Problemhaltige Denk- und Sachaufgaben handelnd lösen. Entwicklung von Lösungsstrategien in Kleingruppen in der 2. Klasse

Examensarbeit , 2009 , 165 Seiten , Note: 1,0

Didaktik - Mathematik

In dieser Arbeit werden die Antworten auf die folgenden Fragen gesucht:
Ob selbstständiges Lösen (entdeckendes Lernen) ohne beziehungsweise mit wenig Steuerung seitens der Lehrkraft möglich ist und ob die zur Verfügung stehenden Arbeitsmittel eine konkrete Hilfe darstellen beziehungsweise wie sie genutztwerden.
Ob die Arbeit in Kleingruppen die geeignete Methode ist, um Lösungsfähigkeiten bei der Bearbeitung von Problemaufgaben zu entwickeln.
Ob das zweite Schuljahr ein geeigneter Zeitpunkt ist, die Schüler an problemhaltige Sachaufgaben heranzuführen und welche „Strategien“ die Kinder zum Lösen einsetzen.

Ist es für alle Leistungsgruppen interessant, knifflige Sachaufgaben zu bearbeiten oder wenden sich nur die leistungsstarken Kinder gerne solchen Aufgaben zu?

Im Kern der Arbeit werden theoretische Grundlagen zu problemhaltigen Denk- und Sachaufgaben, zu Problemlöseprozessen und zur Bedeutung kooperativer Arbeits-formen für die Thematik beleuchtet, die die Grundlage für die methodische Umsetzung der Unterrichtseinheit bilden.

Die im Rahmen der Hausarbeit geplanten Unterrichtseinheiten konnten an einer Schwerpunktschule durchgeführt werden, wodurch die Möglichkeit bestand, in einigen festgelegten Stunden, in Leistungsgruppen zu arbeiten. Die Verfasserin unterrichtete in Mathematik eine Gruppe von 8 Schülern, die in diesem Fach zu den leistungsstärksten der Klasse gehören. Um die Kinder entsprechend zu fördern (und zu fordern), wählte die Autorin Problemaufgaben aus, die die Schüler in Partnerarbeit lösen sollten. Zu jeder Aufgabe wurden Materialien zur Verfügung gestellt, die ein handelndes Lösen ermöglichen. Die Autorin war einerseits erfreut über die Begeisterung, mit der diese 8 Kinder ihren Mitschülern anschließend erzählten, was sie gemacht hatten, andererseits war sie von der Qualität der Ergebnisse positiv überrascht. So reifte der Gedanke, allen Kindern der Klasse in einer Unterrichtseinheit Zugang zu problemhaltigen Denk- und Sachaufgaben zu verschaffen, die – anders als im traditionellen Mathematikunterricht, in dem Kenntnisse und Fertigkeiten unter der Führung der Lehrkraft an Beispielaufgaben vermittelt werden – die Chance bieten, durch eigene Entdeckungen und Überlegungen zu einer Lösung zu gelangen.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Sachaspekte
2.1 Problemhaltige Denk- und Sachaufgaben
2.1.1. Zum Begriff „ Problemaufgaben “
2.1.2. Verschiedene Typen von Problemaufgaben
2.1.3. Aufgaben mit kombinatorischem Hintergrund als spezielle Sachaufgaben
2.2 Problemlöseprozesse
2.2.1 Der Prozesscharakter des Problemlösens
2.2.2 Die Repräsentation des Problems
2.2.3 Der Erwerb strategischen Lösungswissens

3 Didaktische Aspekte
3.1 Legitimation
3.2 Bedeutung des Inhaltes für die Schüler
3.3 Voraussetzungen für den Unterricht
3.3.1 Entwicklungspsychologische Aspekte
3.3.2 Lernvoraussetzungen und Vorerfahrungen der Klasse
3.3.3äußere Voraussetzungen
3.3.4 Zielsetzungen für die Unterrichtseinheit

4 Methodische Entscheidungen und Begründungen zur Umsetzung der Thematik in Kleingruppen
4.1 Gruppenarbeit
4.2 Die Bedeutung kooperativer Arbeitsformen für das Thema
4.3 Grundsätzliche methodische Überlegungen
4.4 Medien
4.5 Unterrichtsprinzipien

5 Überblick über den Aufbau der Einheit

6 Unterrichtspraktische Umsetzung der Einzelstunden
6.1 „Legotürme bauen“ als Einstieg in die Kombinatorik (05.11.08) Problemhaltige Denk- und Sachaufgaben handelnd lösen
6.1.1 Vorwort
6.1.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde
6.1.3 Kurzdarstellung des geplanten Unterrichts
6.1.4 Reflexion
6.2 „Tiere auf der Mauer“ (07.11.08)
6.2.1 Vorwort
6.2.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde
6.2.3 Kurzdarstellung des geplanten Unterrichts
6.2.4 Reflexion
6.3 „Kommissar Spürnase“ - Wir lösen den Fall auf jeden Fall! (12.11.08 - ausführliche Darstellung)
6.3.1 Didaktische Entscheidungen und Begründungen
6.3.1.1 Sachanalyse
6.3.1.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde
6.3.2 Methodische Entscheidungen und Begründungen
6.3.2.1 Artikulation des Unterrichts
6.3.2.2 Sozial-, Ordnungs- und Organisationsformen
6.3.2.3 Medien
6.3.2.4 Unterrichtsprinzipien
6.3.2.5 Geplanter Unterrichtsverlauf
6.3.2.6 Reflexion
6.4 „Häschen für Tom“ (14.11.08)
6.4.1 Vorwort
6.4.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde
6.4.3 Kurzdarstellung des geplanten Unterrichts
6.4.4 Reflexion
6.5 „Blinde Sockensuche“ (19.11.08)
6.5.1 Vorwort
6.5.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde
6.5.3 Kurzdarstellung des geplanten Unterrichts
6.5.4 Reflexion und unterrichtspraktische Konsequenzen
6.6 „Die Geschichte vom Teufel und vom armen Mann“ (21.11.08) Problemhaltige Denk- und Sachaufgaben handelnd lösen
6.6.1 Vorwort
6.6.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde
6.6.3 Kurzdarstellung des geplanten Unterrichts
6.6.4 Reflexion
6.7 „Die Schnecke im Brunnen“ (26.11.08 - ausführliche Darstellung)
6.7.1 Didaktische Entscheidungen und Begründungen
6.7.1.1 Sachanalyse
6.7.1.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde
6.7.2 Methodische Entscheidungen und Begründungen
6.7.2.1 Artikulation des Unterrichts
6.7.2.2 Sozial-, Ordnungs- und Organisationsformen
6.7.2.3 Medien
6.7.2.4 Unterrichtsprinzipien
6.7.2.5 Geplanter Unterrichtsverlauf
6.7.2.6 Reflexion
6.8 „Petterssons Problem“ (28.11.08)
6.8.1 Vorwort
6.8.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde
6.8.3 Kurzdarstellung des geplanten Unterrichts
6.8.4 Reflexion
6.9 „Lerntheke zu problemhaltigen Denk- und Sachaufgaben“ (03.12.08)
6.9.1 Vorwort
6.9.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde
6.9.3 Kurzdarstellung des geplanten Unterrichts
6.9.4 Reflexion

7 Abschlussreflexion

8 Literaturverzeichnis

9 Anhang

1 Einleitung

Da es sich bei der Grundschule in R. um eine Schwerpunktschule handelt, besteht in einigen festgelegten Stunden die Möglichkeit, in Leistungsgruppen zu arbeiten. So unterrichtete ich in Mathematik eine Gruppe von 8 Schülern, die in diesem Fach zu den leistungsstärksten der Klasse gehören. Um die Kinder entsprechend zu fördern (und zu fordern), wählte ich Problemaufgaben aus, die die Schüler in Partnerarbeit lösen sollten. Zu jeder Aufgabe stellte ich Materialien zur Verfügung, die ein handelndes Lösen ermöglichen. Ich war einerseits erfreut über die Begeisterung, mit der diese 8 Kinder ihren Mitschülern anschließend erzählten, was sie gemacht hatten, andererseits war ich von der Qualität der Ergebnisse positiv überrascht.

So reifte in mir der Gedanke, allen Kindern der Klasse in einer Unterrichtseinheit Zugang zu problemhaltigen Denk- und Sachaufgaben zu verschaffen, die - anders als im traditionellen Mathematikunterricht, in dem Kenntnisse und Fertigkeiten unter der Führung der Lehrkraft an Beispielaufgaben vermittelt werden - die Chance bieten, durch eigene Entdeckungen und Überlegungen zu einer Lösung zu gelangen. In der Regel werden Schüler mit Textaufgaben konfrontiert, bei denen „nur“ eine Überset-zungsleistung gefordert ist (das Übersetzen eines Kontextes in eine mathematische Gleichung), die aber nicht geeignet sind, Problemlösefähigkeit, Kommunikationsfähigkeit und mathematische Sprachkompetenzen (Argumentieren, Begründen, Erklären, Beschreiben etc.) zu entwickeln, die laut Teilrahmenplan Mathematik (2002, S. 27 ff.) angestrebt werden sollen. Die genannten Fähigkeiten bzw. Kompetenzen können nur innerhalb eines langfristigen Lernprozesses entwickelt werden. Ich ent-schloss mich deshalb damit in Klasse 2 zu beginnen - einem Zeitpunkt, zu dem in der Regel das Arbeiten mit Textaufgaben erst so richtig beginnt. Hier stellt sich die Frage nach den Unterrichtsbedingungen, die für das Erreichen der angestrebten Ziele förderlich sind:

- Ist selbstständiges Lösen (entdeckendes Lernen) ohne bzw. mit wenig Steuerung seitens der Lehrkraft möglich und stellen die zur Verfügung stehenden Arbeits- mittel eine konkrete Hilfe dar bzw. wie werden sie genutzt?
- Ist die Arbeit in Kleingruppen die geeignete Methode, um Lösungsfähigkeiten bei der Bearbeitung von Problemaufgaben zu entwickeln?
- Ist das zweite Schuljahr ein geeigneter Zeitpunkt, die Schüler an problemhaltige Sachaufgaben heranzuführen und welche „Strategien“ setzen die Kinder zum Lö- sen ein?
- Ist es für alle Leistungsgruppen interessant, knifflige Sachaufgaben zu bearbeiten oder wenden sich nur die leistungsstarken Kinder gerne solchen Aufgaben zu?

Im Anschluss an die Einleitung werden theoretische Grundlagen zu problemhaltigen Denk- und Sachaufgaben, zu Problemlöseprozessen und zur Bedeutung kooperativer Arbeitsformen für die Thematik beleuchtet, die die Grundlage für die methodische Umsetzung der Unterrichtseinheit bilden.

Zur besseren Lesbarkeit der Arbeit ist ausschließlich die maskuline Form für Schüler verwendet, schließt jedoch die Schülerinnen mit ein.

2 Sachaspekte

2.1 Problemhaltige Denk- und Sachaufgaben

2.1.1. Zum Begriff „ Problemaufgaben “

Der Begriff „Problemaufgaben“ (problemhaltige Textaufgaben/problemhaltige Denk- und Sachaufgaben) bezeichnet eine Aufgabengruppe, der in der Regel an- spruchsvolle mathematische Strukturen zu Grunde liegen und die häufig so in Sach- situationen eingebettet sind, dass die den Kindern vertrauten Grundmodelle der Re- chenoperationen nicht ohne weiteres sichtbar bzw. nicht ohne Transferleistung an- zuwenden sind. Einerseits knüpfen die Texte der Aufgaben an Erfahrungsbereiche der Kinder an, andererseits werden auf diesem Hintergrund ungewohnte mathemati- sche Zusammenhänge geschildert, über die das Kind in der Regel bisher noch nicht nachgedacht hat. Somit wird ein neues, anderes Nachdenken über einen bekannten Sachverhalt gefordert (Rasch, 2006, S. 5).

Beispiel: Max, Tim, Gabi, Lena und Anne treffen sich auf dem Spielplatz. Alle Kin- der begr üß en sich mit Handschlag. Wie oft werden Hände geschüttelt?

Teilweise ist die mathematische Struktur der Aufgaben in anspruchsvolle, sprachli- che Formulierungen eingebettet, die mehrfach gelesen bzw. durchdacht werden müs- sen.

Beispiel: Dornröschen hat sich an der Spindel gestochen und schläft 100 Jahre. Um das Schloss wächst eine Hecke. Im ersten Jahr wächst sie einen halben Meter. In den darauf folgenden Jahren wächst sie immer um die Höhe, die die Hecke in dem Jahr davor erreichte. Wie hoch ist die Hecke nach sechs Jahren?

Nicht selten werden in Problemaufgaben mehrere voneinander abhängige Bedingun- gen genannt, die vom Lösenden gleichzeitig zu berücksichtigen sind. Dies entspricht weniger den Lösungsgewohnheiten von Grundschulkindern, die eher mit dem Lösen von Routineaufgaben vertraut sind, die dem Schema „Zustand-Operator- Zustand“ folgen (ebd.).

Heinrich Winter hat im Zusammenhang mit Textaufgaben die Begriffe „Routineauf- gaben“ und „Problemaufgaben“ geprägt. Eine Routineaufgabe ist für einen Schüler dann eine solche, wenn er in ihr „mehr oder weniger sofort“ einen bekannten Aufga- bentyp erkennt (Winter, 1992, S. 7). „Die Aufgabe ist nur die Variation einer Mus- teraufgabe. Oft liefert der Text unmittelbar den Schlüssel zur Identifikation des Typs“ (ebd.). Problemaufgaben hingegen erfordern nach Winter für das Lösen ein Verständnis der Situation, „um daraus geeignete Schritte zur Verarbeitung der gege- benen Information zu gewinnen“ (ebd.).

Ein weiteres kennzeichnendes Merkmal, das „Problemaufgaben“ von den so genannten „Routineaufgaben“ abhebt, ist der Aspekt der Offenheit. Dieses Merkmal kann die Fragestellung oder die in der Aufgabe enthaltenen Daten betreffen. Eine für Grundschüler ungewohnte Offenheit besteht auch dann, wenn es mehrere Lösungen oder möglicherweise auch gar keine Lösung gibt (Kapitänsaufgaben).

