse ich die Probleme kurz zusammen.
1. Ich kann meinen Einsatz nur solange verdoppeln wie es mein Guthaben zulässt.
2. Der Maximaleinsatz darf nicht überschritten werden.
Nehmen wir an ich habe ein Guthaben g und will wissen wie viele Mal n ich nacheinander verlieren muss, damit ich nicht meinen Einsatz nicht mehr verdoppeln kann. Bei der Niederlage an (Verlust = 2n_[1]) muss ich (2n_[1]) -2 einsetzen um einen Gewinn von einer Einheit zu generieren. Dabei darf (2n_[1]) -2 (= 2n) nicht grösser als mein Guthaben g sein. Somit ergibt sich folgende Formel
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Da mein Guthaben eigentlich immer kleiner als der Maximaleinsatz ist, orientiere ich mich an diese Formel. Wenn aber der Maximaleinsatz kleiner als mein Guthaben ist, so müsste ich in der Formel das Guthaben g mit dem Maximaleinsatz mE austauschen. Es ist ausserdem noch anzumerken, dass als Vereinfachung n auf die nächstkleinere ganze Zahl gerundet werden muss.
Um Ihnen eine Idee zu geben, wie oft man beim Guthaben g verlieren muss, um nicht mehr mit der Martingale Strategie weiterspielen zu können, verfasse ich nachfolgend eine Tabelle.
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Tabelle 3: Aufeinanderfolgende Niederlagen bis zum Ruin. Quelle: Autor
Wenn man herausfinden will, wie oft man höchstens nacheinander verlieren darf, damit man mit der Martingale Strategie weiterspielen kann, so subtrahiert man n mit 1.
3.3.3 Erwartete Runden
Da nun erläutert wurde wie oft man nacheinander bei einem Guthaben g verlieren darf, untersuche ich nun wie viele Runden r man spielen muss um n Mal nacheinander zu verlieren. Dazu definiere ich
x[n] = Erwartete Anzahl Runden r um n Mal nacheinander zu verlieren
Um x[n] zu bestimmen, fangen wir mit x[1] an. Wenn die 1.Runde eine Niederlage mit q = ~
ist, so wäre x[1] = 1. Wenn die I.Runde aber ein Sieg mit p = — ist, so ist die erwartete Anzahl an Runden, bis man n-Mal hintereinander verliert x [1] + 1. Somit ergibt sich die Gleichung (University of Massachusetts Amherst, Week 5, S.4) (University of Massachusetts Amherst, Chapter 3, S.4)
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Um nun x[n] herauszufinden, schaue ich zuerst an, was nach n-1 aufeinanderfolgenden Niederlagen geschieht (x[n-1]). Wenn wir nach n-1 aufeinanderfolgenden Niederlagen mit q = 19 verlieren, dann brauchen wir x[n-1] + 1 Runden um n Mal nacheinander zu verlieren.
Wenn man aber nach n-1 aufeinanderfolgenden Niederlagen mit p = — gewinnt, so braucht man x[n-1] + 1 + x[n] Runden um n Mal nacheinander zu verlieren. Somit ergibt sich die Gleichung
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Um Ihnen eine Idee zu geben, wie hoch die Anzahl erwarteten Runden r ist um n Mal nacheinander zu verlieren, verfasse ich nachfolgend eine Tabelle.
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Tabelle 4: Erwartete Runden um n Mal nacheinander zu verlieren. Quelle: Autor
3.3.4 Martingale Runde
In diesem Kapitel werden statistische Kennzahlen während eines ganzen Spieles mit der Martingale Strategie untersucht. Im Kapitel 2.4.3 und 2.4.4 wurden schon folgende Werte zusammengefasst.
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Jetzt wird die Anzahl Martingale Runden berechnet. So kann man die Werte im Verhältnis zu den Coups exakt berechnen.
Eine Martingale Runde M beträgt (Pflaumer, 2019, S.5)
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erwarteten Coups. Um Ihnen eine Idee zu geben, wie lange eine Martingale Runde in CoupEinheiten dauert, verfasse ich nachfolgend eine Tabelle.
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Tabelle 5: Dauer einer Martingale Runde beim Guthaben g. Quelle: Autor
Diese Tabelle sagt unter anderem aus, dass wenn ich 6 Mal nacheinander verliere und somit nicht mit der Martingale Strategie weiterspielen kann, eine Martingale Runde etwa 2.018 Coups entspricht.
