Integralrechnung mit Computeralgebra-Systemen

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung
1.1 Motivation

2 Computeralgebra-Systeme
2.1 Uherhlick fiber den Markt von CAS.
2.1.1 CAS am Computer
2.1.2 CAS am Taschenrechner

3 Methoden fur die Einfuhrung in die Integralrechnung
3.1 Unterrichtsziele der Integralrechnung
3.2 Whitebox/Blackbox-Prinzip und Modul-Prinzip
3.3 Einfuhrung in die Integralrechnung
3.3.1 Zeit-Geschwindigkeit-Weg
3.3.2 Grofie einer Wiese
3.3.3 Drei Wege zum Integral
3.3.4 Vom Tropfenzahlen zum Fundamentalsatz
3.3.5 Elektrische Energie
3.4 Allgemeine CAS
3.5 Leistungsfeststellung

4 CAS in der Integralrechnung an osterreichischen Schulen
4.1 Befragung von Lehrer A
4.2 Befragung von Lehrer B
4.3 Befragung von Lehrer C
4.4 Befragung von Lehrer D
4.5 Befragung von Lehrer E
4.6 Befragung von Lehrer F
4.7 Befragung von Lehrer G
4.8 Befragung von Lehrer H
4.9 Befragung von Lehrer I

5 Vergleich der Erhebungen miteinander
5.1 Allgemeine Fragen
5.2 Fragen zur Integralrechnung
5.2.1 Einfuhrung des Integralbegriffs
5.2.2 Integration per Hand
5.2.3 Anwendungen des Integrals
5.2.4 Methodische Unterschiede
5.2.5 Vorteile bei der Verwendung von CAS
5.2.6 Nachteile/Schwierigkeiten bei der Verwendung von CAS
5.3 Fragen zur Leistungsfeststellung

6 Vergleich der didaktischen Moglichkeiten mit dem tatsachlichen Einsatz

7 Zusammenfassung

1 Einfiihrung

Wire! in die Internetsuchmaschine “Google* der Begriff “Computeralgebrasystem* einge- geben, so liefert diese Suchmaschine 191.000 Treffer, beim Suchbegriff ,,CAS" werden 208.000.000 Treffer angezeigt¹ und der englische Begriff' ,,computeralgebrasystems“ lie­fert 84.300 Treffer (Stand: 23. Marz 2008). Diese groEe Anzahl an Ergebnissen zeigt u.a., welche groEe Bedeutung Computeralgebra-Systeme (kurz CAS) heutzutage haben.

Die Bedeutung von CAS nimmt auch in den Schulen zu. Immer mehr Wert wird auf den Einsatz von CAS gelegt. Dies ist durch die Vorgaben ini Lehrplan, dass ini Mathematikun- terricht verschiedene Arten von Taschenrechnern bzw. Computerprogrammen eingesetzt werden sollen, ersichtlich.

In [BMUK, 2004a], S. 3 findet sich unter den didaktischen Grundsatzen beim Unter- punkt ,,Lernen mit technologischer Unterstiizung* folgende Aussage:

,,MoihemoMsche Technologies me Computeralgebra-Systeme, dynomische Geornetrie- Software oder Tabellenkalkulatiomprogramme sind irn heutigen MothemoMkunterricht un- verziehtbar.u

Durch den vermehrten Einsatz von CAS irn Mathematikunterricht tritt, bis zu einern gewissen Grad, der handische Kalkulaspekt der Mathematik in den Hintergrund. Die Aspekte des Modellierens und Interpretierens treten somit zunehmend in den Vorder- grund. Jochen LeEmann schreibt dazu in [LeEmann, 1998], S. 171: jv/ird kunftig mehr Gemeht auf der Kenntrm der Methode bzw. des Losungmveges /... /, o,ls auf der Sicherheit in der rechnerischen Bearbeitung bzw. der SyniboIrno,nipulotion liegen.u

Somit kbnnen die drei Phasen, welche in [Kutzler und Kokol-Voljc, 2003] genannt wer­den und fur das Erlernen und Erforschen der Mathematik bedeutsam sind, in der Schule (effizient) umgesetzt werden. Folgende drei Phasen sind gemeint: induktive Phase (Finden von Wissen durch Experimentieren)

1.1 Motivation

Mein Zugang zu diesem Thema iiegt in meinem Interesse an neuen Medien und Metho- den, welche im (Mathematik-)Unterricht eingesetzt werden konnen, aher auch in meiner Facherkombination fur das Lehramtstudium (Mathematik und Informatik und Informa- tikmanagement).

Mit meiner Arbeit mb elite ich einerseits Methoden (vgl Kapitel 3 auf S. 14) vorstellen, welche im Rahmen der Einfuhrung des Integralbegriffs mit CAS verwendet werden konnen, anderseits mochte ich mit einer empirischen Erhebung (vgl. Kapitel 4 auf S. 47) feststellen, wie der Einsatz von CAS in der Integralrechnung in den Schulen konkret aussieht. Mit diesen Erhebungen werde ich im Anschluss einen Vergleich der Erhebungen miteinander (vgl Kapitel 5 auf S. 78) und mit den moglichen Methoden aus Kapitel 3 anstellen (vgl Kapitel 6 auf S. 90). Zuvor gebe ich einen kurzen Uberblick (vgl Kapitel 2 auf S. 5) fiber gangige CAS, welche in den Schulen Einsatz fmdeii.

