Einführung in ein nonpolares
sphärisches Koordinatensystem
mit zwei bis vier Komponenten,
das Ähnlichkeit mit gerichteten
mechanischen Größen in der Ebene hat,
für zwei Komponenten eine
graphische Ortsermittlung direkt
auf der Kugeloberfläche und
ein sphärisches Getriebe ermöglicht. Schon vor längerer Zeit fand ich die spitzen und schmalen Dreiecke bei den
üblichen Koordinatennetzen auf einer Kugeloberfläche (polares System) an den
beiden Polen nicht besonders ästhetisch und angenehm. Wäre es da nicht möglich,
eine Alternative zu entwickeln, die den recht- (oder auch schief-)winkligen
kartesischen Koordinaten (zumindest in Polnähe, d. h., für zwei kleine Winkel)
ähnlich ist? Dieses Zwei-Winkel-System lässt sich leicht finden.
Um diese Gesetzmäßigkeit auch bei (sehr) kleinen Winkeln (quasi ebenen
Streckenlängen) und anderen in der Ebene angeordnete physikalischen Größen (z. B.
Kräften, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen) anwenden zu können, wurde
das Zwei-Komponenten-System für bis zu vier Komponenten erweitert. Trotzdem
sollte auch die erweiterte Ausführung eine möglichst einfache Gestalt annehmen.
Von den zahlreichen diversen möglichen Alternativen von Gleichungen mit
unterschiedlichen Winkelfunktionen (mit ganzen und halben Winkeln und diversen
Potenzen) und deren Kombinationen wird der folgende Aufsatz noch eine relativ
einfache Form darstellen können.
Schlüsselbegriffe: Komponente, Seitenwinkel, Richtungswinkel, Seitenkosinussatz,
Betrag der Resultanten, Richtung der Resultanten, Eigenschaften, Sternkonfiguration,
(erweiterte) Hauptgleichung, zusätzliche Gleichung, Gewichtungsfaktor
w, Teilfaktor k, Teilfaktor p
Inhalt
Verzeichnis der Abbildungen
1 Einleitung
2 Definition der Seitenwinkel (Komponenten) und des bzw. der Richtungswinkel(s)
3 Die vier Eigenschaften
4 Das Zwei-Komponenten-System
4.1 Entwicklungs-Einleitung
4.2 Der Seitenkosinussatz
4.3 Der Betrag der Resultanten
4.4 Die Richtung der Resultanten
4.5 Zahlenbeispiele zur Resultanten im rechtwinkligen System
4.6 Die Umkehrfunktionen für das rechtwinklige System
4.7 Das Aussehen des Koordinatennetzes
4.8 Hinweis zum sphärischen Getriebe
5 Das Mehr-Komponenten-System
5.1 Hinweis bezüglich der Eigenschaften
5.2 Die erweiterte Hauptgleichung
5.3 Die zusätzliche Gleichung
5.4 Der Gewichtungsfaktor w
5.4.1 Vorbetrachtung
5.4.2 Der Teilfaktor k
5.4.3 Der Teilfaktor p
5.4.4 Der Gewichtungsfaktor w
5.5 Die allgemeine Richtung der Resultanten
5.6 Der allgemeine Betrag der Resultanten
6 Zusammenfassung
Autor
Verzeichnis der Abbildungen
Abb. 1: Definition der Winkelarten
Abb. 2: Die „Mercedesstern“- und „Scherenkreuz“-Konfiguration
Abb. 3: Graphische Ermittlung des Betrages und der Richtung der Resultanten
Abb. 4: Koordinatennetz in in der um 30° gekippten Seitenansicht und in der Draufsicht sowie 45°-Koordinatenlinien in der „frontalen“ Seitenansicht und in der Draufsicht
Abb. 5: Der Teilfaktor k bei diversen Kombinationen dreier Komponenten (Gleichung (5.3)
Abb. 6: Der Teilfaktor k bei diversen „vierten“ Komponenten (Gleichung (5.3))
Abb. 7: Der Teilfaktor k bei diversen „vierten“ Komponenten
(Gleichung (5.3z) mit dem Faktor 6 und der Potenz 16)
Abb. 8: Der Teilfaktor k bei diversen Kombinationen dreier Komponenten (Gleichung (5.4) mit n = 125)
Abb. 9: Der Teilfaktor k bei diversen Kombinationen mit ai = 45° und zwei weiteren Komponenten (Gleichung (5.4) mit n = 150)
Abb. 10: Die Beträge der Resultanten und der Faktor w in Abhängigkeit von den Komponenten (Gleichung (5.8); symmetrische Anordnung)
Abb. 11: Die Beträge der Resultanten und die Faktoren p und w in Abhängig- keit von den Komponenten (Gl. (5.8); asymmetrische Anordnung)
1 Einleitung
Schon vor längerer Zeit fand ich die spitzen und schmalen Dreiecke bei den üblichen Koordinatennetzen auf einer Kugeloberfläche (polares System) an den beiden Polen nicht besonders ästhetisch und angenehm. Wäre es da nicht möglich, eine Alternative zu entwickeln, die den recht- (oder auch schief-)winkligen kartesischen Koordinaten (zumindest in Polnähe, d. h., für zwei kleine Winkel) ähnlich ist? Dieses Zwei-Winkel-System lässt sich leicht finden.
Um diese Gesetzmäßigkeit auch bei (sehr) kleinen Winkeln (quasi ebenen Streckenlängen) und anderen in der Ebene angeordnete physikalischen Größen (z. B. Kräften, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen) anwenden zu können, wurde das Zwei-Komponenten-System für bis zu vier Komponenten erweitert. Trotzdem sollte auch die erweiterte Ausführung eine möglichst einfache Gestalt annehmen.