Nun können auch folgende statistische Kennzahlen genau berechnet werden.
Nehmen wir an, ich spiele mit einem Guthaben von 150 CHF und der jeweiligen Wette von 1 CHF 50 Runden. So ergeben sich folgende Werte.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3.3.5 Gewinnwahrscheinlichkeiten
In diesem Kapitel werden Wahrscheinlichkeiten für gewisse Gewinne mit der Martingale Strategie berechnet.
Nehmen wir an, ich spiele mit einem Guthaben von 150 CHF und einer jeweiligen Wette von 1 CHF. Gemäss der Formel im Kapitel 3.3.2 kann bei 7 aufeinanderfolgenden Niederlagen nicht mehr weiter spielen. So ergibt sich die folgende Gleichung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nehmen wir nun an, dass ich 10 CHF gewinnen will. Dafür müsste das obere Ereignis einfach 10 Mal hintereinander eintreten. Somit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Mit allen Formeln im Kapitel 3.3 lässt sich folgende allgemeine Formel, wobei der gewünschte Gewinn v ist, aufführen
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ist anzumerken, dass diese Formel beschreibt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass man v CHF gewinnt, wenn man solange spielt bis das Guthaben um v CHF steigt. Ausserdem wird n = log2 g auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet.
3.4 Weitere Strategien
Obwohl ich in dieser Arbeit hauptsächlich die Martingale Strategie untersuche, halte ich es für wichtig, andere Taktiken zu erläutern.
3.4.1 D'Alembert
Wie bei der Martingale Strategie fängt man mit einer Einheit (meist der Mindesteinsatz) an zu wetten. Verliert man, so sollte man seinen nächsten Einsatz um eine Einheit erhöhen. Gewinnt man aber, so verringert man seinen nächsten Einsatz um eine Einheit. Jedoch kann man auch im Falle einer langen Siegessträhne nie unter einer Einheit gehen. Der Vorteil der d‘Alembert Strategie im Gegensatz zur Martingale Strategie ist, dass das Risiko von hohen Verlusten hier sehr gering ausfällt. Der Nachteil dieser Strategie ist jedoch, dass man nicht nach jedem Sieg eine positive Bilanz aufweisen kann. Wenn man beispielsweise 4 Mal hintereinander verliert, so weist die Bilanz ein Minus von 10 Einheiten auf. Gewinnt man daraufhin die nächste Wette, so weist die Bilanz keinen Gewinn aus, sondern nur ein kleineres Defizit in Höhe von 5 Einheiten (Roulette-Online, o.D.).
3.4.2 Fibonacci
Meistens wird die Fibonacci Strategie bei Eins-zu-eins-Einsätzen im Roulette verwendet (d.h. bei Rot, Schwarz, Gerade, Ungerade, Hoch oder Tief). Die Einheit, mit welcher der Spieler seine Wetten tätigt, ist ihm überlassen. Gewinnt der Spieler die Runde, so wettet er immer wieder die gleiche Einheit bis er verliert. Verliert man, so beträgt die nächste Wette die Summe aller vorherigen Verluste. Nach der ersten Niederlage bedeutet das, dass der Einsatz dann immer noch eine Einheit beträgt. Bei der zweiten aufeinanderfolgenden Niederlage würde der Einsatz aber schon bei 2 Einheiten liegen (bei der dritten dann 3, bei der vierten dann 5 und so weiter). Die Einsätze bei aufeinanderfolgenden Niederlagen folgen der sogenannten Fibonacci Sequenz: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 (RouletteOnline, o.D.).
3.5 Computersimulation verschiedener Szenarien
Um die statistischen Kennzahlen und Wahrscheinlichkeiten für gewisse Szenarien beim Roulette mit der Martingale Strategie zu überprüfen, habe ich zwei Computerprogramme geschrieben, welche den Verlauf eines Spieles mit der Martingale Strategie simulieren können.
Mit der Programmiersprache Python habe ich ein Programm geschrieben, welches ein Szenario eines Spieles simulieren kann. Dabei können folgende Parameter je nach Belieben angepasst werden:
-Anzahl Coups
-Guthaben
-Jeweilige Wette (Einheitsgröße in CHF)
-Ausstieg aus dem Spiel ab einem gewissen Wert
Außerdem habe ich auch ein Excel-Programm geschrieben, wobei aber nur das Guthaben und die jeweilige Wette angepasst werden können. Der Verlauf des Spieles wird jedoch grafisch dargestellt. So kann abgelesen werden nach wie vielen Coups beziehungsweise Martingale Runden ein gewisses Ereignis eintritt.
