Der T-Test und der Chi²-Test. Eine deskriptive Analyse

Inhalt

1. Der T-Test
1.1 Unabhängige Stichproben
1.2. Abhängige Stichproben
1.3. Non-Parametrische Tests
1.4. SPSS

2. Chi²-Test
2.1. Voraussetzungen und Anwendungsgebiete

3. Deskriptive und inferenzstatistische Analyse
3.1. SPSS: Deskriptive Beschreibung
3.2. SPSS: Deskriptive Statistik
3.4. Hauptkomponentenanalyse
3.5. Fazit

Abbildungsverzeichnis

Literaturverzeichnis

1. Der T-Test

Beim T-Test werden 2 Gruppen auf ihren Mittelwert verglichen.¹ Eine Gruppe muss dabei eine nominalskalierte (unabhängige) Variable enthalten, die andere eine intervallskalierte (abhängige) Variable.² Die Differenz der Mittelwerte der zwei Gruppen, wird auf ihre Bedeutsamkeit (=Signifikanz) kontrolliert. Essenziell ist es, herauszufinden, ob die Differenz zwischen den Mittelwerten auf Zufall basiert oder nicht. Liegt die Wahrscheinlichkeit unter 5 Prozent, dass eine Abweichung der Mittelwerte auf Zufall basiert, ist die Signifikanz erfüllt.³

1.1 Unabhängige Stichproben

Der t-Test kann sowohl für unabhängige als auch abhängige Stichproben verwendet werden. Bei den unabhängigen Stichproben sind die nominalskalierten Variablen zwischen den Stufen unabhängig.⁴ Die Voraussetzungen des t-Tests für unabhängige Stichproben sind eine in etwa gleich große Stichprobe zweier Gruppen, die sich pro Gruppe aus mehr als 30 Personen zusammensetzt. Liegt mindestens einer dieser Voraussetzungen nicht vor (daher weniger als 30 Menschen oder ungleiche Stichproben), kommt es zur Prüfung der Normalverteilungsannahme und Varianzhomogenität. Können diese 2 bejaht werden, kann ein T-Test gemacht werden. Wird nur die Varianzhomogenität nicht erfüllt und die Normalverteilung schon, kommt ein „Welch-Test“ zur Anwendung. Liegt die Normalverteilung nicht vor, wird ein U-Test gemacht unabhängig, ob die Varianzhomogenität vorliegt oder nicht.⁵ Hier ein typisches Beispiel einer Normalverteilung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Normalverteilung

Quelle: https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/normalverteilung-39769

Es gibt 2 Hypothesen (H1), die in Bezug auf den T-Test wichtig sind, nämlich die Nullhypothese (H0) und die Alternativhypothese.⁶

Bei der Nullhypothese wird angenommen, dass kein bedeutender Unterschied zwischen den zwei Mittwerten der beiden kontrollierten Gruppen besteht und wenn es einen Unterschied gibt, dieser aufgrund eines Zufalls entstanden ist. (H0 = μA = μ B­)⁷

Bei der Alternativhypothese wird davon ausgegangen, dass eine Abweichung zwischen den Mittelwerten besteht und nicht aufgrund eines Zufalls entstanden ist. Unterschieden werden kann eine beidseitig/ungerichtete (H1 = μA ≠ μB) und eine gerichtet/einseitige (H1 = μA > μB) Hypothese.⁸

Zuerst wird immer die „Nullhypothese“ geprüft und sollte diese nicht eintreffen, wird die Alternativhypothese angenommen.⁹ Werden die unabhängigen Stichproben eines t-Test geprüft, muss eruiert werden, ob gleiche oder ungleiche Varianzen vorliegen. In diesem Fall bedarf es den F-Test (F = t[2])¹⁰, bei dem es wieder zwei Hypothesen gibt.¹¹

Bei gleichen Varianzen: Bei ungleichen Varianzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Hypothese ungleiche Varianzen

Quelle: Budischewski, Ornau, 2021

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Hypothese gleiche Varianz

Quelle: Budischewski, Ornau, 2021

Ist der empirische F-Wert kleiner als der kritische F-Wert, kommt es zur Prüfung der Nullhypothese und es wird eine unabhängige Stichprobe mit gleichen Varianzen gemacht. Die Signifikanz kann in diesem Fall verneint werden. Ist der empirische F-Wert größer als der kritische Wert (bei Test für homogene Varianzen), ist der Punkt der Signifikanz erfüllt. Beachtung der Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% wichtig. Liegt hier ein signifikanter F-Test vor, muss anschließend ein U-Test vorgenommen werden.¹²

Mithilfe der Statistical Package für Social Sciences (kurz SPSS) Software, lässt sich die Varianzhomogenität auf Grundlage des Levene-Tests eruieren. Der Levene-Test wurde nach seinem Gründer Howard Levene benannt.¹³

Die Berechnung des empirischen t-Werts, erfolgt mit folgender Formel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Formel bei unabhängiger Stichprobe

Quelle: Budischewski, Ornau

1.1.2. Beispiel für t-Test mit unabhängigen Stichproben

Es werden zwei unterschiedliche Gruppen gebildet. Eine Gruppe umfasst 45 Personen, beide Gruppen daher gesamt 90 Personen. Jeder Teilnehmer leidet unter einer Klaustrophobie. Die Personen in der Experimentalgruppe werden ein Monat lang, jeden Tag für 15 Minuten in einen engen Raum gesperrt, damit Sie ihre Angst direkt konfrontieren können. Die anderen 45 Personen dienen als Kontrollgruppe und dürfen an diesem Prozedere nicht teilnehmen. Nach dem Monat sollen anschließend alle Teilnehmer (90 Personen) per Fragebogen befragt werden, ob sich an ihrer Klaustrophobie etwas verändert hat. Es soll daher geprüft werden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Einsperrung sich positiv auf die Angst ausgewirkt hat.