Von den zahlreichen diversen möglichen Alternativen von Gleichungen mit unterschiedlichen Winkelfunktionen (mit ganzen und halben Winkeln und diversen Potenzen) und deren Kombinationen wird der folgende Aufsatz noch eine relativ einfache Form darstellen können.
Schlüsselbegriffe: Komponente, Seitenwinkel, Richtungswinkel, Seitenkosinus- satz, Betrag der Resultanten, Richtung der Resultanten, Eigenschaften, Stern- konfiguration, (erweiterte) Hauptgleichung, zusätzliche Gleichung, Gewichtungs- faktor w, Teilfaktor k, Teilfaktor p
2 Definition der Seitenwinkel (Komponenten) und des bzw. der Richtungswinkel(s)
Soll ein schiefwinkliges System aus zwei oder mehreren Komponenten einer bestimmten physikalischen Größe, z. B. Winkel, Kräfte oder Geschwindigkeiten, betrachtet werden, so sind im ersten Beispiel zwei Winkelarten erforderlich.
Die Komponenten sind die „Seiten“-Winkel ai. Deren Schenkel treffen sich im Kugelmittelpunkt M. Diese Winkel selber beginnen am Koordinatenursprung 0, der auf der Kugeloberfläche liegt, und sind dort unter dem bzw. den (eigentlichen) „Richtungs“-Winkel(n) ßij angeordnet (Abb. 1).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb. 1 Definition der Winkelarten
Für kleine Winkel ai kann man sich das Koordinatensystem als (geometrische) Addition von Vektoren (in der Ebene), wie sie bei der Ermittlung der Resultanten (beliebig) gerichteter physikalischer Größen vorkommt, vorste]llen.
3 Die vier Eigenschaften
Die folgenden Eigenschaften sind zu beachten, um keine Wiedersprüche zu bereits bestehenden Gesetzmäßigkeiten zu erhalten:
Bei zwei Komponenten:
1. Sind ein Winkel ai gleich 180° (es lässt sich kein ßij angeben) und ein anderer Winkel aj beliebig groß (beide Winkel liegen auf einem Großkreis), so addieren sich beide Winkel, was in diesem Fall wegen der Periodizität auch einer Subtraktion entspricht.
Bei zwei bis vier Komponenten:
2. Wenn der bzw. die Richtungswinkel gleich 0°, 180° oder 0° und 180° ist bzw. sind (die Seitenwinkel sind gleich- oder/und entgegengerichtet), erhält man die Summe (bzw. Differenz) der Winkel.
3. Die dritte Eigenschaft ist die, dass für kleine ai das System in das ebene kartesische Koordinatensystem übergeht.
Bei drei und vier Komponenten:
4. Bei einer regulären „Stern“-Konfiguration hat die Resultante den Wert Null. Das ist der Fall, wenn entweder drei gleich große Komponenten unter jeweils 120° („Mercedesstern“-Konfiguration) oder wenn bei vier Komponenten diese jeweils paarweise in gleicher Größe gegenüber dem Koordinatenursprung („Scherenkreuz“-Konfiguration) angeordnet sind (Abb. 2).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb. 2: links: die „Mercedesstern“-Konfiguration; rechts: die „Scherenkreuz“-Konfiguration (beide zusammen: die „reguläre Stern-Konfiguration“)
4 Das Zwei-Komponenten-System
4.1 Entwicklungs-Einleitung
Bei einem beliebigen Richtungswinkel kann man in einem Koordinatensystem mit zwei Seitenwinkeln den Betrag und die Richtung der Resultanten s (sigma) dieser beiden Winkel direkt auf der Kugeloberfläche graphisch ermitteln (Abb. 3).
Verbindet man die Endpunkte der beiden Komponenten a1 und a2 mit einem Bogen auf einem Großkreis der Kugel und ermittelt dann die Mitte diese Bogens, so erhält man den halben Betrag und die Richtung der Resultanten s. Nach Verdop- pelung dieser Betragshälfte auf einem weiteren Großkreis, vom Koordinaten- ursprung ausgehend, hat man dann auch den Betrag von s. Zur rechnerischen Ermittlung des Betrages und der Richtung der Resultanten wird der Seitenkosinus- satz der Elliptischen Geometrie drei mal angewendet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb. 3 Graphische Ermittlung des Betrages und der Richtung der Resultanten
4.2 Der Seitenkosinussatz
Dieser Satz besagt, dass in einem sphärischen Dreieck der Kosinus eines der drei Seitenwinkel gleich dem Produkt der Kosinus der beiden anderen Seitenwinkel plus dem Produkt aus dem Kosinus des Winkels, der von den letzteren eingeschlossen wird, und den Sinus dieser beiden Winkel. In einer Gleichung sieht der Satz folgendermaßen aus:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Index k* ist den Indices i und j in obiger Gleichung ebenbürtig, ist aber nicht zu verwechseln mit dem Index k der Systematik der Indices beim später behandelten Mehr-Komponenten-System.
4.3 Der Betrag der Resultanten
Zunächst erhält man den Kosinus der halben Resultanten eines schiefwinkligen sphärischen Zwei-Komponenten-Systems. Das Quadrat desselben lautet:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
erhält man eine einfache Gleichung für den Kosinus der Resultanten s, in dessen Nenner der Zähler als Summand enthalten ist:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
4.4 Die Richtung der Resultanten
Aus dem Zähler von (4.2), den man auch in der Form
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
schreiben kann, erhält man die Richtung ß16 der Resultanten:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
4.5 Zahlenbeispiele zur Resultanten im rechtwinkligen System
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zum Vergleich in der Ebene würde eine algebraische Summe der Seitenwinkel mit dem dazugehörigen Richtungswinkel folgende Werte liefern:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
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