Die hier zugrundeliegende Arbeit verfolgt das Ziel, das Aufheizen eines Werkstücks in einem Glühofen zu simulieren. Als Basis für die Simulation dient das Buch „Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme“ von Scherf. Auf eine eigene Herleitung wird innerhalb dieser Arbeit ausdrücklich verzichtet, stattdessen wird die Herleitung von Scherf im fortfolgenden übernommen. Ferner gilt es die Differenzialgleichung aufzustellen und das darauf referenzierende Blockschaltbild in der Modellierungssoftware MATLAB-Simulink abzubilden. Weiterhin werden unter zur Hilfenahme des Blockschaltbildes zwei der sechs fest definierten Parameterwerte innerhalb realistischer Wertebereiche variiert und dazugehörige Simulationen durchgeführt. Ziel hierbei ist die Temperaturveränderung im Werkstück über die Zeit zu untersuchen. Die Ergebnisse gilt es anschließend grafisch darzustellen und kritisch zu hinterfragen.
Das Assignment beginnt mit einem allgemeinem Teil, in dem die Grundbegriffe Thermodynamik und Thermodynamische Systeme definiert werden. Dieses Kapitel dient zur Schaffung eines Grundverständnis für die nachfolgende Thematik. Anschließend folgt das Aufstellen der Differenzialgleichung und deren Blockschaltbild. Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit der eigentlichen Simulation gemäß der Ausgangssituation und Themenstellung. Abschließend werden die Simulationen kritisch hinterfragt und deren Ergebnisse erläutert.
I. Inhaltsverzeichnis
I. Inhaltsverzeichnis
II Abbildungsverzeichnis
III Abkürzungsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlagen: Thermodynamik und Thermodynamische Systeme
2.1 Grundlagen Thermodynamik
2.2 Grundlagen Thermodynamische Systeme
2.2.1 Offenes System
2.2.2. Geschlossenes System
2.2.3 Isolierte Systeme
2.3 Thermodynamische Gleichgewicht
3 Aufstellen der Differenzengleichung und Simulation am Beispiel Aufheizen eines Werkstücks im Glühofen
3.1 Ausgangssituation
3.2 Herleitung der Differenzialgleichung
3.3 Blockschaltbild des Aufheizvorgangs im Glühofen
3.4 Simulation der Werstücktemperatur
3.4.1 Veränderung der Werkstückoberfläche und grafische Darstellung derer Auswirkungen
3.4.2 Variation der spezifischen Wärmekapazität
4 Schlussfolgerungen
IV. Literaturverzeichnis
V Anhang
II Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Aufheien eines Werkstücks im Glühofen
Abbildung 2: Blockschaltbild in MATLAB Simulink des Aufheizvorgangs (vgl. Scherf 2010, S.87)
Abbildung 3: Werstücktemperatur als Funktion der Zeit (vgl. Scherf 2010, S.87)
Abbildung 4 Werkstücktemperatur über der Zeit von A2 (eigene Darstellung)
Abbildung 5: Werkstücktemperaturverlauf
Abbildung 6: Werkstücktemperaturverlauf über die Zeit
Abbildung 7: Werkstücktemperaturverlauf über die Zeit
Abbildung 8: Werkstücktemperaturverlauf über die Zeit
Abbildung 9: Werkstücktemperaturverlauf über die Zeit
III Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1 Einleitung
Die Gesamtheit der Physik lässt sich in diverse Teilgebiete untergliedern. Als Hauptthemengebiete zählen zum Beispiel: Mechanik, Elektronik und Thermodynamik. In allen Themengebieten der Physik ist die Simulation ein fester Bestandteil geworden. Sie dient zur Analyse- und für Entwicklungsvorgängen. Bevor ein System jedoch simuliert werden kann, muss es in eine Differenzialgleichung oder in ein Differenzialgleichungssystem abgebildet werden. Dieser Abbildungsprozess verlangt gute Kenntnisse der physikalischen Vorgänge und nicht zuletzt eine gewisse Erfahrung, die einem sagt, wo man Vernachlässigungen oder Vereinfachungen machen kann, ohne zu große Modellierungsfehler zu begehen1. Die Realität abzubilden ist in Ihrer Gesamtheit zu Komplex. So werden speziell für den zu betrachtenden Fall Modelle, also Vereinfachungen, gebildet, welche dann im Nachgang simuliert werden.