In meiner Arbeit ist mir wichtig hervorzuheben, dass durch den sinnvollen Einsatz von CAS in der Integralrechnung keineswegs eine ,.Vereinfachunga des Mathematikunterrichts erfolgt. Unter keinen Umstanden sollte Mathematikunterricht gleichgesetzt werden mit dem Drficken von Knbpfen und Tasten am Computer bzw. am Taschenrechner. Um dies zu gewahrleisten ist es notwendig, dass der Mathematikunterricht dementsprechend um- gestaltet wird. Wenn im Mathematikunterricht beim Einsatz eines CAS nur der Rechen- apsekt (,,handischesa Durchfuhren von Algorithmen) im Vordergrund steht, dann wird das CAS nicht sinnvoll eingesetzt. Dazu meint Klaus Aspetsberger in [Aspetsberger, 2005], S. 189:

,, Wird in einern herkormnlichm Unterricht dem Erlernen und Anwenden von Integrati- onsregeln dos Haupio.ugenmerk geschenkt, kann nun dem Prozess der Begriffsbildung und dem Vorgang des Modellierens d.h. dem Auffinden des Integra,nden bed konkreten Anwen- dungen der Vorzug gegeben werden A

Welters findet man in [Aspetsberger, 2005], S. 269:

„Dies wird zu drier Verschiebung von opera,tiven, handwerklichen Fahigkeiten /.../ hin zu argumentatwen, interpreta,tiven Tatigkeiten fuhren

Somit 1st es erforderlich, dass im Hah men der Integralrechnung (tew. auch in anderen Stoffgebieten in denen CAS eingesetzt werden) der Rechenaspekt, welcher bisher domi- nierend im Mathematikunterricht war, sehr stark in den Hintergrund riickt. Um dies zu gewahrleisten muss sich auch die Art der gestellten Aufgaben andern. Demi die Berech- nung von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1st mit einem CAS per Knopfdruck zu losen. Und es kann keineswegs das Ziei sein, dass Mathematikunterricht alleine die Bedienung des CAS ist. Die Beispieie und Aufgaben welche im Mathematikunterricht durchgemacht werden mussen sich in der Weise andern, dass die Schuierinnen und Schuler² die Integralrechnung als Methode zur Losung eines Problems sehen. Hierbei mochte ich noch anmerken, dass die Integralrechnung sehr haufig nur bzw. in einem Grofiteil der Beispieie fur die Berechnung der Flache unter einer vorge- gebenen Kurve verwendet wird. Die Aufgaben sollten jedoch Probleme aus verschiedenen inner- und aufiermathematischeiC Bereichen umfassen.

Um die Integralrechnung zur Losung eines Problems heranzuziehen bedarf es Aufgaben- stellungen, welche von den Schulern sehr stark Modellierungsaspekte und Interpretations- aspekte abverlangen. Der Rechenaspekt, wie bereits oben erwahnt, soli in den Hintergrund rucken und wird vom CAS ubernommen.

Durch die sinnvoile Verwendung von CAS im Mathematikunterricht konnen, insbeson- dere in der Einfuhrungsphase der Integralrechnung, wichtige Aspekte durch die Schuler selbst gewonnen werden.

Hierbei ist vor allem die Phase des Experimentierens hervorzuheben, welche sehr stark bei der Einfuhrung des Integralbegriffs verwendet werden kann/soil. Diese Phase wird durch die graphischen Funktionen des CAS⁴ in der Weise unterstiitzt, dass die Schuler sehen was sie berechnen sollen. Sie haben dadurch eine Veranschauiichung vor ihren Au- gen, welche sich bei Anderung der Eingaben in das CAS (neue Integrationsgrenzen, etc.)

2 Computeralgebra-Systeme

Der Einsatz von CAS an den Schulen begann in Osterreich, im Vergieich zu anderen Landern, bereits ziemiich frtih. Dazu findet sich in [Heugl et ab, 1996], S. 234:

,,Ersie Schulerexperimente rnit CAS mo,elite ab 1984 Klaus Aspetsberger in Zusammen- arbeit rnit dern RISC¹ -Institut der Ureiver midi Linz miter der Leiiung von Professor Buch- bergerA

In den fruhen 1990er-Jahren wurde fur aile Gymnasien in Osterreich eine Generallizenz fur das CAS „Derivea angeschafft. (vgl [Bohm et ab, 2004], S. 19 sowie [Heugl et ab, 1996], S. 234).

Um eine Ubersicht iiber die gangisten CAS in den Schulen zu haben und urn die, im weiteren Verlauf meiner Arbeit, auftretenden Begriffen einordnen zu konnen, werde ich rnit einer Zusammenstellung von CAS beginnen.

2.1 Uberblick Liber den Markt von CAS

Ich unterscheide bei CAS zwischen Systernen, welche am Computer und welche am Ta- schenrechner zurn Einsatz kornmen. Der nun folgende Uberblick stellt keine vollzahlige Auflistung aller am Markt verfugbaren CAS dar, sondern enthalt jene CAS, die am be- kanntesten sind und am haufigsten Verwendung in der Schule finden. Eine vollstiindige Auflistung ware an dieser Stelle auBerdern nicht sinnvoll, da das Angebot an CAS sehr urnfangreich ist und sornit den Rahmen meiner Arbeit sprengen wiirde.