4 Resultate
In diesem Kapitel werden die theoretischen Werte mit denen in der Simulation verglichen.
4.1 Beschreibung der Simulationsergebnisse
Folgende Voraussetzungen sollen gelten:
- Startguthaben: 200 CHF
Mit den nun bekannten Werten können wir folgende Kennzahlen theoretisch berechnen.
Die Anzahl aufeinanderfolgender Niederlagen, welche die weitere Anwendung der Martingale Strategie verhindern, beträgt
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Anzahl erwarteter Coups um 7 Mal hintereinander zu verlieren.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Obwohl x(7) ungefähre 216 Coups entsprechen, gehen wir davon aus, dass wir nur 20 Coups lang spielen, weil x(7) uns nur zeigen soll, wie viele Coups lang man maximal spielen dürfte um 7 Mal hintereinander zu verlieren. Außerdem besteht eine gewisse Varianz, welche bei einer Spiellänge von 216 Coups eine gewisse Unsicherheit schafft.
Eine Martingale Runde entspricht bei n = 7
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Erwartungswert für den Gewinn nach 20 Coups beträgt
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Die Varianz für den Gewinn nach 20 Coups beträgt
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Die Standardabweichung für den Gewinn nach 20 Coups beträgt
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Nimmt man nun an, dass man nicht nur 20 Coups lang spielt, sondern bis man einen Gewinn von 25 CHF erreicht, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür
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Mit den Computerprogrammen, welche ich mir der Programmiersprache Python und Excel erstellt habe, kann ich nun diese Kennzahlen kontrollieren. Das Python Programm erlaubt es mir den durchschnittlichen Gewinn nach 20 Coups zu errechnen und somit den Erwartungswert zu kontrollieren. Außerdem kann ich mithilfe des Programms die Wahrscheinlichkeit berechnen 20 CHF zu gewinnen. Das Excel Programm erlaubt es mir die Länge einer Martingale Runde und die Anzahl erwarteter Coups bis n = 7 zu ermitteln.
Nachfolgend sieht man die Auswertungen der Programme im Vergleich zu den theoretischen Werten.
Der Mittelwert der Gewinne nach 20 Coups betrug nach 200 Simulationen
1.35 CHF Theorie: - 2.02 CHF .
Die Wahrscheinlichkeit 25 CHF zu gewinnen betrug nach 100 Simulationen
80.2% Theorie: 78.94% .
Der Mittelwert der Martingale Runden nach 20 Coups betrug nach 100 Simulationen
9.416 Coups Theorie: 9.822 Coups .
Die durchschnittliche Anzahl Coups um n = 7 zu erreichen betrug nach 100 Simulationen
334Coups Theorie: 216.
5 Selbstversuch im Casino
Um meine These zu beweisen beziehungsweise zu widerlegen, führe ich im Rahmen dieser Arbeit einen Selbstversuch durch. Das in dieser Arbeit erworbene Wissen soll mir bei meinen Entscheidungen natürlich helfen.
Das Casino in welchem in dieses Experiment durchführe, ist ein das Online Casino der Casino Zürichsee AG. Ich habe mich für das virtuelle Casino entschieden, weil eine Runde hier um einiges schneller abläuft als im normalen Casino, wo eine Runde etwa 5 Minuten dauert.
Da mir von meinem Vater 250 CHF für dieses Experiment zur Verfügung gestellt wurde, gelten folgende Voraussetzungen:
Startguthaben: 250 CHF
Zielguthaben: 300 CHF
Bevor ich mit diesem Geld im Casino spiele, berechne ich natürlich zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintrifft und kontrolliere es nochmals mit den Computerprogrammen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Computerprogramme kommen auf eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 80% und bestätigen somit diese Wahrscheinlichkeit. Obwohl diese Wahrscheinlichkeit bei mir nicht gerade ein Gefühl von Sicherheit auslöste, entschied ich mich dafür das Experiment durchzuführen.
Nach genau 112 Coups habe ich dann aber erfolgreich 50 CHF gewonnen.