-b eine Sachaufgabe den Problemaufgaben zuzuordnen ist, hängt unbedingt auch von den kognitiven Voraussetzungen der Kinder ab. So können beispielsweise in den ersten beiden Schuljahren durchaus Routineaufgaben für Grundschulkinder Problem- aufgaben sein, wenn sie Operationen erfordern, die den vertrauten Zahlenraum über- schreiten oder noch nicht zum „in der Schule erworbenen“ Wissen gehören (Rasch, 2006, S. 6).

Beispiel: Max, Tim und Lena finden einen Beutel mit Murmeln. Sie zählen 27 Stück. Sie wollen die Murmeln gerecht unter sich verteilen. Geht das? (Klassen- stufe 1)

2.1.2. Verschiedene Typen von Problemaufgaben

Rasch hat eine Klassifizierung von Problemaufgaben im Rahmen einer Studie vorgenommen (Rasch, 2001, S. 28 ff.), die sich nicht ausschließlich an der mathematischen Struktur orientiert, da diese für die Zuordnung einer Textaufgabe nicht immer das entscheidende Merkmal ist. Vielmehr seien verschiedene strukturelle Ebenen für die Einteilung von Problemaufgaben bestimmend:

- Entwicklungsspezifische Aspekte
- Sprachlich-situative Aspekte
- Semantische Aspekte
- Mathematische Aspekte

Folgende Kategorien, die auch das differenzierte Erscheinungsbild von Problemaufgaben kennzeichnen, konnten bestimmt werden. Ausführlichere Erläuterungen und Beispiele zu den folgenden Typen von Problemaufgaben können dem Anhang entnommen werden. (vgl. Anhang)

1) Problemaufgaben auf Zeit
2) Besonderheiten in den Aufgabenbedingungen
3) Schwierige mathematische Strukturen Aufgaben mit kombinatorischem Hintergrund Aufgaben zur Schlussrechnung (Dreisatz) Vergleichs- und Ausgleichsaufgaben Aufgaben zur Verhältnisteilung Aufgaben mit komplexen Informationen (lineare Gleichungssysteme) Aufgaben mit unbekanntem Anfangszustand Aufgaben, denen eine Zahlenfolge zu Grunde liegt 4) Aufgaben mit geometrisch-physikalischem Hintergrund Bewegungsaufgaben Textaufgaben, deren Struktur das Verhältnis von Zwischenräumen und Be grenzungen widerspiegelt
5) Wege- bzw. Trageprobleme

2.1.3. Aufgaben mit kombinatorischem Hintergrund als spezielle Sachaufgaben

„Combinatio“ bedeutet im Lateinischen die Zusammenfassung von zwei Dingen. Kütting definiert den Begriff Kombinatorik folgendermaßen: „Die Kombinatorik (Lehre von den Reihenfolgen, Anordnungen oder Kombination) behandelt die ge- setzmäßige Anordnung von verschiedenen Elementen (Zahlen, Gegenständen usw.).

Aufgabe der Kombinatorik ist es, die Gruppierungen der gegebenen Elemente nach bestimmten Gesetzen vorzunehmen und die Anzahl derselben zu ermitteln“ (Kütting, 1994, S. 182). Es können folgende kombinatorische Aufgabentypen unterschieden werden:

a) Kombination:

Aus einer Menge M werden k Elemente ausgewählt. Stichproben mit gleichen Elementen, aber unterschiedlicher Anordnung, gelten als gleich. Beispiele für Fragestellungen, die in diese Kategorie gehören, sind die Aufgaben „Ein Eis mit drei Kugeln“ (vgl. Anhang, Abb. 1,) u. „Häschen für Tom“ (vgl. Anhang, Abb. 2).

b) Variation

Aus einer Menge M werden k Elemente ausgewählt. Stichproben mit gleichen Elementen, aber mit unterschiedlicher Anordnung gelten als verschieden.

Beispiel: Du hast rote, schwarze, gelbe und blaue Bausteine. Baue Türme aus drei Bausteinen!

Wichtig: Jeder Turm soll aus drei verschiedenen Farben bestehen. Die Farben sollen in unterschiedlicher Reihenfolge vorkommen. Wie viele ver- schiedene Türme kannst du bauen? ( Ruwisch & Peter-Koop, 2003, S. 98)

Eine einfachere Form der Variation ist die Permutation.

c) Permutation

(Ausführliche Erläuterungen und Aufgabenbeispiele hierzu siehe Anhang, S. 8 ff.)

Grassmann führt noch „Einfache Kombinations- bzw. Entscheidungsprobleme“ als weiteren Aufgabentyp an, bei denen das sog. Zählprinzip angewendet werden kann: Gibt es bei der Besetzung von Positionen, die in fester Reihenfolge stehen, bei jeder Position eine bestimmte Anzahl von Möglichkeiten, so erhält man die Gesamtzahl al- ler möglichen Besetzungen, indem diese einzelnen Anzahlen miteinander multipli- ziert werden. Es geht also darum, dass „3, 4 … Objekte miteinander kombiniert wer- den und es für jedes der Objekte eine gewisse Anzahl von Auswahl- bzw. Entschei- dungsmöglichkeiten (a, b, c, …) gibt. Als Gesamtanzahl möglicher Kombinationen erhalten wir dann das Produkt: a x b x c …“ (Grassmann, 2002, S. 18 f.). Beispiele dazu sind „Kommissar Spürnase“, „Neue Fußballtrikots“ (vgl. Anhang, Abb. 6+7) und „Speisekarte“ (vgl. Anhang, Abb. 8).

Allen vorgestellten Sachaufgaben ist eines gemeinsam: Sie lösen Denk- und Prob- lemlöseprozesse aus. Auf der einen Seite gibt es Gesetzmäßigkeiten im menschlichen Problemlöseprozess, auf der anderen Seite ist der individuelle Charakter von Denk- prozessen zu berücksichtigen. Nachfolgend werden wichtige Aspekte von Problem- löseprozessen und der Lehrbarkeit strategischen Lösungswissens im Grundschulalter kurz beleuchtet.

2.2 Problemlöseprozesse

2.2.1 Der Prozesscharakter des Problemlösens

Sowohl in der Gestaltpsychologie als auch in der Kognitionspsychologie wurden Prozessmodelle entwickelt, die von vier aufeinander folgenden Phasen beim Prob- lemlösen ausgehen: Definition des Problems - Aufstellen einer Strategie, einer Me- thode, eines Plans - Exekution der Strategie - Evaluierung des Fortschritts bezüglich des Ziels.

Neuere Ansätze des Problemlösens gehen auf den Mathematiker George Polya zurück, der sich mit Problemlöseprozessen beschäftigt hat. Er nahm ebenfalls eine Phaseneinteilung vor:

- Verstehen einer Aufgabe
- Ausdenken eines Plans
- Ausführung
- Rückschau (fertige Lösung überprüfen und diskutieren) (Schütte, 1994, S. 70)

Für die Schüler formulierte Polya eine entsprechende Schrittfolge: Erstens: Du musst die Aufgabe verstehen!

Zweitens: Suche den Zusammenhang zwischen den Daten und der Unbekannten! Du musst vielleicht Hilfsaufgaben beachten, wenn ein unmittelbarer Zusammenhang nicht gefunden werden kann! Du musst schließlich einen Plan der Lösung erhalten! Drittens: Führe deinen Plan aus!

Viertens: Prüfe die erhaltene Lösung!

Mit seiner Stufenfolge wendet sich Polya gegen ein blindes Rechnen ohne vorheriges Nachdenken. Rasch konnte während ihrer Studie die in den Modellen aufgeführten Teilprozesse zwar beobachten, nahm aber gleichzeitig auch wahr, „dass sie viel stärker miteinander verbunden sind, als in den Phasenmodellen zum Ausdruck kommt“ (Rasch, 2001, S. 44).

Gerade bei Grundschulkindern scheint die Verbundenheit der Teilprozesse eine Rolle zu spielen. Sie beginnen nach dem Hören bzw. Lesen der Textaufgabe recht schnell mit ersten spontanen Lösungsversuchen, die mit den Verstehensbemühungen gekop- pelt zu sein scheinen. „Es gibt kaum dieses vor den Lösungsaktivitäten liegende Ver- stehen und Planen des Lösungsweges“ (ebd.). Evaluierende Bemühungen treten kaum als nachgestellte Phase auf, sondern entwickeln sich im Laufe der Grundschul- zeit erst und begleiten die Lösungsaktivitäten. Gerade Grundschulkinder beenden ih- re Arbeit in der Regel mit der Lösung und schauen im Nachhinein kaum noch einmal auf die Bedingungen der Aufgabe.

2.2.2 Die Repräsentation des Problems

Für eine erfolgreiche Lösung ist die geeignete Repräsentation des Problems von großer Bedeutung. Für Probleme können beispielsweise Gleichungen oder graphische Darstellungen geeignete Repräsentationen sein. Rasch konnte als ein Ergebnis ihrer Untersuchung festhalten, dass die Aufgabenlöser dann erfolgreich waren, wenn sie eine für das Problem geeignete Repräsentationsform gefunden hatten. Es erwies sich als bedeutsam, dass es nicht nur ein problemangepasstes Lösungsmedium, sondern auch ein zum Löser passendes darstellte“ (ebd., S. 47).

Ein für alle Schüler an der Tafel demonstrierter Lösungsrahmen muss wegen der In- dividualität der Repräsentationsbildung nicht unbedingt lösungsunterstützend wirken. Die Lösenden sollten daher Gelegenheit haben, zu lernen, die Repräsentation des Problems selbst zu erzeugen (ebd.). Dazu ist in der Regel ein Abstraktionsgrad erfor- derlich, der es dem Problemlöser ermöglicht, die Begriffe und Operationen, über die er verfügt, auf die Problemsituation anzuwenden. So ist vom Problemlöser die Ent- scheidung zu treffen zwischen einer symbolischen, einer ikonischen und eventuell einer enaktiven Repräsentation. Nicht für jeden ist eine handlungsnahe, bildhafte Darstellung immer die günstigste, um wesentliche, für das Lösen notwendige Bezie- hungen abzuleiten (ebd.).

2.2.3 Der Erwerb strategischen Lösungswissens

Problemlösestrategien werden als Heurismen bezeichnet. Sie können als Programme für geistige Abläufe betrachtet werden, die einen Problemlöseprozess organisieren und kontrollieren. Im Gegensatz zu einem Algorithmus, einer Lösungsmethode, die immer zur Lösung eines bestimmten Aufgabentyps führt, selbst, wenn der Lösende gar nicht weiß, warum diese Methode funktioniert, kann ein Lösungsheurismus sehr schnell oder auch gar nicht zielführend sein. Für Probleme existiert kein Lösungsschema algorithmischer Art, gäbe es einen Lösungsalgorithmus, würde es sich um eine Aufgabe, nicht aber um ein Problem handeln.

Die Lösungswahrscheinlichkeit hängt von der Angemessenheit der eingesetzten Stra- tegie ab, sie muss nicht nur auf die Aufgabe, sondern auch auf die Merkmale des Lö- sers zugeschnitten sein. Die Gesamtheit der Heurismen, über die ein Individuum ver- fügt, bildet einen Teil seiner kognitiven Struktur (heuristische Struktur), die ver- schiedenen Heurismen sind nicht ohne Verknüpfung gespeichert (Rasch, 2001, S. 51 f.). Strategien werden immer im Kontext spezifischer Inhalte erworben und sind da- her in inhalts- bzw. materialspezifische Schemata eingebunden, aus denen sie nur schwer wieder zu lösen sind. Strategisches Wissen kann sich dann entwickeln, wenn eine Person Wissen, Prinzipien, Prozesse und Strategien in vielen verschiedenen Si- tuationen erprobt und allmählich lernt, von den spezifischen Kontexten zu abstrahie- ren (Rasch, 2001, S. 60 f.). Die einfachste Problemlösemethode ist das Versuch- Irrtum-Verhalten (trial and error), das relativ planlos sein kann. Es kann aber auch bedeuten, dass der Problemlösende eine vernünftige Vermutung strukturell prüft und ein eventueller Misserfolg eine andere Vermutung nahe legt, die zu der vorliegenden Struktur besser passt (ebd., 2001, S. 50). Auf eine Aufzählung allgemeingültiger Problemlösestrategien möchte ich an dieser Stelle verzichten, da sie für die Arbeit mit Grundschulkindern kaum relevant sind. Überlegungen zur Lehrbarkeit heuristi- scher Strategien werden in Kap. 3.3.1 angestellt.

3 Didaktische Aspekte

3.1 Legitimation

Das Verfügen „über Kompetenzen im Finden, Erklären, Darstellen und Begründen von Strategien zur Lösung von außer- und innermathematischen Problemen“ wird im Leistungsprofil des Teilrahmenplans Mathematik als Lernleistung beschrieben, die von den Kindern am Ende ihrer Grundschulzeit im Rahmen ihrer individuellen Leis- tungsfähigkeit erreicht werden soll (Teilrahmenplan, 2002, S. 22). Problemlösefähigkeit, Nutzen von Kreativität (Situationen erforschen, Lösungswege selbstständig - auch mit Partner - suchen), Argumentation (Lösungswege verbalisie- ren, Behauptungen oder Ergebnisse begründen, Vermutungen und Aussagen unter- scheiden, auf Gegenargumente eingehen) und Lernmotivation, Geduld und Konzen- tration im Prozess des mathematischen Arbeitens sowie Durchhaltevermögen sind Kompetenzen im mathematischen Lernprozess, die nur langfristig zu entwickeln sind. (ebd., S. 23 ff.). Die Bearbeitung problemhaltiger Denk- und Sachaufgaben in Kleingruppen ist geeignet, methodisch-instrumentelle Schlüsselkompetenzen wie Planungsfähigkeit und Kommunikationsfähigkeit zu entwickeln.

Da es sich für alle Schüler um herausfordernde Aufgabenstellungen handelt, müssen verschiedene Lösungsansätze erprobt, diskutiert und auf ihre Effizienz bewertet werden. Dadurch werden Mathematik und Sprache sehr eng verknüpft (ebd., S. 26). Soziale Kompetenzen entwickeln sich dadurch, dass die Schüler in Teams kooperativ mitarbeiten, in ihren Arbeitsgruppen Aufgaben übernehmen und die Arbeit mitgestalten und voranbringen (ebd.).