Die folgenden CAS habe ich danach ausgewahlt, wie oft sie in diversen Literaturquellen (siehe Literaturverzeichnis auf S. 94) zurn Einsatz von CAS an Schulen erwahnt worden sind.

2.1.1 CAS am Computer

Vor- und Nachteile

Bei der Verwendung von CAS fur den Computer liegt meiner Ansicht nach ein Vorteil darin, dass ohne zusatzlichen Aufwand Ergebnisse (Ausdriicke, Texte und Graphiken) in Papierform gebracht werden konnen. Somit sind die Schuler in der Lage eine Aufgabe vollstandig am Computer losen (inkl. aller Ansatze, Modelle und Interpretationen). Zum Problem der Dokumentation komme ich etwas weiter unten.

Ein wesentlicher Nachteil von CAS am Computer liegt in der Verfiigbarkeit einer dementsprechend groEen Anzahl von Computern in den Schulen. Die Computerraume in den Schulen bieten nicht jedem Schuler einer Mathematikklasse einen eigenen Compu­ter. Daher ist oftmals nur das Zusammenarbeiten von zwei Schulern auf einem Computer moglich. AuEerdem sind die Computerraume in den Vormittagsstunden meistens durch Facher wie Informatik, Textverarbeitung, etc. belegt.

Dokumentation

Das Problem der Dokumentation betrifft nicht nur die CAS am Computer, sondern auch die CAS am Taschenrechner. Fur die Lehrer mussen die Schritte, welche ein Schuler be­lt otigt hat, um zu seinem Ergebnis zu kommen nachvollziehbar sein. Einerseits mussen die Eingaben, welche am CAS gemacht werden dokumentiert werden, andererseits mussen auch die Gedankengange der Schuler dokumentiert werden. Es ist somit erkennbar, dass der Vorgang des Dokumentierens ein wichtiger Bestandteil der Arbeit mit CAS in der Schule darstellt.

In [Kutzler und Kokol-Voljc, 2003], S. 36 ist zu lesen:

,,Dos Ergebnis⁸ verhert on Bedeutung, we/d es einfach zu erhalten ist Eine Dokumen­tation, wie do,s Problem angegangen wurde, ist mehr ols nur ein guter Ersatz: Dos Do- kurnentieren kann de/m Lehrer wertvolle Hinweise 'iiber den Lernprozess geben und zwar sovjohl in der Konzeptent-wicklungsphose ols auch in der LeistungsbeurieilungP

Die Eingaben, welche ein Schuler in ein CAS am Computer tatigt konnen vom Lehrer durch Ausdruck der Datei uberpruft werden. Bei CAS am Taschenrechner ist dies nicht so einfach moglich. Hier mussen die Schuler entweder ihre Eingaben handschriftlich festhalten bzw. kann iiber geeignete Computersoftware der Taschenrechner mit einem Computer verbunden werden. So konnen die Eingaben des Taschenrechners iiber den Computer mit

2.1.2 CAS am Taschenrechner

Vor- und Nachteile

CAS am Taschenrechner sind jederzeit und liberal! einsetzbar und jeder Schuler kann individuell auf seinem Gerat arbeiten. AuEerdem sind fur die Verwendung keinerlei In- stallationen oder dgl. notwendig. Dies sind meines Erachtens nach die groEten Vorteile gegenuber CAS am Computer.

Da ein Ausdrucken der Ergebnisse von einem CAS am Taschenrechner nicht ohne wei- ters moglich ist bzw. dazu wiederum ein Computer gebraucht wird, ist dies als Nachteil einzustufen. Die kleinen Bildschirme (zB. beim TI-89) sind fiir genauere graphische Inter- pretationen meist zu klein.

Wie bereits in Kapitel 2.1.1 auf S. 6 erwahnt, ist die Dokumentation ein wichtiger Bestandteil der Arbeit mit CAS. In [Kutzler und Kokol-Voljc, 2003] auf S. 36 - 50 wird

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1: Maple [Maplesoft, 2007], MathCAD [MathCAD, 2007]

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Abbildung 2.2: Mathematica fMathematica, 2007], MuPAD [MuPAD, 2007]

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Abbildung 2.3: Maxima [Maxima, 2007]

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Abbildung 2.4: Derive, Tl-Interactive, TI-Nspire [Texaslnstruments, 2007]

die gleichzeitige Verwendung von CAS am Computer⁰ und am Taschenrechner^{3 4} im Ma- thematikunterricht behandeit. Die Daten werden vom Taschenrechner auf den Computer und umgekehrt ubertragen. Dazu ist ein Programm notwendig, welches auf dem Com­puter instailiert sein muss: TI-GraphLink oder Tl-Connect, die Nachfolgeversion von TI- GraphLink. Somit konnen Daten auf dem jeweiligen Gerat manipuliert, berechnet und am Computer iiber einen Drucker ausgedruckt werden. Zusatzlich zu den Eingaben fur die Berechnungen konnen von den Schulern Notizen iiber ihre Gedankengange, beim Losen der Aufgaben, gemacht werden. (vgl. [Kutzler und Kokol-Voljc, 2003))

Trotz dieser technischen Moglichkeiten muss das Dokumentieren mit den Schulern im- mer wieder geubt werden, um eine genaue und vollstandige Dokumentation der Arbeit von den Schulern zu erhalten.