6 Diskussion
In diesem Kapitel werden meine Resultate interpretiert und Fehlerquellen diskutiert.
Ich habe herausgefunden, dass es möglich ist mit quantitativer Analyse das Glückspiel Roulette zu quantifizieren. Infolge dieser Kennzahlen konnte ich weitere Werte von ihnen ableiten. Diese waren grundlegend für die Formeln, welche ich aufgestellt beziehungsweise von anderen Arbeiten angepasst und übernommen habe.
Aufgrund meiner Resultate, welche die Ergebnisse aus den Formeln in dieser Arbeit mit den Ergebnissen aus den Computerprogrammen verglichen, komme ich zum Schluss, dass die Formeln wahre Ergebnisse liefern. Es ist anzumerken, dass die Stichprobengrösse (Anzahl Simulationen) bei den Computerprogrammen nur 100 betrug, weil ich annehme, dass es keinen grossen Unterschied macht, wenn ich sie erhöhen würde. Trotzdem wichen die Ergebnisse der Formeln im Vergleich zu den mit den Computerprogrammen untersuchten Ergebnissen leicht ab. Dies liegt an der Varianz der verschiedenen Ergebnisse. Jedoch war bei der Anzahl der erwarteten Coups um n Mal nacheinander zu verlieren die Differenz der beiden Ergebnisse stark unterschiedlich. Da ich zu diesem Wert keine konkrete Varianz berechnet habe beziehungsweise aufgrund meines aktuellen Wissenstands nicht in der Lager war diese zu berechnen, nehme ich an, dass die Varianz im Intervall I = [10‘000; 15‘000] liegt. Ich habe auch keine arbeiten gefunden, bei welcher genau diese Varianz für diesen Wert berechnet wurde.
Nachdem ich Wahrscheinlichkeiten für gewisse Szenarien berechnet und auch verglichen habe, musste ich eine Grenze definieren, welche eine Wahrscheinlich als sicher oder unsicher definiert. In der Mathematik beträgt die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses 100% (Martin Knecht Gymnasium Münchenstein, 2011). Da so eine Wahrscheinlichkeit in einem Casino nicht möglich ist, habe ich eine Umfrage in meinem Freundeskreis durchgeführt. Diese veranschaulichte, dass die durchschnittliche Person eine Wahrscheinlichkeit als sicher erachtet, falls diese mindestens 91% beträgt. Ich persönlich stimme dieser Zahl zu.
7 Fazit
7.1 Beantwortung der Fragestellung
Als Wiederholung führe ich hier nochmals die Fragestellung und These auf, welche ich zu Beginn dieser Arbeit verfasst habe.
Fragestellung: Kann man das eigene Geld mittels quantitativer Analyse sicher beim Roulette vermehren?
These: Anhand quantitativer Analyse werde ich beim Roulette spielen eine Rendite von 50.CHF erwirtschaften.
Wie im Kapitel 6 schon definiert wurde, bedeutet “sicher“ in dieser Arbeit, dass eine Wahrscheinlichkeit mindestens 91% beträgt. Mithilfe der Formel, welche in dieser Arbeit erarbeitet wurde, konnte veranschaulicht werden, dass man zum Beispiel eine Rendite von einem CHF mit einer Wahrscheinlichkeit von 99.06% erwirtschaften kann. Somit lautet die Antwort auf die Fragestellung:
Antwort: Ja, kann man.
Im Kapitel 5 habe ich den Selbstversuch im Casino festgehalten, aus welchem man herauslesen kann, dass ich 50 CHF erwirtschaftet habe. Somit gilt für die These:
These: Bestätigt.
7.2 Selbstreflexion
Dieser Reflexionsabschnitt bezieht sich auf das neu erlangte Wissen, welches ich mir im Rahmen dieser Maturitätsarbeit aneignen durfte. Ich empfand das Schreiben dieser Maturitätsarbeit als sehr aufregend und motivierend. Neue Formeln und Kennzahlen aus schon vorhandenen Werten zu erstellen fand ich sehr spannend, weil das Gefühl etwas Neues zu schaffen unglaublich war. Außerdem motivierte mich stets die Tatsache, dass ich neue Fähigkeiten während dieser Arbeit erlangte. Denn nach dieser Arbeit kann ich guten Gewissens sagen, dass ich mathematische Modelle in Computerprogrammen implementieren kann und diese auch quantitativ analysieren kann. Als weniger interessant empfand ich die mühselige Kontrolle der theoretisch erlangten Kennzahlen, weil ich denke, dass im Vergleich zu meiner Herangehensweise sicher eine andere schnellere Methode gibt. Im Nachhinein 23
spielt dies aber keine große Rolle, da ich mein Ziel, die Beantwortung der Fragestellung und Bestätigung beziehungsweise Widerlegung meiner These, erreicht habe.