Die hier zugrundeliegende Arbeit verfolgt das Ziel, das Aufheizen eines Werkstücks in einem Glühofen zu simulieren. Als Basis für die Simulation dient das Buch „Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme“ von Scherf. Auf eine eigene Herleitung wird innerhalb dieser Arbeit ausdrücklich verzichtet, stattdessen wird die Herleitung von Scherf im fortfolgenden übernommen. Ferner gilt es die Differenzialgleichung aufzustellen und das darauf referenzierende Blockschaltbild in der Modellierungssoftware MATLAB-Simulink abzubilden. Weiterhin werden unter zur Hilfenahme des Blockschaltbildes zwei der sechs fest definierten Parameterwerte innerhalb realistischer Wertebereiche variiert und dazugehörige Simulationen durchgeführt. Ziel hierbei ist die Temperaturveränderung im Werkstück über die Zeit zu untersuchen. Die Ergebnisse gilt es anschließend grafisch darzustellen und kritisch zu hinterfragen.
Das Assignment beginnt mit einem allgemeinem Teil, in dem die Grundbegriffe Thermodynamik und Thermodynamische Systeme definiert werden. Dieses Kapitel dient zur Schaffung eines Grundverständnis für die nachfolgende Thematik. Anschließend folgt das Aufstellen der Differenzialgleichung und deren Blockschaltbild. Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit der eigentlichen Simulation gemäß der Ausgangssituation und Themenstellung. Abschließend werden die Simulationen kritisch hinterfragt und deren Ergebnisse erläutert.
2 Grundlagen: Thermodynamik und Thermodynamische Systeme
Das Kapitel 2 beschäftigt sich mit den Begriffen Thermodynamik und Thermodynamischen Systemen und dient somit zur Schaffung eines Grundverständnisses in Bezug auf die fortführende Arbeit.
2.1 Grundlagen Thermodynamik
Die Thermodynamik ist ein Teilgebiet der sogenannten physikalischen Chemie. Ihre Wurzeln liegen vor allem im 18. und 19. Jahrhundert bei den Wissenschaftlern, die sich mit Gleichgewichtszuständen befassten. Daraus entstand die sogenannte klassische Thermodynamik, welche umgangssprachlich auch als Wärmelehre bekannt ist.2
Somit beschäftig sich die Thermodynamik vordergründig mit den verschiedenen Erscheinungsformen der Energie, deren Umwandlung und den Eigenschaften der Materie. Bedingt durch die Tatsache, dass es kaum einen physikalischen Vorgang ohne Energieumwandlung gibt, ist die Thermodynamik einer der Hauptzweige in den Naturwissenschaften.3
Dieser Hauptzweig beschreibt die Zustände zwischen Systemen in Bezug auf Temperatur-, Druck- und Volumenänderung und die Zusammenhänge zwischen diesen drei Variablen. Man ändert eine oder mehrere dieser Variablen und beobachtet, wie das System reagiert. Durch Auswertung dieser Betrachtung kann man sogenannte Zustandsgleichungen aufstellen, welche die gefundenen Zusammenhänge zwischen den Variablen beschreiben. Weiterhin beschäftigt sich die Thermodynamik mit der Umwandlung von Wärme in andere Energieformen, als auch mit dem umgekehrten Vorgang.4
Das Fundament der Thermodynamik bilden die ersten beiden Hauptsätze der Thermodynamik. Der erste Hauptsatz - auch Energieerhaltungssatz genannt - besagt, dass Energie weder erzeugt noch vernichtet werden kann. Energie ist lediglich wandelbar in ihren verschiedenen Erscheinungsformen. Der zweite Hauptsatz beschreibt die Grenzen der Energiewandlung und definiert, welche Wandlungsprozesse möglich sind und welche nicht.5
2.2 Grundlagen Thermodynamische Systeme
Ein Sysem aus Sicht der Thermodynamik ist ein abgetrennter Bereich der durch Größen wie Temperatur, Druck, Volumen, Teilchenzahl und Geschwindigkeit dieser Teilchen gekennzeichnet wird. Der Fokus hierbei liegt also auf den Zusammenhängen zwischen diesen physikalischen Größen in einem bestimmten Bereich. Grundlegend unterscheidet man zwischen einem offenen System, einem geschlossenen System und einem isolierten System6.