Uberblick

Nachfolgend findet sich eine Auflistung von CAS am Taschenrechner der drei Firmen Texas Instruments, CASIO und Hewlett Packard, die momentan (Stand: Janner 2008) am Markt erhaltlich sind.

- Texas Instruments

TI-89 Titanium, TI-Voyage200⁵, TI-NspireCAS (siehe Abbildungen 2.5)

- CASIO

Class Pad 300 (Plus), Class Pad 330, Algebra FX 2.0 Plus (siehe Abbildungen 2.6)

- Hewlett Packard

HP 40gs, HP 48gll, HP 50g (siehe Abbildungen 2.7)

(vgl. [Texaslnstruments, 2007], [CASIO, 2007], [HewlettPackard, 2007])

Auf einen genauen Vergleich der unterschiedlichen CAS verzichte ich in meiner Arbeit, da ein soldier Vergleich fur meine Arbeit nicht notig ist. Auf der Homepage des Isolde- Kurz-Gymnasiums (http: //www. ikg. rt.bw. schule. de/leucas/index.html) findet sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.6: Class Pad 300 (Plus), Class Pad 330, Algebra FX 2.0 Pluls [CASIO, 200'

von Michael Komma ein alterer Vergleich, aus deni Jahr 2000, von CAS fur den Compu­ter (Maple, Scientific Notebook, MathCAD Plus 6.0, Mathernatica ¥.3.0, Derive ¥.4.04). Dabei werden die Punkte

- Symboiisches Rechnen
- Graph ik
- Programmierung
- Bibliothek
- System
- Oberflache/Benutzerschnittstelle

fur die einzelnen CAS fur den Computer herausgearbeitet.

Nachdem der Umfang an zur Verfiigung stehender Software bzw. Hardware⁶ im obigen Abschnitt kurz erlautert worden ist, mochte ich nun auf die didaktischen Moglichkeiten von CAS bei der Einfuhrung in die Integralrechnung, eingehen.

3 Methoden fur die Einfuhrung in die Integralrechnung

In diesem Kapitei meiner Diplomarbeit gebe ich einen Uberblick fiber die didaktischen Methoden, welclie im Ralmien der Einfuhrung in die Integralrechnung rnit CAS eingesetzt werden kdnnen. Zuvor gehe ich noch auf die Ziele der Integralrechnung in der Schule und auf zwei, mir wichtig erscheinende, Prinzipien ein.

Darauf aufbauend vergleiche ich diese Methoden mit den Ergebnissen meiner empiri- schen Untersuchung an den Schulen (vgl. Kapitei 4 auf S. 47 und Kapitei 6 auf S. 90).

3.1 Unterrichtsziele der Integralrechnung

Um die nachfolgenden Methoden fur die Einfuhrung in die Integralrechnung mit CAS besser in die Unterrichtsziele der Integralrechnung einordnen zu kdnnen, befasse ich micli im Vorfeld mit diesen Unterrichtszielen.

In [BMUK, 2004a], S. 6 finden sich die Unterrichtsziele der Integralrechnung fur AHS:

- ,,Ermitteln von Stammfunktionen
- Definieren des bestimmten Integrals.. Deuten einer Sumrne von 'sehr kleinen Pro- dukten’ der Form f(x).Ax o,ls Naherungswert des bestimmten Integrals
- Kennen des Zusommenho.ngs zvrischen Differenzieren und Integrieren some des HaupUatzes der Differential- und Integralrechnung
- Berechnen von bestimmten Integralen mit Hilfe von Stammfunktionen under Ve/r- wendung elementarer Integra,tionsregeln
- Arbeiten mit verschiedenen Deutungen des Integrals (insbesondere Flacheninhalt, Volumen, physikalische De/utungenff

In diesen Zielen konnen die beiden Wurzeln der Integralrechnung entdeckt werden. Ei- nerseits die Integralfunktion rnit welcher sich Newton beschaftigt hat (Umkehrproblem der Differentialrechnung) und andererseits die Idee nach Leibniz: Integration als verallge- meinerter Summationsprozess. (vgl. [Blum und Torner, 1983], S. 158)

Fur mich ist es wesentlieh, bei der Verwendung von CAS in der Integralrechnung, sich mehr mit verschiedenen Deutungen des Integrals zu beschaftigen. Den Schuiern soil bewusst gemacht werden, dass Integrieren nicht gleichzusetzen ist mit dem Berechnen einer Flache. Da durch das CAS ein GroEteil der Berechnungen „automatisclC erledigt werden, besteht mehr Zeit sich mit diesen Deutungen auseinander zu setzen. Bereits bei der Einfuhrung des Integralbegriffs konnen verschiedene anwendungsbezogene Beispiele herangezogen werden - nicht nur die Berechnung der Flache unter einer vorgegebenen Kurve.