7.3 Anregung für eine Weiterarbeit
Nachfolgend verfasse ich Ideen für weiterführende Arbeiten auf Grundlage dieser Maturitätsarbeit:
1. Anwendung von quantitativer Analyse beim Poker. Man könnte Poker, wie bei dieser Arbeit, mit Computerprogrammen und statistischen beziehungsweise mathematischen Werten quantifizieren. Dies könnte man natürlich auch bei anderen Glücksspielen wie Black Jack oder Baccara durchführen.
2. Anwendung der Fibonacci Progression beim Roulette. Wie in dieser Arbeit schon erwähnt, ist die Martingale Strategie nicht die einzige. Man könnte deshalb statistische und mathematische Kennzahlen, welche sich bei der Martingale Strategie und der Fibonacci Strategie ergeben, vergleichen.
3. Vielfältigkeit der Martingale Strategie. In einer anderen Arbeit könnte man untersuchen, in welchen Bereichen man die Martingale Strategie beziehungsweise die Martingale Folge einsetzen und daraus einen Mehrwert ziehen könnte. Ein Beispiel wäre die Finanzmathematik.
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Abbildungsverzeichnis
Abb. 1:Ein Rouletterad und Roulette-Tisch(Encyclopedia BritannicaImageQuest, o.D.)
Abb. 2: Wettmöglichkeiten beim Roulette (Spielbank Bad Dürkheim, 2019)
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Statistische Begriffe für das Glücksspiel Roulette definiert. Quelle: Autor
Tabelle 2: Einsatzhöhen während eines Martingale Spiels. Quelle: Autor
Tabelle 3: Aufeinanderfolgende Niederlagen bis zum Ruin. Quelle: Autor
Tabelle 4: Erwartete Runden um n Mal nacheinander zu verlieren. Quelle:Autor
Tabelle 5: Dauer einer Martingale Runde beim Guthaben g. Quelle: Autor
Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Arbeitsjournal
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Anhang
A Python Programm
Um meine Resultate im Kapitel 4 und meinen Selbstversuch zu simulieren, wurde das folgende Python Programm verwendet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
B Excel Programm
Um das Guthaben während eines Spieles grafisch darzustellen, habe ich auch eine Excel- Datei verfasst.
Da ich nicht in der Lage bin die Excel Datei zu verlinken, füge ich hier nun Grafiken der Datei ein. So kann man, falls man dies will, das Excel Programm selber schreiben.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Grafik zeigt den Graphen g(x), welcher den Verlauf des Guthabens während eines Roulette-Spiels darstellt. Die x-Achse besteht aus der Anzahl Würfen und die y-Achse besteht aus der Anzahl CHF. Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugewiesen, also jedem Wurf wird eine Anzahl CHF zugewiesen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die sind von oben nach unten und jeweils von links nach rechts zu lesen. Will man das Startguthaben oder den Starteinsatz ändern, so kann man diese Parameter in den Feldern A1 und B1 je nach Belieben anpassen.
C Quellenverzeichnis für Programme
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D Quellen Bilder
https://quest.eb.com/search/167_3984129/1/167_3984129/cite
E Verbesserungsmöglichkeiten
Nach der Abgabe dieser Arbeit wurden folgende Punkte erwähnt, welche Verbesserungspotenziale aufweisen:
- Man kann eine höhere Gewinnwahrscheinlichkeit erreichen, indem man die jeweilige Wette erhöht.
- Bei einer quantitativen Analyse sollte man mit sehr vielen Daten arbeiten.
-> Siehe optimiertes Python Programm
Häufig gestellte Fragen
Was ist das Hauptthema dieser Arbeit über Roulette?
Die Arbeit untersucht die Quantifizierung des Spiels Roulette durch statistische und mathematische Modelle, die in Computerprogrammen implementiert werden. Ziel ist es, zu analysieren, ob man mit quantitativer Analyse sein Geld beim Roulette sicher vermehren kann.
