Mathematische Positionsbestimmung anhand des GPS

Facharbeit (Schule) , 2005 , 27 Seiten

Mathematik - Angewandte Mathematik

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Hauptteil
2.1. Bausteine des GPS
2.1.1 Das Weltraumsegment
2.1.2 Das Benutzersegment
2.1.3 Das Kontrollsegment
2.2 Anwendung mathematischer Berechnungen auf das GPS
2.2.1 Die zweidimensionale Punktbestimmung
2.2.2 Positionsbestimmung im dreidimensionalen Raum
2.2.3 Die Positionsbestimmung beim GPS in der Praxis

3. Koordinatensysteme
3.1 Das raumfeste und das erdfeste Koordinatensystem
3.2 Bezugssysteme
3.3 Schlussteil

A Literaturverzeichnis

B Abbildungsverzeichnis

C Anhang

D Erklärung

1. Einleitung

Das GPS (Abkürzung für Global Positioning System), was mit auf die ganze Erdoberfläche bezogenes System zur Ortsbestimmung übersetzt werden könnte, auch als NAVSTAR (Navigation System with Time and Ranking) bekannt, wobei das aus dem Lateinischen kommende Wort Navigation die Gesamtheit aller Maßnahmen zur Standortsbestimmung bei Wasser- Luft und Raumfahrzeugen beinhaltet, ist ein satellitengestütztes System, mit dessen Hilfe es möglich ist, jeden Ort der Erde nahezu genau zu bestimmen. Es wurde in den USA für militärische Zwecke seit 1973 entworfen. Die Anforderungen, die das GPS erfüllen sollte, bestanden darin, seinem Nutzer Informationen über seine Position, seine Geschwindigkeit und über die genaue Uhrzeit zu liefern. Das als NAVASTAR-GPS bezeichnete System sollte diese Informationen unabhängig davon berechnen können, ob sich der Benutzer auf einer festen Position befand oder in Bewegung war. Außerdem sollte es zu jeder Zeit, bei jedem Wetter, an jedem Ort einsatzbereit sein und somit eine große Zuverlässigkeit garantieren. Bis 1995 wurde so das GPS in drei Phasen entwickelt, das die genannten Anforderungen erfüllt.

Heute steht das System auch der zivilen Nutzung zu Verfügung, die Anwendungsbereiche sind vielfältig. Es findet Verwendung in der See- und Luftfahrt, wird in Fahrzeugen als Navigationshilfe und zur Auffindung gestohlener Fahrzeuge genutzt, erleichtert Landvermessungen und dient Bergsteigern der Bestimmung ihrer Routen. Allerdings muss ein direkter „Sichtkontakt“ zu den Satelliten bestehen, weshalb das GPS in Gebäuden beispielsweise unbrauchbar wird.

Mit dieser Facharbeit will ich versuchen zu beschreiben, wie das GPS die Positionsbestimmung berechnet. Schwerpunkt sind hierbei die mathematischen Gesichtspunkte. Zunächst werden die Bausteine des GPS erläutert, danach die Funktionsweise der Positionsberechnung unter Berücksichtigung der Probleme, die bei der Anwendung der mathematischen Theorien auftauchen, und der Lösungsansätze, um eine möglichst genaue Positionsbestimmung zu erzielen. Abschließend möchte ich noch einen Ausblick auf die verwendeten Bezugssysteme und ihre Funktion geben.

Mit dem Computerprogramm Maple habe ich ein Worksheet^[1] erstellt, in dem die Positionsberechnung eines GPS-Empfängers simuliert wird. Ich gehe hierbei davon aus, dass die genaue Position der notwendigen Satelliten bekannt ist, was in der Realität nicht der Fall ist. Dort muss die Position der Satelliten zunächst über deren Bahninformationen bestimmt werden (siehe Punkt 2.1.1).