Dazu ist in [Aspetsberger, 2005], S. 189 zu lesen:

,, Gleich von Beginn an so lien Aufgaben aus verschiedenen A nwend.ungs b erei ch en bear- beitet werden, urn so den Integrolbegriff vorn Problem der Fldchenbereehnung zu Id sen.“

Klaus Aspetsberger erwahnt in [Aspetsberger, 2005], S. 190 folgende Anwendungsbei- spiele die mit den Schuiern behandelt werden konnen:

- „ Flache unter einer nicht konstanten Funktion
- zuriickgelegter Weg bei verdnderlicher Geschmndigkeit
- Berechnung des Volurnens von unregelrndfiigen Korpern
- Arbeit, falls sich. die Kraft oder der Weg dndern
- Ausflusszeit eines Behdlters, wenn sich die Ausflussmenge pro Zeit standig dndertu

In [Prugger et ah, 2001] ist beim Vorwort zu lesen:

,,Der TI-89/92/92+ /.../ schafft Freirdurne und A4dglichke.iten fur die Konze.ntro.tion auf eine versid.nd.ige Verwendung von Integra.ten o.ls Darstellungs- und Interpreta.iionsrnittel in verschiedenen Anwendungssituationen.u

Dies gilt nicht nur fur die CAS-Rechner von TI, sondern fur samtliche CAS egal oh am Computer oder am Taschenrechner.

Die Schuler sollen aus der Integralrechnung mit CAS weniger die unterschiedlichen Inte- grationsmethoden mitnehmen, sondern die Integralrechnung als Werkzeug zum Losen von Problemen sehen. Damit ergibt sich eine sehr groEe Bedeutung des Anwendungsaspekts d er In tegralrech nu n g.

3.2 Whitebox/Blackbox-Prinzip und Modul-Prinzip

An dieser Stella erscheint es mir wichtig auf das Whitebox/Blackbox-Prinzip einzugehen, um zu Verdeutlichen, dass der Einsatz von CAS in der Integralrechnung nicht zur Folge haben muss (darf), dass die gesamte Integralrechnung per Knopfdruck erledigt wird. Das eigentliche Unterrichtsziel ist ja nicht die Berechnung des Integrals, sondern das Verstehen des Integrals und das Interpretieren der Ergebnisse (vgl. Kapitel 1.1 auf S. 2). Dies wird auch in den anschiiefiend angefuhrten didaktischen Moglichkeiten transparent werden.

Das Whitebox-/Blackbox-Prinzip teilt sich in zwei Phasen: Whitebox-Phase und Black­box-Phase.

In der Whitebox-Phase soli der Schuler einen Algorithmic ,.handisch” losen konnen und vor allem Verstehen, was dieser Algorithmic macht. Der Schuler soli zB. im Rahmen der Integralrechnung das bestimmte Integral:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

losen. Jedoch soli nicht nur der rechnerische Aspekt im Vordergrund stehen, sondern der Schuler soil auch verstehen was dieser Algorithmic macht. Somit soil der Schuler im Rahmen der Integralrechnung wissen, was Integrieren bedeutet und wozu Integrieren verwendet werden kann.

Ein moglicher Unterrichtsgang fur die Berechnung des bestimmten Integrals konnte wie folgt aussehen (vgl. dazu auch [Aspetsberger, 2005|, S. 191f):

Ausgegangen wird von der gegebenen Funktion Zur Veranschau- lichung sollen die Schuler diese Funktion mit Hilfe des CAS zeichnen lassen. Die Pro- blemstellung, die nun mit den Schulern erarbeitet werden soil, ist die Flache unter der gegebenen Kurve⁷ im Intervall [2,5] zu ermitteln.

Dazu sollen die Schuler ais erstes das Intervall in drei gleich groEe Teilintervalle der Lange 1 Einheit unterteilen. Im Anschluss werden die Unter- und Obersummen per Hand berechnet, was zu folgendern Ergebnis fuhrt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Die Teilintervalle werden nun nochmals in der Mitte geteilt und wiederum sind Unter- und Obersummen zu berechnen:

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Mit Hilfe des CAS herechnen die Schuler nun fur noch kleinere Teilintervaiie die Unter- und Obersummen. Das CAS kann an dieser Stelle eingesetzt werden, da den Schulern zu diesem Zeitpunkt die Berechnung der Unter- und Obersummen anschaulich klar ist. Die Schuler werden feststellen, dass die Differenz zwischen Unter- und Obersummen fur immer kleiner werdende Teilintervaiie geringer wird.

Um zu einem exakten Flacheninhalt zu kommen, mussen die Teilintervaiie unendlich klein gewahlt werden, so dass es unendlich viele Teilintervaiie gibt. Dies ist den Schu­lern durch das vorangegangene Experimentieren klar. Mit Hilfe des CAS wird der Limes berechnet.