Die vorliegende Unterrichtseinheit berücksichtigt sowohl in der Gestaltung als auch in der Methodenwahl folgende didaktisch-methodischen Leitvorstellungen:

- Offenheit- und Zielorientierung
- Einsatz herausfordernder Aufgaben als Ergänzung zu Routineaufgaben
- Variable Gestaltung der Lernzeit, Handlungsmöglichkeiten durch den Einsatz der angebotenen Materialien als Lösungshilfen (ebd., S. 28)
- Problemorientiertes Lernen/Entdeckendes Lernen
- Möglichkeit bieten, eigene Lösungsansätze für herausfordernde Aufgaben zu entwickeln, für die noch kein stabiles Lösungsschema existiert. o Entdeckendes Lernen ermöglicht den Kindern, sich anzustrebende Lerninhal- te selbstständig anzueignen, Erkenntnisse aufzubauen und Wissen zu struktu- rieren. Der Vorzug problemorientierten Lernens liegt darin, „dass das neu Ge- lernte mit dem vorhandenen Wissen verknüpft wird. Damit wird nicht nur dem Vergessen vorgebeugt, auch die Anwendungsfähigkeit und Anschlussfä- higkeit des Wissens werden gesichert.“ (ebd., S. 29).

- Sprache und Kommunikation

Bei der Bearbeitung der Problemaufgaben haben die Schüler die Möglichkeit, ih- re Kommunikationsfähigkeit, ihr Leseverständnis und ihr mathematische Sprach- kompetenz wie in wenigen anderen Bereichen der Mathematik zu entwickeln. Es bieten sich Gelegenheiten zum „Argumentieren, Diskutieren, Begründen, Erklä- ren, Beschreiben und Entschlüsseln von Texten“ (ebd., S. 31). Alle Aufgaben werden zunächst mündlich präsentiert, danach hat jeder die Mög- lichkeit, sich im Plenum zu äußern, Fragen zu stellen oder erste Lösungsansätze zu präsentieren. Anschließend hat jedes Kind die Aufgabe in schriftlicher Form zur Verfügung, so dass im Text immer wieder Einzelheiten nachgelesen werden können. Letztendlich schreiben die Schüler ihre Lösungen in individueller Form in das Knobelheft. Da die meisten Aufgaben nicht in Form von arithmetischen Gleichungen zu lösen sind, müssen die Kinder auf schriftsprachliche Lösungen zurückgreifen, zumal bei einzelnen Aufgaben auch Begründungen gefordert sind.

Die Qualitätsindikatoren fassen Merkmale guten Mathematikunterrichts zusammen, der bei den Kindern Freude an der Mathematik und Zutrauen in die eigenen Lernmöglichkeiten erhalten bzw. wecken soll:

In einem guten Mathematikunterricht sind die Schülerinnen und Schüler aktiv. […] Sie arbeiten kreativ an komplexen, sie herausfordernden Problemen, ko- operieren dabei mit anderen, […], konstruieren eigene Rechenwege und Lö- sungsstrategien, erklären, begründen, vergleichen und bewerten ihre Lösungs- wege, experimentieren und üben möglichst selbstständig (auch mit Partnern), kontrollieren ihre Ergebnisse selbst, geben bei Schwierigkeiten nicht sofort auf, […], stellen ihre Wege und Ergebnisse für andere nachvollziehbar und über- sichtlich mündlich oder schriftlich dar, […], nutzen Materialien, graphische Mittel, Medien und technische Hilfsmittel sinnvoll, […]. (ebd., S. 37 f.)

Die ausgewählten Aufgabenstellungen und die methodische Umsetzung sind geeignet, die langfristig angestrebten Kompetenzen zu entwickeln.

3.2 Bedeutung des Inhaltes für die Schüler

Problemhaltige Denk- und Sachaufgaben gehören zu einem mathematischen Feld, das als besonders schwierig gilt und in das nach traditionellem Verständnis häufig nur leistungsstarke Kinder im Rahmen von Differenzierungsmaßnahmen ab und zu einen Ausflug unternehmen dürfen. Rasch hat in ihrer Studie jedoch nachgewiesen, wie motiviert und erfolgreich Kinder mit ganz unterschiedlichen Lernvoraussetzun- gen solche Aufgaben bearbeiten. „Erfolg“ bedeutet in diesem Fall allerdings nicht, dass Aufgabe für Aufgabe richtig gelöst wird, sondern dass bei der Auseinanderset- zung mit solchen Aufgaben über einen längeren Zeitraum die Denkfähigkeit der Kinder entfaltet wird:

- Da in den meisten Fällen kein bekanntes Grundmodell des Rechnens zuzuordnen ist, kommt es zu einer intensiven Auseinandersetzung mit den im Aufgabentext genannten Zahlbeziehungen und Bedingungen.
- Die Schüler lernen mit dem „probierenden Lösen“ eine Denk- und Lösungsart kennen, die ihnen bei der Auseinandersetzung mit anderen Inhalten kaum begegnet. Sie beginnen auf einer nicht abgesicherten Arbeitsbasis mit ihren probierenden Lösungsaktivitäten. Das ist ungewohnt für die Schüler, die eher damit vertraut sind, erst dann eigenständig zu arbeiten, wenn alle Voraussetzungen, die sie benötigen, von der Lehrerin gesichert sind.
- Es wird ein das Nachdenken und Lösen begleitendes Notieren angeregt, ohne Vorgaben, wie das geschehen soll (schreiben, zeichnen, rechnen). Jedes Kind kann auf dieser Grundlage ein, dem individuellen Vermögen angepasstes und das eigene Denken stützendes Notieren von Lösungsüberlegungen entwickeln und so erfahren, wie das Gedächtnis durch die Notizen entlastet wird. Ein beschreiben- des Verschriftlichen der zugrunde liegenden Handlungen bzw. Operationen wird angeregt, weil die mathematisch-symbolischen Fähigkeiten der Kinder nicht aus- reichen, die Überlegungen in mathematischen Zeichen auszudrücken, so dass die Alltagssprache zur Beschreibung mathematischer Phänomene genutzt werden muss. Die Schriftsprache wird genutzt zur Darstellung von Lösungsprozess und Ergebnis sowie zur Reflexion über Erreichtes. Im günstigsten Fall werden im Laufe der Zeit metakognitive Strategien entwickelt, d. h., dass die Schüler in der Lage sind, sich über ihr individuelles Vorgehen beim Lösen der Aufgaben in all- gemeiner Form zu äußern.
- Die Schüler lernen einerseits das unvoreingenommene Annehmen solcher Auf- gaben, das mutige Draufzugehen und das Durchdenken der im Text geschilderten Beziehungen („Wie beginne ich die Arbeit mit den dargestellten Zahlbeziehun- gen, wie führe ich sie weiter, wie halte ich Lösungsgedanken schriftlich fest?“). (Rasch, 2004, S. 135) Andererseits entwickeln sie ihre Kompetenzen im Prob- lemlösen weiter, indem sie Gedankengänge, die zur Lösung geführt haben, nach- träglich analysieren. Nach einzelnen Lösungsschritten bzw. nach gefundener Lö- sung geht es nicht nur um ein rückschauendes Nachvollziehen des richtigen Lö- sungsweges, sondern auch um ein Überdenken von Fehlversuchen und Irrwegen.
- Hinzu kommen die allmählich gewonnenen Erfahrungen im Knüpfen von Zahl- beziehungen, d. h. Fähigkeiten im Operieren mit Zahlen über die vertrauten Re- chenmodelle hinaus und die wachsenden Fähigkeiten hinsichtlich des heuristi- schen Arbeitens. „Die Schüler lernen, dass es durchaus erfolgreich sein kann, erst einmal“ irgendwie anzufangen, weil man dabei eventuell weitere Aufschlüsse über die Aufgabe selbst und über Lösungsmöglichkeiten gewinnen kann.
- Das Nachdenken über mögliche Lösungen wird im Rahmen des kooperativen Arbeitens öffentlich. Das laute Durchspielen von Lösungsgedanken, das Argu- mentieren, das Verwerfen von Irrwegen, das „Bündeln der Kräfte“ eröffnet Lö- sungschancen für die Gruppe, die für den Einzelnen vielleicht unerreichbar wären. Gleichzeitig wird ein demokratischer Kommunikationsstil gefördert. „In Zeiten, in denen man das schnell anwachsende Wissen in den verschiedensten Lebensbe- reichen als Individuum nicht mehr ‚einholen’ kann, ist es generell notwendig zu lernen, sich zu behelfen, zu lernen, mit dem Wissen, das man hat, in den ver- schiedensten Situationen so optimal wie möglich auszukommen. Schule sollte heute wohl auch dafür da sein, Gelegenheiten zu bieten, bei denen man solchen Anforderungen begegnet. Ein Beitrag zu dieser oder den oben genannten Überle- gungen könnte durch das Bearbeiten problemhaltiger Textaufgaben beigesteuert werden“ (Rasch, 2001, S. 12).

3.3 Voraussetzungen für den Unterricht

3.3.1 Entwicklungspsychologische Aspekte

Da sich bei problemlösenden Aktivitäten gleiche Handlungsmuster wesentlich seltener ergeben als beim bloßen Rechnen, ist es schwieriger, Strategien herauszulösen, da für das Kind kaum Fixpunkte erkennbar sind, an denen sich diese festmachen lassen. Die Basis zur Entwicklung von Strategien bei der Bearbeitung problemhaltiger Sachaufgaben sind die mathematischen Zusammenhänge, die letztendlich immer wiederkehren. Damit das Kind solche Gleichartigkeiten erfassen kann, braucht es ausreichend häufige Anwendungsmöglichkeiten und die nötige Zeit, sich mit den Problemen auseinander zu setzen (Rasch, 2001, S. 62).

Im Zusammenhang mit Überlegungen zur Lehrbarkeit allgemeiner heuristischer Stra- tegien hat Bruner darauf hingewiesen, dass das Denken beim Problemlösen durch ei- nen hohen Anteil unbewusster Vorgänge gekennzeichnet ist. Indem man Strategien lehrt, versucht man also mit bewussten Mitteln auf unbewusste oder halbbewusste Vorgänge einzuwirken. „Der Zeitpunkt für ein solches bewusstes Lehren und Lernen von Strategien scheint zumindest noch nicht in der Grundschule zu liegen. Die Steue- rung beim problemlösenden Denken sollte vor allem beim Problemlösenden selbst liegen. […] Das Anwenden allgemeiner heuristischer Strategien erfordert eine Lö- sungsbewusstheit, die Grundschulkindern noch nicht zur Verfügung steht. Bei Text- aufgaben z. B. sind die jüngeren Schulkinder ganz auf die konkrete Ebene fixiert und arbeiten mit den Zusammenhängen, die ihnen dort begegnen.“ (ebd., S. 58)

Rasch empfiehlt problemlösende Aktivitäten im Mathematikunterricht folgendermaßen zu fördern (vgl. auch Schütte, 1994, S. 71):

- Zur-Verfügung-Stellen entsprechenden Aufgabenmaterials (Die Aufgaben müs- sen „einladend“ genug sein, um sich der geistigen Anstrengung zu unterziehen. Die Sache muss zum Untersuchen, Hypothesenbilden und Überprüfen anregen.)
- Rahmenbedingungen für die Lösenden schaffen (allein, in Gruppen, eigenständi- ges Arbeiten, frei nach den eigenen Möglichkeiten …)
- Heuristisches Herangehen an Problemaufgaben fördern ohne Orientierung an heuristischen Lösungsstrategien, die an ein bestimmtes technisches Lösungswis- sen gebunden sind
- Versuchende, probierende Aktivitäten fördern, die die Kinder mit zunehmendem Selbstbewusstsein von sich aus in Gang setzen „und die mit wachsendem ma- thematischem Wissen immer weniger ein Versuch-Irrtum-Verhalten und immer mehr ein bewusstes Nutzen mathematischer Beziehungen sind (ebd.)

3.3.2 Lernvoraussetzungen und Vorerfahrungen der Klasse

Bisher standen im Mathematikunterricht arithmetische Inhalte zu den Grundrechen- arten und der Erweiterung des Zahlenraums bis 100 im Vordergrund, sodass die Schüler im Bereich „Sachrechnen“ über wenige Erfahrungen verfügen. Im 1. Schul- jahr wurden Sachsituationen in Bildern dargestellt, denen die Kinder dann eine Re- chenoperation zuordnen sollten. Im 2. Schuljahr wurde im Rahmen des Themas „Rechnen mit Geld“ eine kleine Einheit durchgeführt, in der die Schüler mit einfa- chen Sachaufgaben konfrontiert wurden. Es handelte sich dabei um Routineaufgaben, in denen zuvor behandelte Inhalte wie „Bezahlen mit und ohne Rückgeld“ bzw. „Addition und Subtraktion von Geldbeträgen“ Anwendung fanden. Insgesamt hatten die Schüler große Probleme, eine passende Fragestellung zu finden, sofern diese nicht vorgegeben war. Außerdem fiel es gerade den schwächeren Rechnern schwer, der Sachsituation eine der bekannten Grundoperationen zuzuordnen und diese so zu notieren, dass das Ergebnis als Lösung der Aufgabenstellung „ablesbar“ war. Für mich überraschend war auch die Tatsache, dass nur wenige Schüler in der Lage wa- ren, die aus dem Mathematikunterricht bekannte Struktur „Ich frage“ - „Ich rech- ne“ - „Ich antworte“ zur übersichtlichen Gliederung ihrer schriftlichen Bearbeitung der Aufgaben zu nutzen. Hinzu kommen Probleme beim Textverständnis, wenn Sachaufgaben selbstständig erlesen werden sollen, da noch nicht alle Schüler in der Lage sind, sinnerfassend zu lesen. Überhaupt ist die Klasse insgesamt als eher leis- tungsschwach einzustufen. Dies lässt sich auf den hohen Anteil an Kindern mit Migrationshintergrund zurückführen. Von den 25 Kindern sind 14 russischer, türki- scher, amerikanischer oder pakistanischer Herkunft. Insbesondere H., A., D., Ma., V. und N. haben sprachliche Defizite. R., Re. und Me. zeichnen sich durch eine gute Sprachkompetenz aus, auch C. und Ja. können immer wieder sprachlich und inhaltlich gute Beiträge zum Unterricht liefern. Ju. und Ja. sind gute Rechner, während A., Na., H., S. und Si. eher rechenschwach sind. Diese Kenntnisse werde ich bei der Einteilung der Gruppen berücksichtigen (vgl. Kap. 4.2). Die vorliegende Unterrichtseinheit stellt insofern eine Herausforderung in zweifacher Hinsicht dar: Einerseits handelt es sich nicht um Routineaufgaben, sondern um anspruchvolle mathematische Problemstellungen, die selbstständig, ohne Lösungsanleitung seitens der Lehrkraft, bearbeitet werden sollen. Andererseits sind für die Lösungsdarstellungen neben mathematischen auch schriftsprachliche Kompetenzen erforderlich.