2. Hauptteil

2.1. Bausteine des GPS

2.1.1 Das Weltraumsegment

Das GPS stützt sich auf die Datenübermittlung von Satelliten. Um zu gewährleisen, dass eine hohe Zuverlässigkeit garantiert wird, wurde eine spezielle Anordnung der Satelliten auf Umlaufbahnen entwickelt. Die Satelliten umkreisen in Gruppen auf sechs verschiedenen Umlaufbahnen, den so genannten Orbits, die Erde (siehe Abb. A4). Die Orbits haben eine Neigung von 60 Grad zueinander, die Neigung der Satelliten zu der Äquatorebene beträgt 55 Grad. Daraus ergibt sich eine gleichmäßige Anordnung der Umlaufbahnen um die Erde. Um zu jedem Zeitpunkt und vom jedem Punkt der Erde aus die Signale von vier Satelliten empfangen zu können, werden 21 Satelliten benötigt (vier Satelliten sind zur Positionsbestimmung notwendig, siehe Kapitel 2). Heute sind jedoch meistens 30 Satelliten aktiv, um eine höhere Einsatzsicherheit zu gewähren.

Die Geschwindigkeit, mit der die Satelliten in einer Höhe von 20.200 km entlang der Orbits kreisen, beträgt 3,9 km/h. Dies führt dazu, dass ein Satellit die Erde in 11 Stunden und 58 Minuten umkreist. Somit erlangt ein Satellit nach zwei Erdumkreisungen wieder die gleiche Position zum Erdkörper. Die Satelliten sind mit präzisen und hochgenauen Atomuhren ausgestattet, die in einem Zeitraum von einer Millionen Jahre lediglich um eine Sekunde ungenau werden. Die Präzision der Uhren ist erforderlich, herkömmliche Uhren hingegen sind zu ungenau. Ein Zeitfehler von nur einer tausendstel Sekunde hätte einen Distanzfehler von ca. 300 Metern zur Folge.

Da das GPS militärischen und zivilen Zwecken dient, senden die Satelliten zwei Signale aus, ein präzises verschlüsseltes, das nur dem Militär zugänglich ist und ein unverschlüsseltes, das allerdings verfälschte Angaben enthält, um einen Missbrauch des Systems zu verhindern. Das Signal, welches dem GPS-Empfänger zugesendet wird, gliedert sich in mehrere Bereiche. Informationsbereiche sind unter anderem Uhren- und Bahninformationen der Satelliten, mit denen der Empfänger die Satellitenposition bestimmen kann.

2.1.2 Das Benutzersegment

Das Benutzersegment wird von den GPS-Empfängern gebildet. Wie bereits erklärt, empfangen die GPS-Empfänger die Daten der Satelliten und berechnen daraus ihre Position. Da die in den Satelliten eingesetzten Atomuhren sehr schwer, teuer (100.000 Dollar pro Uhr) und gefährlich sind, werden sie in den GPS-Empfängern nicht angewandt. Diese sind mit gängigen Quarzuhren ausgestattet. Es gibt verschiedene GPS-Empfänger. Die meisten Geräte, die dem Privatbenutzer zum Verkauf stehen, können die Daten von 12 Satelliten auswerten und daraus die Position berechnen. Die Genauigkeit reicht für den Privatbereich aus. Es gibt aber darüber hinaus GPS-Empfänger, die für den militärischen Einsatz oder für Vermessungszwecke entwickelt wurden. Aufgrund komplexerer Rechenmethoden und einer höhern Rechengeschwindigkeit kommen sie zu einem schnelleren und genaueren Ergebnis.

2.1.3 Das Kontrollsegment

Die Möglichkeit der Einwirkung von Fehlern durch äußere Einflüsse ist sehr groß, was zu falschen Messergebnissen führt (siehe Punkt 2.4). Deshalb wurde ein Kontrollsegment eingerichtet, dass die Daten der Satelliten auswertet und kontrolliert. Es besteht aus einer Hauptstation, 4 Kontroll- und 3 Verbindungsstationen. Dabei sind die Kontrollstationen auf der Erde so errichtet, dass jeder Satellit pro Tag Sichtkontakt zu 4 Kontrollstationen erhält. Der Sinn besteht darin, dass das Ortungsverfahren umgedreht wird, um dem Benutzer des GPS eine höhere Genauigkeit zu ermöglichen. Es wird nicht mit Hilfe der Satelliten ein Punkt auf der Erde, sondern mit bekannten Punkten der Erde (Kontrollstationen) die Position eines Satelliten bestimmt. Der Satellit berechnet die Entfernung zu den vier Kontrollstationen und sendet diese Daten zu der Hauptstation. Diese kennt die genaue Position der Kontrollstationen und kann somit die Position der Satelliten berechnen. Diese berechnete Position wird dann mit den Daten über die Position verglichen, die die Satelliten an die GPS-Empfänger aussenden. Kommt es zu Abweichungen, wird das von den Satelliten an die GPS-Empfänger ausgestrahlte Signal korrigiert.