Definition des bestimmten Integrals (vgl. [Aspetsberger, 2005], S. 191):

,, Kami der Unterschied zwischen der Obersumme O und der Untersumme U der Funk- tion f beliebig klein gemacht werden, so bezeichnet man jene (eindeutig bestimmte, reelle) Zohl If mit U < I < O oh bestimmtes Integral der Funktion f. Schreibweise: fu Nun sollen die Schuler den Flacheninhalt fur verschiedene Integralgrenzen berechnen. Dazu sollen sie ais erstes den Flacheninhalt im Interval! [0,6] berechnen. Das CAS liefert als Grenzwert:

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Die Schuler sollten nun erkennen, dass / die Ableitung dieses Ergebnisses ist, sonst werden sie darauf aufmerksam gemacht. Es folgt die Definition der Stammfunktion:

,, 1st f eine reelle Funktion, dann heifit eine reelle Funktion F erne Stammfunktion von f, wenn F' = f gilt."

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Im Anschluss daran gilt es fur die Schuler die untere Intervallgrenze zu verandern, zB. [—2,6], was zum Ergebnis

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fiihrt bzw. fur [10,6] zu

fiihrt. Dies fuhrt zum Hauptsatz der Differential- und Integralreehnung:

,,Ist f eine Funktion, die irn IntervoU [a, 6] stetig ist, und F eine Stomrnfunktion von

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Als letzten Schritt wird mit den Schulern die Integrationsregel

besprochen, mit denen sie die Stammfunkionen einfacher Funktionen finden konnen. Diese Regel konnen die Schuler auch ohne Hilfe des Lehrers finden. Dazu werden die Schuler angehalten die obigen Schritte mit anderen einfachen Polynomfunktionen zu wie- derholen.

Das Rechnen von einigen Beispielen soil die Berechnung von bestimmten Integralen festigen.

Nachdem die Schuler die ,,handische” Berechnung der bestimmten Integrate verstanden haben, kann dazu iibergegangen werden, die Befehle zum Integrieren mit dem jeweiligen CAS zu besprechen.

In [Heugl, 2006] werden im Rahmen der Whitebox-Phase (Phase des verstehenden Ler- nens) folgende Aspekte genannt:

- Formulieren des Problems
- Finden einer Vermutung
- Entwickeln von Begriffen oder Algorithmen
- Begriinden, Beweisen
- Rechnen ausreiehend vieler Ubungsaufgaben ohne CAS
- Nutzen von Blackboxes die in fiuheren Whiteboxes erforscht wurden
- Nutzen von CAS, um die neue Box „whitew zu machen (Technologie als didaktisches Werkzeug)

In [Aspetsberger, 2005], S. 189ff finden sich folgende Uberlegungen zur Integralrech- nung, bei denen die oben angefuhrten Aspekte unterstrichen werden:

Begriffsbildung

,,Do,bei konnen die Begriffe des 'bestimmten Integrals', der Integrolfunktiori usw. schrittweise uber Ober- und Untersurnrnen eingefuhrt -werden.u

- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

,,Der Zugang zur Integralrechnung uber Summationen on Sidle von Stammfunktio- nen soil Integration und Differentiation zundchst o.ls zwei unterschiedliche Aufga- benkomplexe darstellen /.../.“

- Anwendungsaspekt

Die Konzentration liegt beim Modellieren. Das CAS berechnet die Integrale. Der zu Grunde liegende Akkumulationsprozess /.../ soil bei den Anwendungen jedes Mai neu durchgefiihrt we/rden.u

- Integrationsregeln

jjntegrationsregeln werden nicht bzw. nur fur sehr einfache Funktionstypen behan- deltF Die dadurch eingesparte Zeit soil sinnvoll beim Begriffsbildungsprozess ver- wendet werden.

Die Whitebox-Phase, die Phase des Verstehens durch die Schuler, wird fur mich bei der Einfuhrung in die Integralrechnung vor allem durch den Summationsprozess gefordert. Ich denke, dass die Schuler durch die Einfuhrung uber den Summationsprozess mehr Vorstellung vom (unbestimmten) Integral erhalten, da diese Methode anschaulicher ist. Zum Veranschaulichen und Experimentieren wird naturlich das CAS verwendet, teilweise werden auch Blackboxes (Summendefinition, Limesberechnung, etc.) dazu benotigt. In der Whitebox-Phase konnen somit auch Blackboxes Verwendung finden (vgl. dazu auch Zitat von Hans-Georg Weigand weiter unten).

Im Mathematikunterricht sollte, vor allem bei der Verwendung von CAS, dem Bereich der Begriffsbildung und des Verstandnisses fur einen Begriff mehr Zeit aufgewendet wer­den.

In der Blackbox-Phase wird der rechnerische Aspekt nicht mehr vom Schuler, sondern von einem CAS durchgefiihrt. Der Schuler soli sich auf das Anwenden und Interpretie- ren der Mathematik konzentrieren. Fur den Schulunterricht in der Integralrechnung sind damit die Berechnung der Flache zwischen zwei gegebenen Funktionen und andere An­wendungen des Integrals gemeint, jedoch nicht die ,,handische“ Berechnung des Integrals.