Die hohen Kompetenzen der Klasse bezüglich kooperativer Arbeitsformen und die Tatsache, dass die Schüler in der Regel Zufallspartner für die Zusammenarbeit akzeptieren, können in der vorliegenden Einheit genutzt werden, da die problemhalti-gen Denk- und Sachaufgaben in Kleingruppen gelöst werden sollen, deren Zusam-mensetzung von mir gelenkt ist.

Eine Ausnahme ist L., dessen Verhalten oft durch eine reduzierte Impulskontrol-le, motorische Unruhe und Problemen bei der Planung seiner Handlungen geprägt ist. Es kommt immer wieder zu Konflikten während Gruppenarbeiten, weil er sich nur schwer anpassen und zurücknehmen kann. Im November 2006 wurde ein Aufmerk- samkeitsdefizit- und Hyperaktivitätssyndrom (ADHS) diagnostiziert, seitdem ist L. medikamentös eingestellt. Die Maßnahme des Jugendamtes, eine Einzelintegra- tionshelferin während des Schulunterrichts zu installieren, wurde im Oktober 2008 eingestellt, sodass ich ihn während der Gruppenarbeitsphasen genau beobachten und auf eventuell entstehende Probleme reagieren werde. (Ob dies nötig war und in welcher Form die Reaktion erfolgte, ist den Reflexionen der Einzelstunden zu entneh-men).

3.3.3äußere Voraussetzungen

Das Klassenzimmer der 2a liegt im Erdgeschoss des Schulgebäudes. Die Anordnung der Tische in Hufeisenform ermöglicht, dass in der Mitte des Raumes zügig ein Sitz- kreis oder ein Sitzhalbkreis (Kinositzkreis) gebildet werden kann, der besonders ge- eignet ist, wenn für alle Schüler der Klasse eine nahezu gleiche Perspektive auf den Betrachtungsgegenstand erforderlich ist. Gerade für die Einstiegssituationen wird der Kinositz häufig genutzt, um für alle die Problemstellung zu veranschaulichen. Insge- samt sind die Platzverhältnisse jedoch recht beengt, im Laufe der Unterrichtseinheit ist sogar noch ein weiteres Kind in die Klasse gekommen, sodass jetzt direkt seitlich vor der Tafel auf der rechten Seite noch ein Tisch steht, an dem zwei Kinder sitzen. Aus diesem Grund habe ich mich entschlossen, die Abschlussstunde der Einheit in einen anderen Raum zu verlegen, zumal es sich in dieser Stunde um 10 verschiedene Angebote unterschiedlichster Denk- und Sachaufgaben handelt, für die ich die Mate- rialien zum handelnden Lösen zur Verfügung stelle. Im Untergeschoß des Schulge- bäudes gibt es einen großen Raum, der nicht konstant belegt ist. Nach Rücksprache mit der Schulleitung und dem Kollegium konnte ich diesen Raum für meine geplante Lerntheke nutzen. Der neue Raum verfügt über eine sehr breite Fensterbank, die ich als „Theke“ für die Aufgaben, Materialien und Selbstkontrollmöglichkeiten nutzen konnte. Er ist ausreichend mit Tischen und Stühlen ausgestattet und bietet außerdem noch zwei große Bodenteppiche, die für Gruppenarbeiten ebenfalls gut genutzt wer- den können.

3.3.4 Zielsetzungen für die Unterrichtseinheit

Die Unterrichtsbedingungen der vorliegenden Einheit richten sich darauf, dass die nachfolgend aufgeführten Kompetenzen, die nur langfristig zu entwickeln sind, auf dem von jedem Kind leistbaren „Niveau“ gefördert werden. Sie sind als übergeord- nete Ziele zu verstehen, die für alle Sequenzen der Einheit Gültigkeit haben. Hand- lungssituationen, die auf das Erreichen der genannten Kompetenzen zielen, sind all- gemeingültig formuliert. Sollten spezielle Handlungssituationen zur Erläuterung be- sonders dienlich sein, werden sie als Beispiele aufgeführt. Aus diesem Grund wird bei der Darstellung der einzelnen Stunden auf eine Wiederholung der Lernziele ver- zichtet.

Hauptziel dieser Unterrichtseinheit ist die Entwicklung von Problemlösefähigkeit, d. h. die Schüler sollen über Kompetenzen im „Finden, Erklären, Darstellen und Begründen von Strategien zur Lösung von außer- und innermathematischen Problemen verfügen.“ (TRP, 2002, S. 22) Dazu bearbeiten sie Problemaufgaben unterschiedlicher Kategorien (vgl. Kap. 2.1) und stellen ihre Lösungen in schriftsprachlicher, zeichnerischer oder rechnerischer Form individuell dar.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4 Methodische Entscheidungen und Begründungen zur Umset- zung der Thematik in Kleingruppen

4.1 Gruppenarbeit

Die ausgewählten Aufgaben sind für diese Altersgruppe fast ausnahmslos von hohem Anspruchsniveau. Da die Anleitung zum Lösen seitens der Lehrerin wegfällt, erscheint es mir sinnvoll, dass leistungsschwächere und begabtere Kinder gemeinsam für das Lösen verantwortlich sind. Eine Arbeit in heterogen zusammengesetzten Kleingruppen von drei bis vier Schülern ist daher vorteilhaft. Hilbert Meyer definiert Gruppenarbeit bzw. Gruppenunterricht folgendermaßen:

Gruppenunterricht ist eine Sozialform des Unterrichts, bei der durch die zeit- lich begrenzte Teilung des Klassenverbandes in mehrere Abteilungen arbeits- fähige Kleingruppen entstehen, die gemeinsam an der von dem Lehrer, der Lehrerin gestellten oder selbst erarbeiteten Themenstellung arbeiten und deren Arbeitsergebnisse in späteren Unterrichtsphasen für den Klassenverband nutz- bar gemacht werden können.

Gruppenarbeit ist die in dieser Sozialform von den Schüler/innen und dem Lehrer, der Lehrerin geleistete zielgerichtete Arbeit, soziale Interaktion und sprachliche Verständigung. (Meyer, 1987, S. 242)

Gruppenarbeit wird in der Regel im Mittelteil des methodischen Grundrhythmus von Einleitung, Hauptteil und Schluss eingesetzt. Auf eine meist lehrerzentrierte Ein- stiegsphase im Plenum folgt eine schülerzentrierte Phase der Erarbeitung, Vertiefung, Übung oder Anwendung, danach erneut eine Auswertung bzw. Präsentation der Ar- beitsergebnisse im Plenum. Die dominierende Bedeutung der Gruppenarbeitsphase könnte der Grund dafür sein, dass die Begriffe Gruppenunterricht und Gruppenarbeit häufig synonym verwendet werden, was jedoch nicht korrekt ist, wie aus der Defini- tion von Meyer ersichtlich wird.

Gruppenunterricht kann von seiner Struktur her einige Funktionen erfüllen, die ihn deutlich vom Frontalunterricht abgrenzen:

- Im Gruppenunterricht können sich mehr Schülerinnen aktiv am Unter- richtsprozeß [sic.] beteiligen als im Frontalunterricht.
- Sie können sich, falls sie nicht durch ein ungünstiges soziales Klima daran gehindert werden, ohne Scheuäußern und erst einmal ins „Unreine“ reden.
- Sie können ein Zusammengehörigkeitsgefühl in der Gruppe entwickeln und festigen.
- Sie können, falls die Arbeitsaufträge entsprechend gestaltet und die Lern- voraussetzungen gegeben sind, relativ selbständig [sic.] arbeiten.
- Sie können Lernumwege und Seitenpfade betreten, die im Frontalunterricht aus Zeit- und Kompetenzgründen zumeist blockiert werden.
- Sie können ihre Neugierde ausleben; sie können neue, von der Lehrerin nicht vorhergesehene Aspekte des Themas einbringen und bearbeiten.
- Gruppenunterricht erlaubt es der Lehrerin, ihre Schülerinnen genauer, mit mehr Muße und in anderen Rollen als im Frontalunterricht zu beobachten.
- Gruppenunterricht erfordert allerdings, kurzfristig gesehen, zumeist mehr Zeit als Frontalunterricht. Die Schülerinnen brauchen länger, um einen Sach-, Sinn- oder Problemzusammenhang in eigener Regie zu erarbeiten. Langfristig zahlt sich dieser Mehraufwand jedoch durch wachsende Metho- denkompetenzen aus. (Meyer, 1987, S. 245)

Gruppenunterricht muss gründlicher und aufwändiger vorbereitet werden als Frontalunterricht oder Einzel- und Partnerarbeit, weil die Lehrkraft während der Gruppenarbeit möglichst wenig intervenieren sollte (Meyer, 1987, S. 254). Meyer nennt dazu eine Reihe von Fragen, die bei der Vorbereitung des Gruppenunterrichts hilfreich sind: (ebd., S. 254 ff.)

- Ist das Thema für Gruppenunterricht geeignet? Wenn ja, soll es themengleich oder themendifferenziert erarbeitet werden?
- Haben die Schüler die erforderlichen Lernvoraussetzungen für die Gruppenarbeit?
- Wie soll der Arbeitsauftrag für die Gruppe formuliert sein? (Offen oder geschlos- sen)
- Welche räumlichen Voraussetzungen sind gegeben?
- Welche Kriterien für die Gruppenbildung sind zu berücksichtigen? (Gruppengrö- ße, homogene/heterogene Leistungsgruppen, soziale Kriterien etc.) Nachfolgend sind Überlegungen zu den genannten Fragen aufgeführt.

4.2 Die Bedeutung kooperativer Arbeitsformen für das Thema

Es wird heute nicht mehr angezweifelt, dass die Sozialerfahrungen mit Gleichaltrigen einen förderlichen Beitrag zur Entwicklung des Sozialverhaltens leisten. Darüber hinaus wies schon Piaget darauf hin, dass Kinder auch im kognitiven Bereich wichti- ge Dinge nur von anderen Kindern, nicht aber von Erwachsenen lernen können. „Das, was Kinder voneinander lernen, unterscheidet sich von der Belehrung durch Erwach- sene darin, dass es auf dem Boden von Gleichheit geschieht“ (Rasch, 2001, S. 72). Die Fähigkeit zur Kooperation kann nicht gelehrt werden, sie entwickelt sich, wenn Kinder unbeeinflusst von Lehrpersonen zusammenarbeiten. Es gibt allerdings beeinflussbare Umstände, die für eine Kooperation günstig sind:

Es sollten Aufgaben ausgewählt werden, die wechselseitigen Austausch erfordern und bei denen die Zusammenarbeit tatsächlich Gewinn bringt. Bei Gruppenaufgaben, die eher mit Routine gelöst werden können, ist die Zusammenarbeit für einen Teil der Schüler unnötig. Dagegen werden Gruppen bei der Bearbeitung nicht routinisier- barer, entdeckungsorientierter Aufgaben produktiver, je mehr sie interagieren. Aus diesem Grund habe ich Aufgaben ausgewählt, von denen ich annehme, das sie für die leistungsstarken Kinder der Klasse eine Herausforderung darstellen, gleichzeitig aber durchaus auch für schwächere Schüler Chancen bieten, Erfolge für sich zu verbuchen. So sind gerade Kombinatorikaufgaben gut geeignet, weil für ihre Bearbeitung keine besonderen Vorkenntnisse notwendig sind, der Zahlenraum, in dem sich die Lösun- gen bewegen, durch die Aufgabenstellung beeinflussbar ist und sich die Lösungen kombinatorischer Problemstellungen durch den handelnden Umgang mit Material finden lassen, was zudem bei den meisten Schülern eine intrinsische Motivation be- wirkt. Neben enaktiven, sind auch ikonische und symbolische Darstellungen zur Lö- sungsfindung möglich, sodass die Aufgaben eine innere Differenzierung beinhalten. Ein weiterer Umstand, der die Kooperation günstig beeinflusst, ist die Zusammenset- zung der Gruppe: Nicht alle Kinder sind in der Lage produktiv miteinander zu ko- operieren. Befreundete Kinder können in der Regel gut miteinander arbeiten. Dies reichte mir jedoch als alleiniges Kriterium für die Zuordnung zu einer Gruppe nicht aus. Wichtiger war es mir, dass neben der sozialen Akzeptanz Schüler unterschiedli- chen Leistungsvermögens zusammenarbeiten. Rasch weist auf eigene Erfahrungen in diesem Zusammenhang hin, die belegen, dass leistungsschwächere Schüler Aufga- ben, die sie allein oder in homogenen Gruppen nicht lösen konnten, mit wenig Hilfe in heterogenen Arbeitsgruppen zu lösen imstande sind (Rasch, 2001, S. 75).

Die Zusammenarbeit stimuliert die Verbalisierung des eigenen Denkens, was wie- derum das Verstehen fördert. In kooperativen Gruppen lernen jene Schüler mehr, die ihren Mitschülern detaillierte Erklärungen geben bzw. detaillierte Erklärungen erhal- ten - im Gegensatz zu Schülern, die nur die richtigen Antworten erfahren (ebd., S. 74).

Aus den genannten Gründen habe ich versucht in jeder Gruppe mindestens ein Kind zu integrieren, das über die nötigen sprachlichen und kognitiven Kompetenzen ver- fügt, um eine „Führungsrolle“ zu übernehmen. Auch Heinrich Winter, der sich in den achtziger Jahren in verschiedenen Schriften dem entdeckenden Lernen zuwandte, weist auf Unterrichtsbedingungen für problemlösende Aktivitäten, „die sich dem entdeckenden Lernen verpflichtet fühlen“, hin (Winter, 1987, S.17): Neben der Tat- sache, dass der Lehrende entsprechende „herausfordernde Situationen“ anbieten muss und „ergiebige Arbeitsmittel“ zur Verfügung stellen sollte, wird auch die Be- deutung der Kommunikation innerhalb der Lerngruppe betont, die für das entde- ckende Lernen bedeutsamer ist, als der Kommunikationspartner Lehrer, dessen ent- deckungsfördernde Fragen und Impulse letztendlich etwas „Gängelndes“ haben und in gewisser Weise die Entwicklung eigener Wege unterbinden. (ebd.)