Nullhypothese: Die beiden Gruppen zeigen in Bezug auf den Mittelwert keinen signifikanten Unterschied und daher hat die Einsperrung keinerlei Wirkung erzielt.

Ungerichtete Hypothese: In Bezug auf die Mittelwerte existiert ein bedeutsamer Unterschied. Die Einsperrung hatte eine Wirkung erzielt, ob diese positiv oder negativ ist, bleibt fraglich.

Gerichtete Hypothese: Die Angst der eingesperrten Experimentalgruppe ließ nach, daher existiert eine signifikante Verbindung zwischen einer positiven Auswirkung des Angstverlaufes und der Einsperrung.

1.2. Abhängige Stichproben

Bei den abhängigen Stichproben sind die nominalskalierten Variablen zwischen den Stufen voneinander abhängig.¹⁴ Im Gegensatz zu unabhängigen Stichproben braucht es dringend 2 exakt große Gruppen. Die Messungen erfolgen in der Regel in Paaren und werden vorher und nachher gemacht. Die Beachtung der Varianzgleichheit spielt dabei keine Rolle.¹⁵

Der empirische t-Wert der abhängigen Stichprobe wird mit folgender Formel berechnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Formel temp

Quelle: Budischewski, Ornau

1.2.1. Beispiel für t-Test mit abhängigen Stichproben

90 Personen mit dem Angstsyndrom Klaustrophobie bekommen einen Fragebogen, bei dem sie über ihre Symptome befragt werden. Diese 90 Personen werden anschließend jeden Tag, einen Monat lang, täglich 15 Minuten in einen engen Raum gesperrt, um sich ihrer Angst stellen zu können. Nach diesen 90 Tagen müssen sie erneut denselben Fragebogen ausfüllen, den sie vor den 90 Tagen ausgefüllt haben, um eruieren zu können, ob sich die Symptome verändert haben.

Nullhypothese: Die Nullhypothese besagt, dass es keinen bedeutenden Unterschied zwischen den Mittelwerten gibt, die aufgrund der Befragungen vor und nach dem Monat in Hinblick auf Symptomveränderungen berechnet wurden.

Ungerichtete Hypothese: Ein bedeutender Unterschied zwischen den Mittelwerten vor und nach dem Monat existiert. Die Symptome haben sich verändert und eine Auswirkung ist messbar, fraglich bleibt, ob diese positiv oder negativ sind.

Gerichtete Hypothese: Ein bedeutender Unterschied zwischen den Mittelwerten vor und nach dem Monat existiert. Die Symptome haben sich gebessert und somit hat diese Methode eine positive Auswirkung erzielt.

1.3. Non-Parametrische Tests

Bei non-parametrischen Tests ist die Normalverteilung nicht von Bedeutung, daher spielt es keine Rolle wie die Daten verteilt sind. Dies ist der Fall, weil die Ränge der Daten wichtiger sind als die Messwerte. In der Regel werden diese bei ordinalen Daten eingesetzt. Für non-parametrische Tests mit unabhängigen Stichproben kann der Mann-Whitney-U-Test oder der Wilcoxon-Test angewendet werden. Für abhängige Stichproben nur der Wilcoxon-Test.¹⁶

1.4. SPSS

Von der Universität (Hochschule Riedlingen) wurde dem Autor ein Datensatz zur Verfügung gestellt. Anhand dieser Daten kann eruiert werden, welche Differenzen es zum Thema „Nervosität“ zwischen Männern und Frauen gibt. Es handelt sich dabei um 2 voneinander unabhängige Stichproben (Männer und Frauen). Die Zufälligkeit der Datenerhebung und die Normalverteilung (kann durch die untere Darstellung dargelegt werden) liegen vor.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: Normalverteilung SPSS

Quelle: IBM SPSS (Datensatz: EPS_1.sav der Fernhochschule Riedlingen)

Um diese Darstellung zu erhalten, sind folgende Schritte auf SPSS zu tätigen:

...

¹ Vgl. Leonhart 2014a, S. 63.

² Vgl. Kuhlmei 2018, S. 136.

³ Vgl. Universität Köln 2001, S. 63–64.

⁴ Vgl. Kuhlmei 2018, S. 136.

⁵ Vgl. Kuhlmei 2018, S. 151.

⁶ Vgl. Leonhart 2014a, S. 63.

⁷ Vgl. Universität Köln 2001.

⁸ Vgl. Universität Köln.

⁹ Vgl. Universität Köln 2001, S. 63–64.

¹⁰ Vgl. Rey 2014.

¹¹ Vgl. Budischewski und Ornau 2021, S. 62.

¹² Vgl. Budischewski und Ornau 2021.

¹³ Vgl. Leonhart 2014a.

¹⁴ Vgl. Kuhlmei 2018, S. 136.

¹⁵ Vgl. Assen 2019, S. 95.

¹⁶ Vgl. Keller.