In [Heugl, 2006] werden im Rahmen der Blackbox-Phase (Phase des erkennenden und begriindeten Anwendens) folgende Aspekte genannt:

- Entscheidung fur ein Konzept, fur einen Algorithmus

Ausfuhrung durch das CAS als Blackbox - Testen mid Interpretieren

Die Reihenfolge der beiden Phasen ist nicht eindeutig festgelegt. Soinit kann auch mit der Blackbox-Phase begonnen werden, in der die Schuler ,, experimentievend Licht ins Dunked bringerC und erst anschlieEend in der Whitebox-Phase die Hintergrunde erfahren. Dieses Vorgehen heifit dann Blackbox-/Whitebox-Prinzip. (vgl [Lenders, 2003J S. 214 sowie [Heugl, 2006] S. 3)

Hans-Georg Weigand schreibt in [Weigand, 1997), S. 188:^[8] :

,.Eine Erf aiming des Unterrichtsprojekts ist es, doss diese Trennung von !White-Box' und ’Black-Box’ nicht aufrechtzuerhalten ist, sondern doss man es irn Unterricht eher mit ineino,rider verschachtelten ;White-' und ’Black-Boxes’ zu tun hat. So kann, nosh Meinung der Verfosser, ein Cornputerolgebro-Sysiem durchaus in der White-Box-Phose, in der sie ursprunglich keinen Computer⁹ einsetzen wollten, sinnvoll verwendet werden,

Soinit ist ersichtlich, dass in der Begriffsbildungspha.se, der Phase des Verstehens (White­box-Phase) durchaus das CAS, in Form von Blackboxes, Verwendung findet, wie bereits auch in dem obigen Beispiel ersichtlich war. Fine strikte Trennung von der Whitebox- und Blackbox-Phase ist im Mathematikunterr ich t nicht moglich.

Im Rahmen der Verwendung von CAS in der Schuie erfahrt das Modul-Prinzip eine neue Verwendung. ,,Dos Nutzen von Modulen ist nicht neu, jede Formed aus der For- medsomrnlung ist letztlich ein Modulu, so Helmut Heugl in [Heugl, 2006).

Helmut Heugl zitiert W. Dorfier (1991) in [Heugl et ah, 1996), S. 149:

konnen wi/r Module auffassen ols Wissenseinheiten, in demen (kcomplexes) Wissen kornprirniert wi/rd und in demem Operationen d/urch diese Ko/psedung ods Ganzes abrufbar und einsetzbar werdenF

Module konnen von Schulern selbst, im Rahmen der Whitebox-Phase, entwickelt wer­den, sie konnen von Lehrern zur Verfugung gestellt werden (zB. fur die Experimente in der Blackbox-Phase) oder sie konnen vom CAS zur Verfugung gestellt werden. Module finden sich einerseits auf didaktischen Webseiten, andererseits auch direkt auf den Webseiten der Hersteller von CAS. (vgl. [Heugl, 2006) S. 7-8)

Im Folgenden gehe ich nun auf die didaktischen Moglichkeiten im Rahmen der Einfuh- rung in die Integralrechnung mit CAS naher ein.

3.3 Einfiihrung in die Integralrechnung

Die Einfiihrung in die Integralrechnung ist ein wichtiges Kapitel in der gesamten Integral- rechnung, da bier den Schiilern der Begriff des Integrals verdeutlicht werden soli, welcher fur die gesamte Integralrechnung (und den Anwendungen in der Integralrechnung) von groEer Bedeutung ist. Wie in den unten angefuhrten Beispielen ersichtlich wird, tritt mit dem Einsatz von CAS der Anwendungsaspekt stark in den Vordergrund. Anwendungsbe- zogene Einfuhrungen in die Integralrechnung konnen von den Schulern selber experimen- tell erarbeitet werden und die Beispiele konnen durch die CAS vollstandig durchgerechnet werden (zB. immer feinere Unterteilungen bei den Rechtecken der Ober- und Untersum- men). Der Anschauungsaspekt (Graphiken, etc.) wird durch CAS ebenfalls stark in den Vo rd e rgr u n d geru ck t.

3.3.1 Zeit-Geschwindigkeit-Weg

In [Prugger et ah, 2001] von Eva Prugger, Claudia Prumetz und Edith Schneider erfolgt die Einfiihrung des Integralbegriffs fiber ein Beispiel zum Thema „Zeit - Geschwindigkeit - WegV Dieses Anwendungsbeispiel ist fur die Schuler ein Beispiel, bei dem sie sich etwas vorstellen konnen.

Die Schuler sollen zunachst aus einer Grafik, in welcher auf der Abszisse die Fahrzeit in Sekunden und auf der Ordinate die Geschwindigkeit in m/s aufgetragen wird, das Fahr- verhalten in Worten erklaren. Als nachsten Schritt sollen sie versuchen die Entwicklung der Geschwindigkeit durch eine (oder mehrere) Funktionsgleichungen anzugeben. Hier wird in weiterer Folge das CAS¹⁰ zur Erstellung einer Regressionsfunktion verwendet.

In weiterer Folge wird nun nach dem zuruckgelegten Weg in bestimmten Zeitintervallen gefragt. Das Beispiel ist so gewahlt, dass sich die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in drei Zeitintervallen unterschiedlich andert (konstant, gleichmaEige Zunahme, weder konstant noch gleichmaEig). Die Schuler erkennen, dass die Berechnung des Wegs in jenem Zeit- intervall, in dem die Geschwindigkeit weder konstant noch gleichmaEig zunimmt, fur sie (noch) nicht moglich ist.