4.3 Grundsätzliche methodische Überlegungen

Die folgenden Ausführungen sind grundsätzliche Überlegungen zur Unterrichtsge- staltung für das Bearbeiten der problemhaltigen Denk- und Sachaufgaben, die bei der Darstellung der Einzelstunden gegebenenfalls ergänzt werden. Um Ursprünglichkeit im Lösungsverhalten zu ermöglichen, sollte der Einfluss der Lehrkraft möglichst ge- ring sein. Um jedoch zu gewährleisten, dass alle die Aufgabe verstanden haben, be- vor die Arbeit in den Gruppen beginnt, habe ich jede neue Aufgabe in einer Ein- stiegssituation (häufig im Kreis) vorgestellt. Zum Verständnis trugen die Einbettung in eine kleine Geschichte, die ich frei vorgetragen habe und der Einsatz von Veran- schaulichungsmitteln bei, die die in der Geschichte geschilderte Situation deutlicher machen sollte. Im Anschluss folgten Reaktionen der Kinder, die sich zu der neuen Aufgabe äußerten und teilweise schon Lösungsvorschläge machten. Die Lösungsvor- schläge wurden von mir nicht verbindlich kommentiert, sodass das Lösungsgesche- hen in dieser Phase offen blieb.

Neben der Offenheit beim Lösen sollte ein fester organisatorischer Rahmen notwen- dige Sicherheit und Orientierung für die Kinder schaffen. Unterrichtsablauf und Rahmenbedingungen wiederholten sich in gleicher Weise, um die Konzentration der Kinder nicht von der aktuellen Aufgabe abzulenken. Allen Kindern sollte für die Lö- sungsarbeit genug Zeit zur Verfügung stehen, um ausreichend Gelegenheit zur haben, einen eigenen Lösungsrhythmus auszubilden. Für die „schnellen“ Gruppen wurde keine zusätzliche Beschäftigung im Sinne von Zusatzaufgaben als Differenzierungs- maßnahme vorgesehen. Diese Schülergruppen sollten die eventuell verbleibende Zeit zur weiteren Ausgestaltung der Lösung verwenden. Auf diese Weise wollte ich ei- nerseits verhindern, dass es zu „Lösungswettrennen“ kommt (Wer hat die meisten Aufgaben gelöst?), andererseits sollten auch die langsamer arbeitenden Gruppen die Möglichkeit haben, ohne Zeitdruck zu einer Lösung zu gelangen.

Für die Aufgabenbearbeitung sollte ausreichend Platz zur Verfügung stehen, deshalb habe ich für jedes Kind ein Heft in DIN-A4-Größe mit großen Karos angelegt. Die Aufgabe habe ich auf einer Doppelseite jeweils links oben eingeklebt, der Platz dar- unter und die gegenüberliegende Seite konnten zur Aufgabenbearbeitung genutzt werden. Der Aufgabentext ist im Vergleich zur Geschichte auf die wesentlichen Fak- ten beschränkt. So hatte jedes Kind ein „Knobelheft“ als Dokument seiner geleisteten Arbeit. (vgl. Anhang, Abb. 9) Für die Darstellung der Lösungen gab es keine Vorgaben, die Schüler konnten die ihnen zur Verfügung stehenden Ausdrucksmittel frei wählen (Zeichnungen, Schriftsprache, mathematisch-symbolische Ausdrucks- formen).

Nach jeder „Knobelstunde“ habe ich die Schülerhefte eingesammelt und zu Hause in Ruhe die Lösungen der Kinder „studiert“. Jedes Kind wurde durch eine kleine schriftliche Bemerkung unter seinen Lösungsbemühungen direkt angesprochen. Es ging mir vor allem darum, das anzuerkennen, was es selbst - auch im Zusammenhang mit seiner Arbeitsgruppe - geleistet hatte. Meine Wertung der Lösungen und Lösungswege erfolgte unter der Sicht, dass die Kinder erstmals mit Problemaufgaben konfrontiert wurden und sich ihre Lösungskräfte erst noch entwickeln mussten. Deshalb sollten die positiven Aspekte der Aufgaben- bearbeitung hervorgehoben werden und fehlerhafte Denkwege und Lösungen relativ unkritisch betrachtet werden, sodass „Misserfolge“ als notwendiger Bestandteil des Lernprozesses erlebt werden konnten. Dennoch wollte ich Lösungsbemühungen, die sich in einer ausführlichen Dokumentation zeigten, besonders hervorheben. Aus diesem Grund habe ich den Knobelausweis eingeführt (vgl. Anhang, Abb. 10+11). Für einen erkennbaren Lösungsansatz oder eine richtige Lösung ohne weitere Erklä- rungen sollte es einen schwarzen „Knobelpfiffikus“-Stempel geben, besondere Lö- sungsbemühungen oder -darstellungen wollte ich mit einem goldenen Stempel honorieren, was eine zusätzliche Motivation darstellte. (vgl. Anhang, Abb. 12) Keinen Stempel sollte es geben, wenn keine erkennbare Lösungsleistung vorlag. Im Vorfeld habe ich transparente Leistungserwartungen dadurch geschaffen, dass ich die Bedingungen für die Stempelvergabe genannt habe:

- „ Für die richtige Lösung allein gibt es noch keinen goldenen Stempel. Mich inte- ressiert besonders, wie du gedacht hast, wie du angefangen hast, ob und wie du das Material genutzt hast, wie ihr in der Gruppe gearbeitet habt.
- Vielleicht findest du eine gute Möglichkeit, wie du die Lösung zeichnen oder be- schreiben kannst. Manchmal kann vielleicht sogar eine Rechnung zeigen, wie du gedacht hast.
- Du bekommst dann keinen Stempel, wenn du zu einer Aufgabe nichts malst oder schreibst. “

Ich bin mir dessen bewusst, dass ich an die Kinder hohe Anforderungen stelle. Einer- seits sollen sie anspruchsvolle Problemaufgaben lösen, andererseits sollen sie noch über ihre Lösungsaktivitäten reflektieren. Aber gerade das wird dazu beitragen, noch einmal über die Aufgabe nachzudenken, es wird in der Gruppe erneut eine Kommu- nikation angeregt und gemeinsam wird nach der besten Möglichkeit gesucht, die ge- fundene Lösung zu dokumentieren. In einigen Fällen werden möglicherweise schon Ansätze metakognitiver Kompetenzen entwickelt. Die Fähigkeit, über die eigene Lö- sung zu reflektieren, wird auch dadurch gefördert, dass Gruppen ihre Ergebnisse vor der Klasse präsentieren. Dies wird aus Zeitgründen nicht immer möglich sein und ist auch bei bestimmten Aufgabenstellungen meines Erachtens nicht sinnvoll.

4.4 Medien

Neben den bereits erwähnten Knobelheften und -ausweisen habe ich für jede Aufgabe Materialien für die Lösungsphase in den Gruppen bereitgestellt, sodass ein han delndes Lösen der Aufgaben möglich ist. Inwieweit die Schüler die Materialien nutzen werden, ist für mich eine interessante Frage, auf die ich in den Reflexionen der Einzelstunden eingehen werde.

Handelndes Lösen bedeutet hier, dass die Kinder auf der enaktiven Ebene mit ver- schiedenen Materialien zum Legen oder Bauen, zum Rollenspiel oder zum Nachvoll- ziehen von Bewegungen zu einer Lösung gelangen können. Auf Grund eines äußeren materiellen Handelns kommt es zu inneren Erkenntnissen. Autoren, die von „han- delndem Unterricht“ sprechen, stützen sich auf die Tätigkeitstheorie der sowjetischen, kulturhistorischen Schule, zu der Psychologen wie L. S. Wygotski, A. Leontjew oder P. J. Galperin gehören. Sie stellen die „Tätigkeit“ in den Mittelpunkt des Unterrichts. In der Literatur wird an gleicher Stelle häufig der Begriff „handlungsorientiert“ ver- wendet (vgl. Möller, 2008, S. 41), den es jedoch in seiner Bedeutung abzugrenzen gilt. Mit Handlungsorientierung wird ein Unterrichtskonzept bezeichnet, dessen Wurzeln in der Reformpädagogik zu suchen sind (Dewey, Kerschensteiner, Gaudig, Freinet, Montessori, Petersen u. a.). Unterschied zum handelnden Unterricht ist die Betonung des Gleichgewichts von Denken und Handeln, d. h. es wird zuerst überlegt und geplant, bevor gehandelt wird. Ziel ist der innerliche Vorgang, der der Handlung vorausgeht, sie begleitet und reflektiert. Meyer definiert Handlungsorientierten Un- terricht folgendermaßen: "Handlungsorientierter Unterricht ist ein ganzheitlicher und schüleraktiver Unterricht, in dem die zwischen dem Lehrer/der Lehrerin und den SchülerInnen vereinbarten Handlungsprodukte die Gestaltung des Unterrichtsprozesses leiten, so dass Kopf- und Handarbeit der SchülerInnen in ein ausgewogenes Verhältnis zueinander gebracht werden können." (Meyer, 1987, S. 402) Das zentrale Merkmal handlungsorientierten Unterrichts liegt in der Orientierung am vereinbarten Handlungsprodukt. Es geht dabei…

- um ein Ziel, das durch einen demokratischen Diskurs beschlossen wurde und von (möglichst) allen mitgetragen werden kann,
- um ein fertig zu stellendes Produkt (im weitesten Sinne), das als Ziel der Unter- richtsarbeit fungiert und schließlich
- um ein Produkt, das durch aktive und kreative Mitarbeit (wiederum möglichst al- ler), durch Handeln in Form von Kopf- und Handarbeit fertig gestellt wird. Die verfestigten Handlungsprodukte sollten weitere Rollen im Leben der SchülerIn- nen spielen können, z. B. im Rahmen von Veröffentlichung, Ausstellung, Vor- führung oder als Spiel- bzw. Lerngegenstand.

(Meyer, 1987, S. 412 ff.)

Das Vorstellen der neuen Problemaufgabe wird immer durch Materialien begleitet, die schon in der Einstiegsphase erste probierende Aktivitäten ermöglichen, die für al- le Kinder die Problemstellung verdeutlichen sollen und eventuell sogar erste Ansätze zur Lösungsfindung liefern. Häufig sind diese Veranschaulichungsmittel vergrößerte und/oder dreidimensionale Ausgaben der Arbeitsmittel für die Lösungsphasen der Gruppen. Welche Medien dabei im Einzelnen zum Einsatz kommen, ist im Praxisteil der Arbeit nachzulesen.

4.5 Unterrichtsprinzipien

Die Unterrichtsprinzipien der Veranschaulichung, der Kindgemäßheit, der Motivati- on, der Handlungsorientierung und der Differenzierung finden in der vorliegenden Unterrichtseinheit in besonderem Maße Anwendung, ohne die fundierenden Unter- richtsgrundsätze der Sach- und Zielgemäßheit zu vernachlässigen. Zu jeder Aufgabe kommen in der Einstiegs- und Erarbeitungsphase originale, bild- hafte oder modellhafte Medien zum Einsatz, die die Problemstellung für die Schüler veranschaulichen bzw. Gelegenheit bieten, Lösungsansätze handelnd zu erproben. Damit eng verknüpft ist das Prinzip der Handlungsorientierung. Sowohl die Aufga- ben als auch die Materialien entstammen dem Erfahrungsbereich der Kinder (Kind- gemäßheit). Dadurch, dass die Aufgaben in kleine Geschichten eingebettet sind und es sich um herausfordernde Fragestellungen handelt, ist die Motivation auch im Hin- blick auf den handelnden Umgang mit den zur Verfügung stehenden Medien hoch einzuschätzen. Zusätzlich motivierend dürften die Knobelausweise und die Vergabe „goldener“ Stempel für besonders gelungene Lösungsdarstellungen wirken. Teilwei- se unterschiedliche Schwierigkeitsstufen (qualitative Differenzierung), individuelles Arbeitstempo, individuelle Lösungswege und -dokumentation (Differenzierung durch die verschiedenen Repräsentationsebenen enaktiv-ikonisch-symbolisch) und die Möglichkeit, jede Aufgabe handelnd zu lösen, gewährleisten ein differenziertes Arbeiten.

Die erläuterten Unterrichtsprinzipien haben für alle Sequenzen der Einheit Gültigkeit, sodass bei den ausführlichen Darstellungen (3. u. 7. Sequenz) auf eine Wiederholung verzichtet wird.

5 Überblick über den Aufbau der Einheit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

6 Unterrichtspraktische Umsetzung der Einzelstunden

6.1 „Legotürme bauen als Einstieg in die Kombinatorik“ (05.11.08 - vgl. Auf- gabe im Anhang, Abb. 14, S. 16)

6.1.1 Vorwort

Ich habe mich für kombinatorische Aufgaben als Einstieg in die Problemaufgaben entschieden, weil sie sehr gut handelnd zu lösen sind und dadurch in der Regel eine hohe intrinsische Motivation von ihnen ausgeht. Sie bieten vielfältige Differenzierungsmöglichkeiten und alle Schüler können zu einer Lösung gelangen, auch wenn diese nicht vollständig ist, d. h. nicht alle möglichen Anordnungen oder Reihenfolgen gefunden werden. Gleiche Aufgabentypen lassen Zusammenhänge, also eine gewisse Strukturgleichheit erkennen, sodass diese Gemeinsamkeiten für die Lösungsfindung genutzt werden können (vgl. dazu auch Kap. 4.2).

Die Aufgabe „ Legotürme bauen “ erscheint mir als Einstieg in die Kombinatorik aus folgenden Gründen besonders geeignet:

- Der Sachverhalt ist leicht zu erfassen, da die Kinder mit dem Bauen von Türmen in der Regel vertraut sind. Ich halte es auch nicht für ausgeschlossen, dass das ei- ne oder andere Kind sich schon einmal - bewusst oder unbewusst - mit einer ähnlichen Fragestellung im Spiel auseinander gesetzt hat.
- Es ist relativ leicht möglich, das Material (Legosteine) in ausreichender Anzahl zur Verfügung zu stellen, das es ermöglicht, alle Anordnungen gleichzeitig zu repräsentieren.
- Die Anzahl der Lösungen (6) ist leicht überschaubar.
- Die Lösungsdokumentation gestaltet sich insofern einfach, als die gebauten Tür- me gezählt und abgezeichnet werden können.