2.2 Anwendung mathematischer Berechnungen auf das GPS

2.2.1 Die zweidimensionale Punktbestimmung

Meine Erläuterungen beziehen sich im folgenden Kapitel zunächst auf den zweidimensionalen- und werden dann auf den dreidimensionalen Raum übertragen und ausgeweitet.

Kennt man die Koordinaten eines Punktes, nämlich Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und die Entfernung dieses Punktes zu einem unbekannten Punkt T, so befindet sich Punkt T auf der Kreislinie des Kreises, mit P als Mittelpunkt. Die Länge der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist der Radius r 1 des Kreises.

Dies reicht jedoch nicht aus, um die Koordinaten des Punktes T zu berechnen (Abb. A1).

Daher ist ein weiterer bekannter Punkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erforderlich, mit dessen Hilfe man die Position des Punktes T eingrenzen kann. Der Punkt T befindet sich ebenfalls auf der Kreislinie des Kreises mit Punkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Mittelpunkt und der Länge der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Radius r2. Somit befindet sich Punkt T auf einem der beiden Schnittpunkte der Kreislinien. Wie in der Abbildung A2 zu erkennen, ist es jedoch nicht möglich, den Punkt T auf diese Weise anzugeben, da sich die beiden Kreise in zwei Punkten schneiden (S1 und S2 in Abb. A2).

Ein weiterer bekannter Punkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenist erforderlich, dessen Entfernung zu Punkt T ebenfalls gegeben ist. Auch hier lässt sich ein Kreis mit R als Mittelpunkt und der Länge der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenals Radius r3 konstruieren. Punkt T befindet sich auf dem einzigen Schnittpunkt der drei Kreislinien (Abb. A3). Somit kann der gemeinsame Schnittpunkt T über die Punkte P, Q und R mit Hilfe der angegebenen Koordinaten der Punkte P, Q und R und der Kreisradien r1, r2 und r3 berechnet werden.

Es wird nun beschrieben, wie nach der allgemeinen Kreisgleichung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenmit MittelpunktAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenein unbekannter Punkt über drei bekannte Punkte und deren Entfernungen zu dem unbekannten Punkt berechnet werden kann.

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte P, Q, R und ihre Abstände zu Punkt T Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn man fürAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltendie Koordinaten der Punkte P, Q und R als Mittelpunkte und für r die Abstände zu Punkt TAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalteneinsetzt, erhält man folgendes quadratisches Gleichungssystem:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Auflösen der Klammern nach der 2. Binomischen Formel Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund die Zusammenfassung der Zahlen und Variablen ergibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Danach wird das Subtraktionsverfahren angewendet. Wird von der zweiten- die erste Gleichung subtrahiert, erhält man: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Subtrahiert man von der dritten- die erste Gleichung, erhält manAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Es gilt: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Folglich hat x den Wert 6. Setzt man in der zweiten Gleichung für x = 6, erhält man für y den Zahlenwert 6. Somit kann die Lösungsmenge des Gleichungssystems mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenangegeben werden. Dies sind die Koordinaten des gesuchten Punktes: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.2 Positionsbestimmung im dreidimensionalen Raum

Die Positionsbestimmung im dreidimensionalen- verläuft ähnlich wie im zweidimensionalen Raum. Kennt man die Entfernung eines bekannten zu einem unbekannten Punkt, befindet sich der unbekannte Punkt auf der Oberfläche einer Kugel, die die Entfernung als Radius und den bekannten Punkt als Mittelpunkt besitzt. Ist ein weiterer Punkt mit seiner Entfernung zu dem unbekannten Punkt bekannt, kann die Position eingegrenzt werden. Der unbekannte Punkt kann sich nur in der Schnittmenge der beiden Kugeloberflächen befinden, die durch einen Kreis definiert wird. Eine dritte Kugel grenzt die Position noch weiter ein. Der unbekannte Punkt ist einer der beiden Schnittpunkte des Schnittkreises der ersten beiden Kugeloberflächen mit der Oberfläche der dritten Kugel.