Welche Fragestellung wird in der Einleitung formuliert?
Die zentrale Fragestellung lautet: "Kann man das eigene Geld mittels quantitativer Analyse sicher beim Roulette vermehren?"
Welche These wird zu Beginn der Arbeit aufgestellt?
Die These ist: "Anhand quantitativer Analyse werde ich beim Roulettespielen eine Rendite von 50 CHF erwirtschaften."
Was ist das europäische Roulette, und wie unterscheidet es sich vom amerikanischen Roulette?
Das europäische Roulette hat 37 Felder (0 bis 36), während das amerikanische Roulette zusätzlich ein Feld "00" hat, was die Gewinnwahrscheinlichkeiten beeinflusst. Diese Arbeit konzentriert sich auf das europäische Roulette.
Welche Wettmöglichkeiten werden in dieser Arbeit hauptsächlich betrachtet?
Der Fokus liegt auf Wettmöglichkeiten, bei denen man den einfachen Einsatz (und den gesetzten Einsatz) gewinnen kann (z.B. Rot/Schwarz, Gerade/Ungerade, Hoch/Tief).
Was ist die Martingale-Strategie, und wie funktioniert sie?
Die Martingale-Strategie beinhaltet das Setzen einer Einheit (z.B. 1 CHF) auf eine einfache Chance (z.B. Rot). Bei Verlust wird der Einsatz beim nächsten Coup verdoppelt, bis ein Gewinn erzielt wird. Nach einem Gewinn wird wieder 1 Einheit gesetzt.
Welche Grenzen hat die Martingale-Strategie?
Die Martingale-Strategie hat zwei Hauptgrenzen: Der Maximaleinsatz des Casinos darf nicht überschritten werden, und das Guthaben des Spielers muss ausreichen, um den Einsatz so lange zu verdoppeln, bis ein Gewinn erzielt wird.
Was ist der Erwartungswert beim Roulette, und wie wird er berechnet?
Der Erwartungswert gibt den durchschnittlichen Gewinn oder Verlust pro Einsatz an. Beim Setzen auf Rot mit einer Einheit ist der Erwartungswert negativ, da die Wahrscheinlichkeit zu verlieren etwas höher ist als die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen.
Was ist die Varianz und Standardabweichung beim Roulette?
Die Varianz und Standardabweichung messen die Streuung der möglichen Gewinne und Verluste um den Erwartungswert. Sie geben Aufschluss über das Risiko, das mit einer bestimmten Strategie verbunden ist.
Wie wurde die Theorie in der Praxis getestet?
Die theoretischen Erkenntnisse wurden durch Computersimulationen verschiedener Szenarien und durch einen Selbstversuch in einem Online-Casino überprüft.
Welche Computerprogramme wurden zur Simulation verwendet?
Ein Programm wurde in Python geschrieben, um Spielszenarien mit anpassbaren Parametern (Anzahl Coups, Guthaben, Einsatz) zu simulieren. Zusätzlich wurde ein Excel-Programm erstellt, um den Guthabenverlauf grafisch darzustellen.
Was war das Ergebnis des Selbstversuchs im Casino?
Im Selbstversuch wurde mit einem Startguthaben von 250 CHF versucht, eine Rendite von 50 CHF zu erwirtschaften. Dies gelang nach 112 Coups.
Was sind die Charakteristika eines Glücksspiels?
Casinospiele haben oft vorhersehbare langfristige Vorteile für das Casino (Hausvorteile). Den Spielern bieten sie die Möglichkeit, kurzfristig zu gewinnen, was in einigen Fällen erheblich sein kann. Somit gilt, dass nachhaltig zu gewinnen, auf lange Sicht, als Spieler definitiv nicht möglich ist.
Was ist der Hausvorteil?
Der Hausvorteil ist der Vorteil für das Casino. Dieser ergibt sich aus der Tatsache, dass das Casino die Gewinne nicht den "echten Gewinnchancen" des Spiels entsprechend auszahlt.
Welche weiteren Strategien (ausser Martingale Strategie) werden in dieser Arbeit erläutert?
D'Alembert und Fibonacci Strategie
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- Anonym (Author), 2022, Anwendung von quantitativer Analyse beim Glücksspiel Roulette, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1352608