6.1.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde

Die Zielsetzungen entsprechen der in Kap. 3.3.4 aufgeführten Wissens- und Kompetenzentwicklung, sodass an dieser Stelle (und bei den folgenden Ausführungen) auf eine erneute Darstellung verzichtet wird.

6.1.3 Kurzdarstellung des geplanten Unterrichts

Im Stuhlkreis liegt als stummer Impuls das Bild „Knobelpfiffikus“ (vgl. Anhang, Abb. 13). Wir klären die Begriffe „knobeln“, „Pfiffikus“ und „pfiffig“, dann erfahren die Kinder, dass immer, wenn das Bild an der Tafel hängt eine „Knobelstunde“ stattfindet, in der für eine knifflige Geschichte eine Lösung gesucht wird. Anschließend mache ich die Klasse mit den allgemeinen Umständen, unter denen sie in den Stunden arbeiten sollen, vertraut. (Ablauf, Arbeit in Kleingruppen, Knobelheft, Knobelausweis, Bedingungen für die Stempelvergabe etc. - vgl. Kap. 4.3). Wenn alle Fragen geklärt sind, stelle ich einen Korb mit Duplo-Legosteinen (3 ver- schiedene Farben) in die Mitte und erzähle die Geschichte; die Kinder haben die Aufgabe nicht vor sich. Dann dürfen die Schüler ihre spontanen Vermutungen äu- ßern, wie viele verschiedene Türme Lena bauen kann. Es werden Fragen geklärt und die Kinder dürfen schon Lösungsvorschläge machen, die von mir jedoch nicht ver- bindlich kommentiert werden. Danach stelle ich die Frage: „Wie könnte denn jetzt ein Turm aussehen, den Lena gebaut hat?“ Ein Kind darf nun den ersten Turm bauen und gemeinsam überprüfen wir, ob er alle Bedingungen, die in der Geschichte ge- nannt sind, erfüllt: a) „Er besteht aus 3 Steinen“ und b) „Er besteht aus 3 verschiede- nen Farben.“, d. h. jede Farbe kommt im Turm nur einmal vor.

Ein weiteres Kind darf den nächsten Turm bauen, und im Anschluss daran sollen die Kinder wieder entscheiden, ob er den Bedingungen entspricht und dies begründen. An dieser Stelle entlasse ich die Kinder in ihre Gruppen, die ich nach den genannten Gesichtspunkten eingeteilt habe (vgl. Kap. 4.2). Die Problemstellung und eine mög-liche Herangehensweise dürften nun für alle klar sein, die Lösungsarbeit in den Gruppen kann beginnen. Alle Schüler erhalten ihr Knobelheft, jede 3er-Gruppe erhält ein Körbchen mit kleinen Legosteinen, 4er- Gruppen haben zwei Körbchen zur Verfügung. (vgl. Anhang, Abb. 15) Ich habe andere Farben als in der Ein-stiegssituation gewählt, es sind mehr Steine als für die 6 Türme nötig sind und zusätzlich liegen lose Blätter für Zwischennotizen bereit.

Ich werde in der Lösungsphase beobachten und bei Problemen innerhalb der Grup- pen vermitteln, Ratschläge zur Lösungsfindung aber nur in „Notfällen“ geben, wenn die Arbeit der Gruppe in einer „Sackgasse“ steckt. Die Kinder sollen sich daran ge-wöhnen, dass sie für die Lösungsarbeit weitgehend allein verantwortlich sind. In der anschließenden Reflexionsphase, die erneut im Kreis stattfindet, wird die Anzahl der möglichen Türme gemeinsam ermittelt, alle 6 Türme werden gebaut und Schüler, die eine „Strategie“ entwickelt haben, um alle Möglichkeiten zu finden, dürfen diese vorstellen. Idealerweise werden die Türme so angeordnet, dass die Strategie dadurch sichtbar wird. Außerdem sollen die einzelnen Gruppen Gelegenheit erhalten zu be- richten, wie sie sich in ihren Gruppen organisiert haben und wie die Zusammenarbeit geklappt hat.

Die Darstellung dieser Einstiegsrunde erfolgte etwas ausführlicher, in den folgenden Ausführungen werde ich nur auf Abweichungen im ansonsten gleich bleibenden Rahmen eingehen.

6.1.4 Reflexion

Allgemeine Aspekte

Im Gegensatz zur Einstiegssituation, wo die Bedingungen für das Aussehen der Türme nach dem Erzählen der Geschichte noch nicht allen klar waren, gab es diesbe- züglich in den Gruppen keine Probleme mehr. Dazu beigetragen hat sicherlich, dass S. beim Bauen im Stuhlkreis beim 2. Turm zwei rote Steine verwendet hat, was allgemeinen Protest auslöste. Die Bedingung, dass jede Farbe im Turm nur einmal verwendet werden darf, wurde so noch einmal ganz bewusst gemacht und ich habe diesen „Fehler“ später in keiner Gruppe mehr beobachtet. Insofern war die ausführli- che Einstiegsphase wichtig für das Aufgabenverständnis. Am Ende der Einstiegspha- se durften die Kinder noch einen Tipp abgeben, wie viele verschiedene Türme Lena denn wohl bauen könne. Die meisten waren für drei Türme, einige schätzten acht. Die richtige Lösung von 6 Türmen wurde nicht genannt. Die Motivation war sehr hoch und alle Gruppen nutzten das Baumaterial intensiv, der Erfolg schien mir sogar teilweise davon abhängig zu sein. In einer Gruppe konnte ich beobachten, dass ein Mädchen die Türme wieder auseinander nahm, bevor die anderen Mitglieder der Gruppe sie abgezeichnet hatten. Diese Kinder waren nicht in der Lage, die fehlenden Lösungen zeichnerisch zu finden, sondern die Türme mussten komplett wieder auf- gebaut werden.

Gruppeninteraktion

Die Zusammenarbeit in den Gruppen funktionierte unterschiedlich gut. In den meis- ten Gruppen gab es keine Probleme, die Lösungsarbeit wurde erwartungsgemäß von den leistungsstärkeren Kindern getragen, ich konnte jedoch häufig eine Arbeitstei- lung feststellen, das heißt, dass jedes Gruppenmitglied mindestens einen Turm bauen durfte (dieses Recht wurde regelrecht eingefordert), der dann einer Prüfung unterzo- gen wurde. Hier waren dann die leistungsstärkeren Schüler dominanter, die einen „doppelten“ Turm in der Regel sofort erkannten. Auf alle Fälle waren auch die schwächeren Schüler mit Freude dabei und trainierten das (Nach-) Denken. In zwei Gruppen entstanden parallel gleichartige Konflikte. In beiden Fällen beanspruchten Re. bzw. L. das Baumaterial komplett für sich und ließen die übrigen Mitglie-der nicht damit „hantieren“. Meine Vermittlungsversuche und der Verweis auf die Arbeitsteilung der anderen Gruppen zeigten nur begrenzten bzw. vorübergehenden Erfolg, so dass ich mich entschloss, den betreffenden Gruppen ein zusätzliches Körb- chen mit Legosteinen zur Verfügung zu stellen. Da ich mit dieser Problematik ge- rechnet habe, hatte ich noch Baumaterial in „Reserve“, das ich dann flexibel einsetzen konnte.

Ergebnisse/Strategien

Ich habe folgende Vorgehensweisen der Kinder in der Lösungsphase beobachtet: Fast alle Gruppen wählten die Legosteine zufällig, aber gemäß den bekannten Be-dingungen, aus. Nach einer Überprüfung wurde der gebaute Turm akzeptiert oder wieder auseinander genommen (Versuch und Irrtum). Dementsprechend wurden die gefundenen Türme auch unsystematisch aufgezeichnet.

Dabei waren zwei unterschiedliche Vorgehensweisen zu beobachten: Die meisten bauten zuerst die Türme, dann wurden sie abgezeichnet. Einige zeichneten jeden „akzeptierten“ Turm direkt ins Knobelheft, bevor der nächste Turm gebaut wurde. Das führte zwangsläufig zu Konflikten, weil derjenige, der mit Zeichnen fertig war, das Recht für sich beanspruchte, den nächsten Turm zu bauen. In diesen Fällen gab ich auch Tipps und in der Abschlussreflexion durften die Schüler noch einmal ihre Probleme in der Gruppe schildern und gemeinsam suchten wir nach Lösungen. (Eine Reihenfolge festlegen; der nächste Turm darf erst gebaut werden, wenn alle mit Zeichnen fertig sind). Einigen Kindern gelang es recht gut zu erklären, warum sie glaubten, alle Möglichkeiten gefunden zu haben. Im Anhang sind ausgewählte Bei-spiele beigefügt, die die beschriebene „trial and error“- Strategie repräsentieren (vgl. Anhang, Abb. 16 + 17).

Ja. begann mit unsystematischem Bauen, hat dann aber eine Entdeckung gemacht: Es gibt von jeder Farbe 2 gleiche Bausteine in der Mitte (vgl. Anhang, Abb. 18). Ähnlich verhielt es sich mit Ju.s Gruppe, die die 6 Möglichkeiten nach dem „trial and error“- Prinzip gefunden haben, dann aber nachträglich eine Systematik erkannt haben, die sie durch Ordnen der Türme zum Ausdruck brachten, nicht jedoch durch schriftsprachliche Erklärungen (vgl. Anhang, Abb. 19). Es gab nur eine Gruppe, in der ich den Ansatz einer bewussten Strategie erkennen konnte, die aber nicht konsequent durchgehalten wurde. C. hatte gleich nach dem ersten Turm erkannt, dass man einen zweiten dadurch erhalten kann, indem man den ersten „auf den Kopf stellt“, d. h. um 180° wendet. Auf diese Weise entstanden die 4 ersten Türme in der Gruppe, die restlichen wurden durch probierendes Bauen und Aussortieren der identischen Türme gefunden. Leider hat die Gruppe ihre Anfangsstrategie nicht aufgeschrieben bzw. gezeichnet.

Von den 24 Schülern der Klasse gab es lediglich drei, die nicht die richtige Lösung im Heft hatten, obwohl sie unterschiedlichen Gruppen angehörten und in ihren Gruppen durchaus alle möglichen Türme ermittelt wurden (vgl. Anhang, Abb. 20-22). Es sind die Kinder, die zu den leistungsschwächsten in der Klasse zählen. Lediglich vier Kinder haben nur gezeichnet, alle anderen haben zumindest die erste Frage der Aufgabenstellung mit einem kleinen Satz beantwortet.

Die Tatsache, dass die Lösungen innerhalb einer Gruppe nicht immer identisch wa- ren, sondern es auch abweichende Lösungen gab, zeigt, dass sich in manchen Ar- beitsgruppen Untergruppen bildeten, manche wollten sogar ganz für sich arbeiten. (Ja. hielt sich manchmal die Ohren zu, um ungestört nachdenken zu können). Um zu verhindern, dass die Lösung durch die Anzahl der zur Verfügung stehenden Baustei- ne quasi vorgegeben war, hatte ich mehr als 18 Legos in die Körbchen gepackt. Kei- ne Gruppe hat gleich gemerkt, dass es außer den 6 unterschiedlichen Türmen keine weiteren gibt. Alle haben weitergebaut und früher oder später festgestellt, dass es nur noch „doppelte“ Türme gibt und diese dann aussortiert. Auffallend waren auch die Unterschiede in der Qualität der Zeichnungen. Hier waren die Kinder im Vorteil, die seit einiger Zeit in einer „Zeichengruppe“ mit Frau K. exaktes, geometrisches Zeichnen üben. (Zeichnen mit Lineal war übrigens auch eine Bedingung für die Ver- gabe eines goldenen Stempels.) Außerdem haben wir zusammen als Richtwert für die Größe der gezeichneten Legos vier Kästchen (2 x 2) festgelegt, was von fast allen berücksichtigt wurde und eine Hilfe für die Anfertigung der Zeichnungen darstellte.

6.2 „Tiere auf der Mauer“ (07.11.08 - vgl. Aufgabe im Anhang, Abb. 23, S. 20)

6.2.1 Vorwort

Es handelt sich hier ebenfalls um eine Permutationsaufgabe, bei der alle möglichen Anordnungen der Elemente gefunden werden sollen. Ich habe den gleichen Aufga- bentyp erneut gewählt, damit eventuelle Zusammenhänge zwischen den Aufgaben und somit eine gleiche Vorgehensweise erkannt werden können. Dennoch ist diese Aufgabe vom Schwierigkeitsgrad her aus folgenden Gründen höher einzustufen als die „Turmaufgabe“:

- Es müssen 4 Elemente (Tiere) angeordnet werden, was eine Anzahl von 24 mög- lichen Anordnungen ergibt.
- Das Finden aller möglichen Lösungen erfordert eine Systematik, die die Schüler in der 2. Klasse nicht zu leisten in der Lage sind.
- Im Gegensatz zur Turmaufgabe, wo alle Türme gleichzeitig gebaut werden kön- nen, ist hier jedes Tier nur einmal vorhanden. Deshalb müssen gefundene Anord- nungen wieder auseinander genommen werden. Die Schüler sind also gezwungen, jede gefundene Anordnung gleich zu notieren, sonst verlieren sie den Überblick.