Gemeinsam mit dem Lehrer wird nun dieses Zeitintervall in Teilintervalle unterteilt. Zunachst nur fur fiinf Teilintervalle. Fur die Mitte der Teilintervalle wird dann der Funk- tionswert (=Geschwindigkeit) berechnet und somit lasst sich die gesamte Weglange (=Ge­schwindigkeit mal Zeit) berechnen. Den Schulern soli nun klar werden, dass das Ergebnis durch mehr Teilintervalle verbessert werden kann.

Der Schritt, class die Schuler bier nochmals Berechnungen mit mehr Teilintervallen anstellen ist in diesem Beispiel ausgelassen. Es erfolgt anschaulich die Einfuhrung der Definition des Integrals als ,,unendliche Surnrne unendlich kleiner Produkte“:

,,Zur Errnittlung ernes in einern gegebenen Zeitintervo zuruckgelegten Weges bei gegebener (nicht lineo.rerj Zeit-GeschvnndigkeiU-Funktion v teilen wir das Interval!, [a;b} in n gleich lange TeilintervoMe der Lange . Fur jedes TeilintervoM nehrnen wir als ’Durchschnittsgeschwindigkeit’ den Wert v{tf) an, wobei U einen Wert irn i-ten Teilinter­voM (zB. den hitervollrnittelpunkt) rneint. Do,mit ergibt sich fur die Weglonge s* irn i-ten Teilint ervoll ndh erungsweis e

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Diese ’unendliche Summe unendlich kleiner Prod.uk.ie/ ist allerdings keine Summe irn bisher bekannten Sinn. Man nennt diese unend,liche Surnrne ’Integral/ und, hat do,fur ein eigenes Symbol, ein ’langgezogenes S’, eingefuhrt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Irn Anschluss erfolgt noch eine exakte mathematische Definition des BegrifFs Integral und es werden die Integral-Befehle fur den TI-92¹¹ erlautert, Um den Schulern zu zeigen, class der Begriff des Integrals noch in anderen Bereichen verwendet wird, werden noch weitere Funktionen (zB. K{t) ist die Anzahl der berufstatigen Menschen, die in einem Jahr t Tage krank waren) genannt. Die Schuler sollen claim deutet, was zB.

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jc K(t)dt — J K(t)dt

bedeutet (vgl. [Prugger et al., 2001] S. 5-13)

In [Prugger et ai., 2001] findet die Einfuhrung des Integraibegrifis zum GroEteil mit CAS statt, wobei die Einfuhrung der Definition des Integrals ohne die Hilfe von CAS durchgefuhrt wird. Das CAS wird wahrend der Einfuhrungsphase hauptsachlich als gra- phisches Veranschaulichungsmittel verwendet. Da die Einfuhrung in diesem Beispiel uber den Summationsprozess erfolgt, konnten durchaus Experimente am CAS zur Summen- bildung mit den Schulern gemacht werden. Damit meine ich, dass die Schuler zB. die Summen unterschiedlich langer Teilintervalle bilden sollen. Die Schuler wurden feststel- len, dass durch immer feinere Teilintervalle das Ergebnis immer genauer wird bzw. bei einer oftmaligen Wiederholung und immer feineren Unterteilung wurden sie das Streben zu einem bestimmten Wert feststellen.

Es ware durchaus denkbar an dieser Stelle einen facherubergreifenden Unterricht mit dem Unterrichtsfach Physik anzustreben. In Phvsik konnten die Schuler die Auswirkungen von Beschleunigung, gleichmaEige Geschwindigkeit und Verzogerung naher untersuchen (zB. in Form von Fahrsimulatoren, etc.).

Ein Vorteil dieser Methode liegt sicher darin, dass das Berechnen von Integralen nicht mit dem Berechnen der Flache unter einer Kurve gleichgesetzt wird. Erst spater kommt in [Prugger et ah, 2001] als Anwendungen der Integralrechnung die Flachenberechnung.

In meinem zweiten Beispiel erfolgt die Einfuhrung des Integraibegrifis in ahnlicher Art und Weise wie beim ersten Beispiel, jedoch wird auf die Begriffe Ober- und Untersumme naher eingegangen. Das Beispiel ist so konzipiert, dass die Schuler in Kleingruppen die Arbeitsauftrage zum GroEteil selbststandig losen konnen.

3.3.2 GroBe einer Wiese

Heiner Juen fuhrt den Begriff des bestimmten Integrals an dem Beispiel ,,GroEe einer Wiese“ ein. Gegeben ist der Graph einer Funktion (siehe Abbildung 3.1), welcher mit der Abszisse und der Ordinate das Grundstuck begrenzt. (Anmerkung: Das Beispiel ist anschaulich klar, jedoch ist zur Flachenberechnung dieses Crundstucks keine Integral­rechnung notwendig. GrundstucksgroEen und in weiterer Folge Geldbetrage werden auf zwei Dezimalstellen genau berechnet, somit ist eine ,,Naherungslosung“ vollkommend aus- reichend. Zusatzlich sei angemerkt, dass die GroEen von Grundstucken im Grundbuch eingetragen sind.)

In der ersten Phase (der experimentellen Phase) sollen die Schuler die Flache mittels vier Rechtecken, welche in die Skizze eingezeichnet und abgemessen werden, berechnen. Hierzu gibt es zwei Gruppen, die Verkaufer- und die Kaufergruppe.

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