2.2.1 Offenes System
Ein offenes System ist charakterisiert durch eine Verbindung zu seiner Umgebung. So können Stoffe zum Beispiel Materie oder Energie mit der Umgebung ausgetauscht werden. Beispielhaft hierfür ist ein Reagenzglas mit Flüssigkeit. Hierbei kann zum einen die Flüssigkeit aus dem Reagenzglas austreten oder auch Luft aus der Umgebung in das Reagenzglas hinein gelangen7.
2.2.2. Geschlossenes System
Im Gegensatz zu einem offenen System kann bei einem geschlossenen System keine Materie, beziehungsweise kein Stoff aus dem System austreten oder hineingelangen. Anders verhält es sich jedoch mit der Energie bei geschlossenen Systemen. Diese kann nach wie vor aus oder in das System gelangen. Beispielhaft hierfür wäre ein Reagenzglas, welches luftdicht verschlossen wird. Dabei handelt es sich um ein geschlossenes System, da weder eine Materie austreten, noch von außen in das Reagenzglas gelangen kann.8
2.2.3 Isolierte Systeme
Von Isolierten Systemen spricht man dann, wenn weder Materie noch Energie in das System reingehen oder rausgehen kann.9
2.3 Thermodynamische Gleichgewicht
Ein besonders wichtiges Konzept ist das thermodynamische Gleichgewicht. Wenn zwei Objekte in thermischen Kontakt gebracht werden, fließt im Allgemeinen Wärme zwischen ihnen, bis sie miteinander ins Gleichgewicht kommen. Liegt somit eine Temperaturdifferenz vor, so fließt Wärme vom wärmeren zum kälteren System. Die Wärmeübertragung erfolgt durch Wärmeleitung oder durch Wärmestrahlung. Hört der Wärmestrom auf, so befinden sich beide im Gleichgewicht und verfügen über die gleiche Temperatur.10
3 Aufstellen der Differenzengleichung und Simulation am Beispiel Aufheizen eines Werkstücks im Glühofen
In dem nachfolgenden Abschnitt wird die Differenzialgleichung aufgestellt und das Blockschaltbild und somit das Modell für die folgende Simulation ausgearbeitet. Im fortfolgenden wird die Simulation durchgeführt. Hierfür werden vier Wertkombinationen mit variierten Parametern herangezogen.
3.1 Ausgangssituation
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1: Aufheien eines Werkstücks im Glühofen
Abbildung 1 zeigt einen gasbeheizten Glühofen, der durch eine Regelung auf einer konstanten Temperatur ôg gehalten wird. Zur Zeit t = 0 wird ein Werkstück mi der Masse m und der Anfangstemperatur dw,0 in den Ofen hineingelegt. Das Materia des Werkstücks hat die spezifische Wärmekapazität c. Diese beschreibt, wie viel Energie pro Kilogramm Masse benötigt wird, um das Werkstück um 1°C zu erwärmen. Die Werkstückoberfläche wird mit A beschrieben und der Wärmeüberangskoeffizient ist a. Der Wärmeübergangskoeffizient beschreibt, wie viel Leistung pro Quad ratm eter der Oberfläche dem Werkstück zugeführt wird, abhängig von der Temperaurdifferenz zwischen Werkstück und Umgebung. Das Werkstück soll eine homogene Temperaturverteilung haben und die Wärme soll ausschließlich durch Wärmeübertragung erfolgen.11
3.2 Herleitung der Differenzialgleichung
Grundlage für das Aufstellen der Differenzialgleichung ist die Festlegung eines Kontrollraums um das Werkstück und eine Leistungsbilanz (1.1) hierfür.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Leistungsbilanz (1.1) lautet in gesprochener Sprache: Die zeitliche Änderung des thermischen Energieinhaltes des Werkstücks resultiert aus der Differenz zwischen a dt der zugeführten Leistung Pzu und der abgeführten Leistung Pab.12
Pzu ist die Wärmeleistung, welche auf das Werkstück übertragen wird. Diese ist proportional zum treibenden Temperaturgefälle, welches sich aus úG - -9W, also dem Temperaturgefälle zwischen Ofen und Werkstück, ergibt. Der hieraus resultierende Proportionalitätsfaktor ist das Produkt aus dem Wärmeübergangskoeffizient a und der wärmetauschenden Oberfläche A.13