Durch Formulieren von Zusatzbedingungen ergibt sich eine Differenzierungsaufgabe für die leistungsstärkeren Gruppen: „Die Tierkarawane“ (vgl. Anhang, Abb. 24). Zusätzlich zu den 24 Anordnungen müssen hierbei auch noch inhaltliche Bedin- gungen beachtet werden. Um die Lösungsarbeit etwas zu erleichtern, habe ich eine Lösungshilfe angefertigt, die die „verbotenen“ Reihenfolgen auf einen Blick zeigt (vgl. Anhang, Abb. 25)

6.2.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde (vgl. Kap. 3.3.4)

6.2.3 Kurzdarstellung des geplanten Unterrichts

Der Einstieg erfolgt diesmal in der normalen Sitzordnung, weil ich die Tafel zur Veranschaulichung benötige. Während ich die Geschichte erzähle, klappe ich die Ta- fel auf, an der schon die große Mauer hängt, nach und nach ergänze ich die Tiere. Sie sind auf der Rückseite mit Magneten versehen, sodass sie problemlos auf der Mauer positioniert werden können. (vgl. Anhang, Abb. 26) In der Einstiegsgeschich-te möchten nur drei befreundete Tiere in verschiedenen Reihenfolgen auf der Mauer laufen (Maus, Katze, Schnecke), es handelt sich demnach um die gleiche Aufgaben- struktur wie die „Turmaufgabe“ mit 6 Lösungen. Gemeinsam suchen wir alle sechs möglichen Anordnungen, bei der zweiten stellt sich schon das Problem, dass wir die erste Möglichkeit „kaputt“ machen müssen. Die Kinder dürfen Vorschläge machen, wie man das Problem lösen könnte. Ich gehe davon aus, dass sie die Tiere malen würden, eventuell hat auch schon jemand die Idee, dass man die Anfangsbuchstaben der Wörter benutzen könnte. Außerdem soll eine Systematik der möglichen Lö- sungen erkennbar sein, auf die ich mit Impulsfragen hinlenke. Wenn beispielsweise die erste Möglichkeit M-K-S (Maus-Katze-Schnecke) heißt, werde ich fragen, ob es noch eine Möglichkeit gibt, bei der die Maus vorne läuft. So entstehen dann an der Tafel die 6 Möglichkeiten, bei denen jedes Tier jeweils zweimal der „Anführer“ ist.

(vgl. Anhang, Abb. 27+28)

Um auch für die Gruppen, die die Aufgabe mit den Zusatzbedingungen („Tierkara- wane“) bearbeiten, inhaltliche Klarheit zu schaffen, werde ich, wenn alle möglichen Reihenfolgen an der Tafel stehen, die Geschichte fortsetzen: „Die Tiere sind wirklich gute Freunde und sorgen sich umeinander. Deshalb beschließen sie gemeinsam, dass die Schnecke nicht am Schluss gehen sollte, weil sie so langsam ist und verloren ge- hen könnte.“ Gemeinsam werden die Lösungen mit der Schnecke am Ende (M-K-S und K-M-S) „aussortiert“ und an der Tafel durchgestrichen. (vgl. Anhang, Abb. 29).

Bevor die Schüler in die eigenständige Arbeitsphase entlassen werden, erzähle ich, dass die drei Tiere einen vierten Freund gefunden haben, den Raben, und dass es nun ihre Aufgabe sei, die Möglichkeiten zu finden, wie die vier Freunde auf der Mauer hintereinander marschieren können. Die Gruppen, die die Differenzierungsaufgabe bearbeiten, erhalten von mir den Hinweis, dass die Aufgabe etwas anders sei, als die eben vorgestellte, dass es deshalb besonders wichtig wäre, sie genau zu lesen und ich eine Lösungshilfe bereit hätte, falls sie zu schwer sei.

Nun folgt die Lösungsphase, in der die Kinder wieder in ihren Gruppen zusammen arbeiten. Als Material stehen den Gruppen eine „Mauer“ und die 4 Tiere in laminier- ter Form zur Verfügung (vgl. Anhang, Abb. 30). Ich rechne damit, dass diese Phase viel Zeit in Anspruch nehmen wird. Eine gemeinsame Reflexionsphase halte ich in dieser Stunde nicht für sinnvoll, da zwei verschiedene Aufgaben bearbeitet werden und es somit schwer für die einzelnen Gruppen ist, die Lösungen der anderen Aufgabenstellung nachzuvollziehen. Am Ende der Stunde werde ich eine „Rechen- konferenz“ einberufen, in der Gruppen mit gleicher Aufgabenstellung über ihre Lö- sungswege reflektieren können.

6.2.4 Reflexion

Allgemeine Aspekte

Die Aufgabe erwies sich als sehr motivierend; Aufgabenstellung und Vorgehenswei- se waren durch die Einstiegssituation klar, sodass alle sofort starten konnten. Der „Trick“ (dass jedes Tier zweimal vorne läuft), den wir an der Tafel erarbeiteten, er- wies sich im Nachhinein für mich als „Eigentor“. Als ich beim Auswerten der Lö- sungen feststellte, dass fast alle Gruppen genau acht oder weniger mögliche Anord- nungen gefunden hatten, war ich zunächst ratlos. Bei 24 möglichen Anordnungen - was die Kinder aber nicht wussten - war das eine „magere Ausbeute“. Dann fiel mir ein, dass acht genau die Anzahl an Lösungen ist, die sich ergibt, wenn bei vier Tieren jedes zweimal vorne läuft. Ob meine Vermutung bestätigt wurde, ist weiter unten meinen Ausführungen zu Ergebnissen und Strategien zu entnehmen.

Auch in dieser Stunde wurde das Material intensiv von allen Gruppen genutzt. Ich konnte keine Gruppe beobachten, die eine Kombination aufgeschrieben hat, ohne sie vorher gelegt zu haben. Die Arbeit erforderte über einen langen Zeitraum eine hohe Konzentration, da jede Kombination mit den anderen verglichen werden musste, um Wiederholungen zu vermeiden. Außerdem mussten die Tierbilder in Buchstabenfolgen „übersetzt“ werden, was aber allen ausnahmslos gut gelang.

Gruppeninteraktion

Für diese Stunde hatte ich leistungshomogene Gruppen gebildet. Fünf Gruppen (3 Dreiergruppen und 2 Vierergruppen) bearbeiteten die Aufgabe ohne Zusatzbedin-gungen, zwei Gruppen (1 Dreier- und 1 Vierergruppe) bearbeiteten die Differenzierungsaufgabe.

Die Zusammenarbeit funktionierte fast ausnahmslos gut, die Kinder haben wirklich zusammen gearbeitet: Es wurde abwechselnd gelegt, es wurde diskutiert, ob die Rei-henfolge „geht“ und dann aufgeschrieben. Ohne vorher die Gruppen- einteilung zu kennen, hätte man anhand der Lösungen sagen können, welche Schüler zusammen gearbeitet haben. Die Reihenfolge der Buchstabenkom- binationen war absolut identisch, lediglich bei den schriftsprachlichen Kom- mentaren gab es kleine Abweichungen. In L.s Gruppe kam es wieder zu ähnlichen Streitereien wie in der vorangegangenen Stunde. Er beanspruchte das Material für sich, beteiligte sich damit aber nicht produktiv am Lösungsgeschehen. Ich fragte L., ob er besser denken könne, wenn er einen Tisch und das Material für sich allein hätte. Nachdem er dies bejahte, „durfte“ er sich hinten am Spieletisch alleine mit der Aufgabe auseinander setzen. Er fand fünf Reihenfolgen, bei deren Findung ich ihn jedoch unterstützen und motivie-ren musste.

Die Zusammenarbeit und die Kommunikation in den beiden Gruppen, die an der Aufgabe mit den inhaltlichen Zusatzbedingungen („Die Tierkarawane“) arbeiteten, war noch intensiver. Zunächst wurde viel Zeit für das Lesen der Aufgabe benötigt. Dann wurde diskutiert, welches Tier an welcher Stelle nicht laufen darf, aber keine der beiden Gruppen machte den Versuch, sich durch Notizen zu den Bedingungen eine Lösungshilfe zu schaffen. Dazu fehlen anscheinend noch die kognitiven Möglichkeiten bzw. die Erfahrung. Nach einiger Zeit erbaten sich beide Gruppen die Lösungshilfe.

Ergebnisse /Strategien

Bei ihren Lösungsüberlegungen gingen die Schüler alle ausschließlich handelnd vor, wobei nur einmal eine Systematik zu beobachten war. Ein Kind legte die Reihenfolge, gemeinsam wurde überprüft, ob diese nicht schon vorher bestimmt worden war, dann wurde sie von allen notiert. Erstaunlicherweise wurde dabei auch das gemeinsam erarbeitete System (ein Tier ist immer zweimal vorne) nicht genutzt, was sicherlich eine Erleichterung dargestellt hätte. Alle (bis auf eine Lösung) sahen so wie G.s aus (vgl. hierzu Anhang, Abb. 31, S. 25).

Natürlich könnte man ein gewisses strategisches Vorgehen hinein interpretieren, das wäre jedoch meines Erachtens rein spekulativ, da ich auch während der Lösungsphase keine Gespräche „belauschen“ konnte, die auf ein bewusstes, systematisches Vor-gehen hingedeutet hätten. Bei G.s Lösung fällt auf, dass die zweite Reihenfolge durch Vertauschen der ersten beiden Buchstaben entstanden ist. Bei den Reihen-folgen 4 und 6 sind die mittleren Buchstaben vertauscht. Weil die beiden Lösungen aber nicht direkt untereinander stehen, schließe ich ein systematisches Vorgehen aus. So verhält es sich mit (fast) allen Lösungen.

Meine Theorie, dass die acht gefundenen Reihenfolgen dadurch zustande gekommen sind, dass jedes Tier zweimal vorne gehen darf, hat somit keine Bestätigung gefunden, denn es gab auch zahlreiche Lösungen, in denen ein Tier nur einmal „Anführer“ war, ein anderes dafür dreimal (vgl. Anhang, Abb. 32). Bei der Aufgabe „Die Tierkarawane“ erwies sich die Anzahl von 11 Möglichkeiten schon als zu groß, um den Überblick über die Gesamtstruktur der Aufgabe mit ihren zusätzlichen in- haltlichen Bedingungen zu behalten. Ohne die Lösungshilfe wären die Kinder über- fordert gewesen, da sie bei jeder Reihenfolge anhand des Textes die Zulässigkeit hät- ten überprüfen müssen. So konnten sie ihre gelegte Reihenfolge und ihre Buchsta- benfolge mit der Lösungshilfe vergleichen und sich so absichern. Eine Gruppe fand acht, die andere neun Reihenfolgen. Beide haben sehr schön ihre Vorgehensweise beschrieben (vgl. Anhang, Abb. 33 u. Abb. 34).

Zum Abschluss möchte ich auf eine Lösung eingehen, die mich sehr beeindruckt hat.

N. hat sich zu Beginn der Lösungsphase an den Aktivitäten in seiner Gruppe be- teiligt, hat aber nicht mitgeschrieben, wenn eine Reihenfolge ermittelt wurde. Nach einiger Zeit kam er zu mir und fragte mich, ob er alleine arbeiten dürfe. Ich erlaubte es ihm und er rückte von seiner Gruppe etwas ab und arbeitete dann ohne die Mauer und die Tiere, (obwohl ich ihm eigenes Material zur Verfügung stellte). Sein Lö- sungsansatz ist im Anhang, Abb. 35, S. 28 einzusehen. Es ist genau die Strategie, die ich für mich zu Hause angewendet hatte, um alle möglichen Reihenfolgen zu finden. Er hat zuerst alle Anordnungen mit der Maus als „Anführer“ gefunden und ist dabei sogar bei der zweiten Position systematisch vorgegangen. Dann wollte er mit der Katze weiter machen, konnte seine Arbeit jedoch aus Zeitgründen nicht beenden.

Rückblickend stellt sich für mich nun die Frage nach einer alternativen Gestaltung der Einstiegsphase. Mein Ziel, eine Lösungsdarstellung auf symbolischer Ebene so einzuführen, dass die Schüler es anwenden können, wurde erreicht. Allerdings führte meine Vorgehensweise nicht dazu, eine Systematik bei der Ermittlung der verschie- denen Anordnungen bewusst zu machen, obwohl ich eigentlich nach dem Einstieg den Eindruck hatte, dass dies gelungen war. Alternativ hätte man für den Einstieg gleich die Aufgabe mit vier Tieren wählen können und zu einem „Anführer“ gemein- sam alle Möglichkeiten systematisch ermitteln und übersichtlich aufschreiben kön- nen. Möglicherweise wäre das Lösungsverhalten dann planvoller gewesen und ein- zelne Gruppen hätten mehr als acht Anordnungen gefunden - jedoch mit der Konse- quenz, dass das ursprüngliche Lösungsverhalten beeinflusst und dadurch das entde- ckende Lernen verhindert worden wäre. Außerdem ist meinen theoretischen Ausfüh- rungen zu entnehmen, dass ein „Lehren“ von Strategien zur Lösung von Problemen in der Grundschulzeit verfrüht ist (vgl. Kap. 3.3.1). Insofern bin ich froh, dass N. die Gelegenheit hatte, seine Strategie selbst zu entdecken. Ein unsystematisches Vorgehen macht das Finden aller 24 Anordnungen im Rahmen einer Unterrichts- stunde unmöglich, aber der Vorteil von kombinatorischen Aufgabenstellungen liegt darin, dass alle in der Lage sind, eine gewisse Anzahl an Lösungen zu ermitteln.

Da die Rechenkonferenzen aus Zeitgründen nicht stattgefunden haben, hielten wir montags nach dem Morgenkreis einen Rückblick auf die vergangene „Knobelstunde“.

Dabei durfte N. seine Strategie vorstellen und gemeinsam suchten wir dann in gleicher Weise nach allen Möglichkeiten mit der Katze als „Anführer“. Kollektiv stellten wir fest, dass jedes Tier sechsmal vorne sein kann, was zu 24 möglichen An- ordnungen führt, die wir aber nicht alle aufgeschrieben haben. Für die nächste Stun- de ist eine Kombinatorikaufgabe geplant, bei der es insgesamt 18 unterschiedliche Möglichkeiten gibt, verschiedene Elemente zu kombinieren. Da aufgrund der oben beschriebenen Ergebnisse auch hier bei einem Großteil der Kinder kein systemati- sches Vorgehen zu erwarten ist, biete ich die Aufgabe in differenzierter Form an, d. h., dass die Leistungsschwächeren die richtigen Lösungen im Multiple-Choice- Verfahren ermitteln können.

6.3 „Kommissar Spürnase - Wir lösen den Fall auf jeden Fall!“ (12.11.08 - vgl.

Aufgabe im Anhang, Abb. 36, S. 29, ausführliche Darstellung)

6.3.1 Didaktische Entscheidungen und Begründungen

6.3.1.1 Sachanalyse

Es handelt sich um ein Kombinationsproblem, bei dem man das Zählprinzip anwenden kann (vgl. Kap. 2.1.3). Für drei Objekte (Buchstaben bzw. Ziffern im Nummernschild) sind Auswahlmöglichkeiten gegeben, und zwar für die Buchstaben zwei, für die erste und zweite Ziffer je drei Möglichkeiten. Insgesamt muss der Kommissar also 2 x 3 x 3 = 18 Autos überprüfen. Um die Aufgabe vollständig zu lösen, ist ein systematisches Vorgehen unerlässlich.

