1984 veröffentlichte G.Adomian sein Buch "Solving Frontier Problems of Physics" [1]. In diesem Werk wird ein neues effektives Verfahren "The Decomposition method" vorgestellt, das Lösungen nichtlinearer Funktionalgleichungen beliebiger Art (Integralgleichungen, Differentialgleichungen, nichtlineare Gleichungen und Gleichungssysteme, Differentialgleichungssysteme, ...) durch ein iteratives Approximationsverfahren berechnet. In der sich anschließenden Diskussion über die Qualität der Lösungen dieses Verfahrens, beteiligten sich maßgeblich Cherruault undAbbaoui [3]. In ihren Arbeiten wurden zum ersten mal Konvergenzaussagen der Zerlegungsmethode bewiesen. In dieser Arbeit wird zunächst eine von Himoun, Abbaoui und Cherruault [4] stammende Verallgemeinerung der Zerlegungsmethode vorgestellt, die auf den Arbeiten von Adomian[1] [2], Cherruault und Abbaoui [3] basiert. Danach wird dann das Verfahren auf den mehrdimensionalen Fall erweitert und eine von Darvishi und Barati [7] stammende Konvergenzaussage für nichtlineare Gleichungssysteme bewiesen. Die Modifikation des Zerlegungsvefahrens für diesen Fall basiert dabei auf Arbeiten von Babolian,Biazar und Vahidi [6]. Am Ende dieser
Arbeit werden numerische Beispiele aufgezeigt.
Inhaltsverzeichnis
1 Die Zerlegungsmethode von Adomian
1.1 Adomian-Polynome
2 Nichtlineare Gleichungen
3 Der n-dimensionale Fall
3.1 Die modifizierte Zerlegungsmethode
4 Anwendungen und Beispiele
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Adomian-Zerlegungsmethode zur numerischen Lösung nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme. Das primäre Ziel besteht darin, das mathematische Prinzip der Methode darzulegen, effiziente Berechnungsverfahren für Adomian-Polynome zu untersuchen und die Anwendung der Methode auf sowohl eindimensionale als auch n-dimensionale nichtlineare Probleme zu demonstrieren, einschließlich der Herleitung von Konvergenzeigenschaften.
- Mathematische Grundlagen der Adomian-Zerlegungsmethode und der kanonischen Form.
- Methoden zur systematischen Berechnung von Adomian-Polynomen mittels Taylorreihen und Determinanten.
- Erweiterung der Methode auf nichtlineare Gleichungssysteme und Herleitung modifizierter Iterationsverfahren (mNm).
- Praktische Umsetzung an exemplarischen nichtlinearen Gleichungssystemen zur Validierung der Konvergenz.
Auszug aus dem Buch
1.1 Adomian-Polynome
Man führt eine analytische Hilfsfunktion y und H mit unabhängigem reellen Parameter λ ein. Anschließend entwickelt man die Funktion y(λ) in eine Taylorreihe im Punkt λ = 0 und erhält damit eine Darstellung von y(λ) als Potenzreihe. Wir erinnern daran, dass eine Funktion analytisch genannt wird, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Einsetzen und differenzieren in (1.3) liefert dann eine explizite Darstellung der Adomian-Polynome.
Die Taylorentwicklung der Funktion y(λ) an der Stelle λ = 0 liefert zunächst
y(λ) = y(0) + λy'(0) + 1/2!λ^2y''(0) + 1/3!λ^3y'''(0) + · · · = ∑_{i=0}^{∞} 1/i!y^{(i)}(0)λ^i
Setzt man nun
i!x_i = y^{(i)}(λ)|_{λ=0}
so erhält man für y(λ) den Ausdruck
Zusammenfassung der Kapitel
1 Die Zerlegungsmethode von Adomian: Einführung in das grundlegende Konzept der Zerlegungsmethode zur Lösung von Funktionalgleichungen und detaillierte Herleitung der Adomian-Polynome.
2 Nichtlineare Gleichungen: Anwendung der Adomian-Zerlegungsmethode auf skalare nichtlineare Gleichungen unter Verwendung von Taylorapproximation zur Bestimmung der Iterationsschritte.
3 Der n-dimensionale Fall: Erweiterung der Methode auf Systeme von n nichtlinearen Gleichungen sowie Beweis der Konvergenzordnung drei für die modifizierte Newtonmethode.
4 Anwendungen und Beispiele: Praktische Demonstration der theoretischen Ansätze anhand zweier konkreter nichtlinearer Gleichungssysteme und Vergleich der Ergebnisse.
Schlüsselwörter
Adomian-Zerlegungsmethode, nichtlineare Gleichungssysteme, Adomian-Polynome, Taylorreihe, numerische Mathematik, Fixpunktsatz, Newton-Verfahren, Konvergenzordnung, Iterationsverfahren, Funktionalgleichungen, Jacobimatrix, Faà di Bruno, Approximation, numerische Beispiele, Zerlegungsverfahren.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die Adomian-Zerlegungsmethode, ein numerisches Verfahren zum Lösen nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der theoretischen Fundierung der Zerlegungsmethode, der Berechnung von Adomian-Polynomen und der Anwendung auf mehrdimensionale Probleme.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist es, die Effektivität des Zerlegungsverfahrens zu zeigen, neue Wege zur Berechnung der Polynome vorzustellen und die Konvergenzordnung abgeleiteter Iterationsverfahren zu beweisen.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es werden mathematische Analysis, Taylorreihenentwicklungen, Funktionalanalysis sowie Techniken aus der numerischen Mathematik wie das Newton-Verfahren eingesetzt.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil umfasst die mathematische Herleitung der Methode, die Modifikation für n-dimensionale Systeme und die exemplarische numerische Lösung von Beispielsystemen.
Durch welche Schlüsselwörter lässt sich die Arbeit beschreiben?
Die zentralen Begriffe sind Adomian-Zerlegungsmethode, nichtlineare Gleichungssysteme, Konvergenz, Adomian-Polynome und numerische Approximation.
Welche Bedeutung haben die Adomian-Polynome in diesem Kontext?
Sie dienen dazu, den nichtlinearen Operator des Problems innerhalb des iterativen Verfahrens so zu approximieren, dass die Berechnung der Lösungen effizient möglich ist.
Wie unterscheidet sich die modifizierte Newtonmethode in dieser Arbeit vom Standardverfahren?
Die in Abschnitt 3 vorgestellte modifizierte Newtonmethode basiert auf der Anwendung des Zerlegungsverfahrens auf den n-dimensionalen Fall und weist eine Konvergenzordnung von drei auf.
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- Andy Stephan (Author), 2009, Die Adomian decomposition method zum Lösen nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/122654