(1.2) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Unter der Vernachlässigung des Strahlungsaustauschs ist die abgeführte Wärmeleistung gleich null. Der thermische Energieinhalt Eth von dem Werkstück verhält sich proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Werkstücktemperatur und einer frei wählbaren Bezugstemperatur ú0.14
(1.3) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Proportionalitätsfaktor ist das Produkt aus spezifischer Wärmekapazität c und der Masse m. Leitet man Gleichung (1.3) nach der Zeit ab und setzt diese Ableitung anschließend zusammen mit der Gleichung (1.2) in (1.1) ein, so erhält man folgende Gleichung:
(14) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bedingt durch die übertragene Wärmeleistung kommt es zu einer Temperaturerhöhung im Werkstück. Um dies zu verdeutlichen, wird im Folgenden die Gleichung (1.4) nach úG umgestellt. Daraus resultierend ergibt sich die inhomogene Differenzialgleichung erster Ordnung, welche wie folgt lautet:15
(1.5) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Inhomogenität, sprich die Systemanregung, ist somit die konstante Glühofentemperatur úG. Die Zeitkonstante T ist durch den Ausdruck definiert.16 Ferner beschreibt dies die nachfolgende Formel:
(1.6) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Mit der Gleichung 1.6 lässt sich die thermische Trägheit des Systems beschreiben. Ist demnach der Wärmeübergangskoeffizient a und die wärmetauschende Fläche A groß oder die spezifische Wärmekapazität c und die Masse m klein, so hat das System eine kleine Zeitkonstante T. In dem umgekehrten Fall entstehet eine große Zeitkonstante T.17
Differenzialgleichung (1.5) beschreibt die stationäre Werkstücktemperatur. Hieraus folgt, dass die zeitliche Änderung der stationären Größen, mathematisch gleichbedeutend mit der Ableitung, gleich null ist (ßw = 0) und die Werkstücktemperatur gleich der Ofentemperatur ist (ßw = t9g).18
3.3 Blockschaltbild des Aufheizvorgangs im Glühofen
Als Grundlage des Blockschaltbilds wird die Gleichung (1.5) herangezogen. Diese wird zur Aufstellung des Blockschaltbilds nach -dw umgestellt. Hieraus folgt die Gleichung 1.7.
(1.7) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2: Blockschaltbild in MATLAB Simulink des Aufheizvorgangs (vgl. Scherf 2010, S.87)
Durch den Einsatz der Summationsstelle nach dem Integrator wird die Werkstücktemperatur von der Glühofentemperatur abgezogen. Die hieraus resultierende Differenz wird nach der Gleichung (1.7.) mit dem Gain-Block multipliziert. Die Ableitung der Werkstücktemperatur thetaW‘, folgt als Ergebnis, das durch den Integrator-Block zur Werkstücktemperatur thetaW integriert wird. Die Anfangsbedingung des Integrierers wird auf 20 °C gesetzt, demnach ist dies der Temperaturbeginn.
[...]
1 Vgl. Scherf, H. (2010), S.5.
2 Vgl. Yvonne Kristen (2021)
3 Vgl. Stephan/Schaber/Stephan/Mayinger (2013), S.1.
4 Vgl. Yvonne Kristen (2021)
5 Vgl. Geller, W. (2015), S.1
6 Vgl. Dennis Rudolph (2017)
7 Vgl. Dennis Rudolph (2017)
8 Vgl. Dennis Rudolph (2017)
9 Vgl. Dennis Rudolph (2017)
10 Vgl. Nick Connor (2019)
11 Vgl. Scherf, H. (2010), S. 85
12 Vgl. Scherf, H. (2010), S. 86.
13 Vgl. Scherf, H. (2010), S. 86
14 Vgl. Scherf, H. (2010), S. 86
15 Vgl. Scherf, H. (2010), S. 86.
16 Vgl. Scherf, H. (2010), S. 86.
17 Vgl. Scherf, H. (2010), S. 86
18 Vgl. Scherf, H. (2010), S. 86.
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