6.3.1.2 Zielsetzungen für die Unterrichtsstunde (vgl. Kap. 3.3.4)

6.3.2 Methodische Entscheidungen und Begründungen

6.3.2.1 Artikulation des Unterrichts

Einstieg

Die Stunde beginnt mit einem akustischen Impuls: Ich starte eine CD, auf der Geräu- sche eines Autounfalls (quietschende Reifen, Aufprall) und anschließend eine Poli- zeisirene zu hören sind. Gegebenenfalls spiele ich die CD ein zweites Mal ab. Die Schüler werden anschließend wahrscheinlich die Vermutung äußern, dass hier ein Autounfall passiert und die Polizei unterwegs ist. Ich bestätige diese Vermutung und erkläre, dass es darum in unserer heutigen „Knobelstunde“ geht, nämlich um einen Autounfall. Dann hänge ich ein Bild (DIN A3) von einem Unfall an die Tafel und beginne die Geschichte zu erzählen:

„ Bei einem Autounfall ist das blaue Auto auf das rote Auto aufgefahren. Glückli- cherweise wurde niemand verletzt, aber der Fahrer des blauen Wagens hat etwas Schlimmes getan, er hat sich nicht um den Fahrer des roten Wagens gekümmert, sondern ist einfach abgehauen. “ (An dieser Stelle unterbreche ich die Geschichte kurz und wir suchen gemeinsam den Begriff für ein solches Verhalten: „Fahrer-flucht“.) „ Der zuständige Polizist „ Kommissar Spürnase “ (ich hänge das Bild auf - vgl. Anhang, Abb. 38) hat aber zum Glück Zeugen, die den Unfall beobachtet haben. “ (An dieser Stelle klären wir den Begriff: „Zeuge“.) „ Alle sagen aus, dass das blaue Auto aus Kaiserslautern stammt und der erste Buchstabe des Nummern-schildes ein A ist. “ Wir sprechen über Autokennzeichen und dass man daran erken-nen kann, woher ein Auto kommt. Sicher wissen einige, dass Autokennzeichen aus der Stadt bzw. dem Landkreis Kaiserslautern mit KL beginnen. Somit können wir schon festlegen, wie das Nummernschild ganz sicher beginnt: KL - A. Ich habe ein „echtes“ Nummernschild dabei, das ich an die Tafel hänge.

„ Aber die Zeugen sind sich leider nicht einig darüber, wie es weiter geht. Der erste Zeuge behauptet Folgendes …“ (Ich hänge das Bild des Zeugen und seine Aussage in Form einer Sprechblase an die Tafel). „ Ein Mädchen, das den Unfall ebenfalls beo-bachtete, hat etwas anderes gesehen …“ (Ich hänge das Bild des Mädchens mit ihrer „Aussage“ an die Tafel - vgl. Anhang, Abb. 39).

Die Schüler müssen die Bedingungen der Problemstellung selbst erlesen und dann die Möglichkeiten bestimmen, wie das Schild bis jetzt aussehen könnte. Möglich sind folgende Kombinationen: KL-AP oder KL-AR. Über das echte Schild hefte ich die Buchstaben P und R als laminierte Kärtchen (vgl. Anhang, Abb. 40). Aussagen zur 1. Ziffer lauten 6, 8 oder 9 (vgl. Anhang, Abb. 41). Ich hänge nach der Anweisung der Kinder die Ziffern 6, 8 und 9 über das Schild (vgl. Anhang, Abb. 42), dann werden die Aussagen zur 2. Ziffer erlesen (vgl. Anhang, Abb. 43) und das Tafelbild entsprechend ergänzt (vgl. Anhang, Abb. 44).

So sind am Ende zu jeder Position alle möglichen Buchstaben bzw. Ziffern auf einen Blick erkennbar und die Schüler haben sie sich nach und nach durch Erlesen der Zeugenaussagen selbst erschlossen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind dabei jeweils nur die, für die gerade zu besetzende Position (2. Buchstabe, 1. Ziffer/2. Zif- fer) relevanten Aussagen an der Tafel zu sehen, die übrigen entferne ich. „Wie könnte denn nun ein Kennzeichen lauten, das Kommissar Spürnase überprüfen muss?“ Ich gehe davon aus, dass KL-AP 61 die erste Kombination ist, die genannt wird, weil es als erste Kombination des Tafelbildes ablesbar ist. Das Kind, das die erste Möglichkeit nennt, darf an der Tafel mit den Buchstaben und Ziffernkärtchen das Nummernschild ergänzen. Bevor das Kind auf den Platz zurückgeht, mache ich die Bemerkung: „Wir haben jedes Buchstaben- bzw. Ziffernkärtchen nur einmal.“ Das dürfte als Impuls genügen, um sich an die vorangegangene Stunde zu erinnern, wo die Tiere jeweils nur einmal zur Verfügung standen und deshalb jede Kombination gleich angeschrieben werden musste. Da es den Kindern in der voran- gegangenen Stunde schwer gefallen war, systematisch vorzugehen, werden die ersten Lösungen dieser Aufgabenstellung systematisch erarbeitet. Dabei gehen wir folgen- dermaßen vor: 1. KL-AP 61, 2. KL-AP 64, 3. KL-AP 67. Das sind die kleinsten Zah- lenkombinationen, die mit KL-AP möglich sind. Die Buchstaben KL-AP werden al- so mit den möglichen Zahlenkombinationen in aufsteigender Reihenfolge kombiniert, daher sind die nächsten Kombinationen folgende: 4. KL-AP 81, 5. KL-AP 84, 6. KLAP 87, 7. KL-AP 91. (vgl. Anhang, Abb. 45) Es ist nicht das Ziel der Stunde, alle möglichen Kennzeichen zu finden, aber vielleicht stellt es für den einen oder an-deren eine Hilfe dar, dass wir gemeinsam eine Systematik angewendet haben, die es ermöglicht, alle Kombinationen zu finden.

Arbeitsphase

Die Klasse arbeitet in den gleichen leistungshomogenen Gruppen wie in der voran- gegangenen Stunde: 13 Kinder arbeiten in 4 Gruppen an dem im Einstieg begonne- nen Problem weiter, die anderen finden die möglichen Kennzeichen im Multiple- Choice-Verfahren. Für die leistungsschwächeren Schüler habe ich ein Aufgabenblatt erstellt, auf dem neben den 18 richtigen Schildern noch 8 Kennzeichen abgebildet sind, die nicht den Zeugenaussagen entsprechen, z. B. KL-AR 46 (vgl. Anhang, Abb. 37). Die Ziffer 4 an erster bzw. die Ziffer 6 an zweiter Stelle sind nicht mög-lich. Die Kinder müssen also die Schilder auf die Bedingungen der Aufgabenstellung hin überprüfen und durch Ankreuzen entscheiden, ob das jeweilige Schild von „Kommissar Spürnase“ überprüft werden muss. Für diese Schülergruppe stellt diese Aufgabe ein herausforderndes, aber lösbares Problem dar, das geeignet ist, Erfolgser- lebnisse zu verbuchen. Die leistungsstärkeren Schüler sind gefordert, die verschiede- nen Kombinationen aus Buchstaben und Zahlen selbstständig zu finden und im Kno- belheft gemäß den Beispielen an der Tafel aufzuschreiben. Beide Gruppen haben die

Möglichkeit mit den Legematerialien die Kennzeichen zu legen, bevor sie aufge- schrieben bzw. angekreuzt werden (vgl. Anhang, Abb. 46). Ich werde darauf hinweisen, dass es hilfreich ist, die Buchstaben- und Ziffernkärtchen so anzuordnen, wie an der Tafel. Für jede der beiden Aufgabenstellungen habe ich Lösungen vorbe- reitet, die eine Selbstkontrolle der Ergebnisse ermöglichen (vgl. Anhang, Abb. 47 +48). Dies stellt eine Entlastung für mich dar, weil die Lösungsmöglichkeiten umfangreich sind, andererseits ist es eine langfristig anzustrebende Kompetenz, dass die Schüler in der Lage sind, eigene Ergebnisse zu kontrollieren und zu korrigieren. Die Arbeitsphase endet mit Aufräummusik, die Schüler räumen die Arbeitsmateria- lien zusammen und bringen sie nach vorne.

Reflexionsphase

Vertreter beider Aufgabenstellungen haben die Gelegenheit, über ihre Lösungsarbeit zu berichten. Dabei stellen folgende Satzkarten eine Formulierungshilfe dar:

- So sind wir vorgegangen: …
- Wir haben … verschiedene Nummernschilder gefunden.
- Für uns war die Aufgabe schwierig, weil …
- Wir fanden die Aufgabe nicht so schwer, weil …
- So haben wir in der Gruppe zusammen gearbeitet: …

Ein Gruppensprecher darf von den angebotenen Formulierungshilfen diejenigen auswählen, zu denen er etwas sagen möchte. Die Formulierungen auf den Satzkarten sind so gewählt, dass sowohl sachliche Aspekte zur Vorgehensweise bei der Lö- sungsarbeit, als auch gruppeninterne, soziale Aspekte zur Sprache gebracht werden können.

Schlussphase

Als Abschluss erschien es mir wichtig, dass der Fall tatsächlich „gelöst“ wird und das Kennzeichen des Unfallverursachers, der Fahrerflucht begangen hat, ermittelt wird. Deshalb erzähle ich die im Einstieg begonnene Geschichte zu Ende: „ Kommis- sar Spürnase hat alle 18 Autos mit den Kennzeichen, die ihr gefunden habt,überprüft. Am Ende waren drei blaue Autosübrig, die vorne eine Beule hatten. Kommissar Spürnase hat die drei Besitzer verhört und so den Täter gefunden. Ich bin gespannt, ob ihr anhand der Schilder erkennen könnt, welches Schild zum Täter gehört. “ Ich hänge 3 Kennzeichen an die Tafel: KL-AP 67, KL-AP 81, KL AR 84. „ Der Täter heißt Andreas Richter und hat am 8. April Geburtstag. “ Die Kinder sollen anhand der Informationen auf das richtige Kennzeichen schließen. Die Buchstaben A und R stehen für die Initialen, die Ziffern 8 und 4 für die Geburtsdaten des Täters. Da viele Leute ihre Nummernschilder nach diesen Kriterien auswählen, erwarte ich, dass ei- nige Kinder in diese Richtung „kombinieren“ werden und der „Fall“ somit zu einem guten Abschluss kommt.

6.3.2.2 Sozial-, Ordnungs- und Organisationsformen

Für den Einstieg habe ich einen Kinositzhalbkreis vor der Tafel gewählt, damit alle eine gute Sicht auf die an der Tafel präsentierten Medien haben (Schrift in den Sprechblasen, Ziffern- und Buchstabenkärtchen etc.). Die Lösungsarbeit findet in leistungshomogenen Kleingruppen statt. Die Gründe, die Kinder in Gruppen arbeiten zu lassen, wurden bereits in Kap. 4.2 ausführlich erläutert. Auf Grund der qualitati- ven Differenzierung (Aufgabenschwierigkeit) wäre die Arbeit in heterogenen Gruppen nicht sinnvoll.

Als Organisationsform für die Reflexion der Gruppenarbeit bietet sich das Sprechen frontal vor der Klasse an. Zum einen kann dadurch der „Präsentationspunkt“ genutzt werden. Es handelt sich dabei um einen großen, roten Punkt auf dem Fußboden, der als Ritual fungiert, um Ruhe für den Redner zu erzeugen, der darauf steht. Anderer- seits haben beide Aufgabengruppen an den gleichen Lösungen gearbeitet, wenn auch auf unterschiedliche Weise, sodass eine gemeinsame Reflexion durchaus sinnvoll ist - im Gegensatz zur vorangegangenen Stunde (vgl. Kap. 6.2).

6.3.2.3 Medien

Folgende Medien kommen in der Stunde zum Einsatz:

- Die Geräusche- CD schult die akustische Wahrnehmung und führt zum Thema der Rahmengeschichte hin.
- Die Farbkopien in DIN A3-Format von Unfall und Zeugen veranschaulichen auf kindgerechte Weise die Handlung, die Aussagen der Zeugen in Form von Sprechblasen bewirkt, dass die Bedingungen der Problemstellung langsam Schritt für Schritt erlesen bzw. erschlossen werden müssen, bis am Ende alle „Puzzleteile“ zusammengefügt sind. Auf diese Weise sind die Schüler mehr ge- fordert und mein Sprachanteil ist auf diese Weise niedriger, als wenn ich die gan- ze Geschichte erzählen würde.
- Das reale Autokennzeichen wirkt zusätzlich motivierend und kann gemäß der „Zeugenaussagen“ mit Hilfe der Buchstaben- und Ziffernkärtchen ergänzt werden. Zu Beginn seines Einsatzes repräsentiert es den Stand der sicheren Er- mittlungen.
- Das gleiche Schild und die Kärtchen stehen den Gruppen in laminierter Form zur Verfügung, um die Kombinationen zu legen, die dann anschließend sofort no- tiert werden müssen, weil jedes Buchstaben- bzw. Ziffernkärtchen nur einmal vorhanden ist.
- Die laminierten Satzstreifen in der Reflexionsphase stellen eine Formulie- rungshilfe auf inhaltlicher und syntaktischer Ebene dar.

6.3.2.4 Unterrichtsprinzipien

Die Unterrichtsprinzipien der vorliegenden Stunde entsprechen den in Kap. 4.5 genannten, für die gesamte Einheit geltenden, Unterrichtsprinzipien.

[...]

• Veranstaltung: Hausarbeit über die Ausbildung und Zweite Staatsprüfung zum Lehramt an Grund- und Hauptschulen
• Note: 1,0
• Autor: Christine Leßmeister (Autor:in)
• Erscheinungsjahr: 2009
• Seiten: 165
• Katalognummer: V123185
• ISBN (eBook): 9783668124967
• ISBN (Buch): 9783668124974
• Sprache: Deutsch
• Schlagworte: problemhaltige, denk-, sachaufgaben, entwicklung, lösungsstrategien, kleingruppen, klasse