Dieses Prinzip findet beim GPS Anwendung. Der Empfänger berechnet über die Satellitensignale die Entfernung zu einem Satellit. Seine Position muss sich dann auf der Oberfläche der Kugel befinden, die die Entfernung zu dem Satellit als Radius und die Position des Satelliten als Mittelpunkt besitzt. Nach dem oben aufgeführten Vorgehen kann die Position des Empfängers berechnet werden, wenn drei Satellitenpositionen und die Abstände der einzelnen Satelliten zum Empfänger bekannt sind. Da man weiß, dass man sich auf der Erde und nicht im Universum aufhält, kann einer der beiden Schnittpunkte ausgeschlossen und die Position somit genau bestimmt werden (siehe Abb. A5).

Die Entfernung vom Empfänger zum jeweiligen Satellit wird nach der Formel Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (Weg = Geschwindigkeit * Zeit) berechnet. Da es sich bei den Signalen der Satelliten um elektromagnetische Wellen handelt und bekannt ist, dass sich diese mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten, kann die Distanz zwischen Empfänger und Satellit berechnet werden. Hierfür muss die Zeit bekannt sein, die zwischen Absende- und Ankunftszeit des Signals vergangen ist (Signallaufzeit). Die Absendezeit des Signals kann der GPS-Empfänger nach folgendem Vorgehen ermitteln: Sowohl Satellit als auch Empfänger sind darauf programmiert, zu jeder Zeit einen speziellen, einmaligen Code zu generieren^[2]. Dabei sind die zu einem bestimmten Zeitpunkt generierten Codes bei Satellit und Empfänger identisch. In dem Signal, das ein Satellit an den GPS-Empfänger schickt, ist der Code erhalten, der zu einem bestimmten Zeitpunkt generiert wurde. Wenn nun der GPS-Empfänger überprüft, wann er diesen Code generiert hat, ist die Absendezeit des Signals bekannt. Die Differenz zwischen Ankunftszeit und Absendezeit bildet die Signallaufzeit. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen:

„Ein Freund und Sie stehen auf gegenüberliegenden Seiten eines Sees. Sie vereinbaren auf ein Handzeichen hin, gleichzeitig und im selben Takt von ein bis zehn zu zählen. Jeder würde dann sich selbst eins, zwei, drei, … sagen hören und zeitversetzt auch seinen Freund. Wären Sie selbst beispielsweise bei drei, würden Sie ihren Freund erst eins sagen hören, obwohl dieser zeitgleich mit ihnen auch drei gesagt hat. Die Zeit, die vom Zeitpunkt an vergeht, da Sie selbst eins sagen und ihren Partner eins sagen hören, ist die Laufzeit, die das Signal benötigt, um den See zu überqueren.“^[3]

Mit der bekannten Lichtgeschwindigkeit von 299.792,458 km/s und der Signallaufzeit kann nach der oben genannten Formel die Entfernung zwischen Satellit und Empfänger berechnet werden.

Wird davon ausgegangen, dass die Entfernung eindeutig gemessen werden kann, kann mit Hilfe der allgemeinen Kugelgleichung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit Mittelpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für jede Kugel eine Gleichung aufstellt werden. Der Mittelpunkt ist bekannt, da er der gegebenen Satellitenposition entspricht . Der Radius kann ebenfalls für die Variable r eingesetzt werden, da die Entfernung zum Satellit bestimmt wurde. Stellt man für drei Kugeln eine Gleichung auf, entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen, das eindeutig lösbar ist und dessen Lösung Zahlenwerte für die Variablen x, y und z angibt, die den Kugelschnittpunkten entsprechen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.3 Die Positionsbestimmung beim GPS in der Praxis

Wie unter Punkt 2.2 erklärt, braucht man für eine genaue Positionsbestimmung die genaue Entfernung des Empfängers zu drei Satelliten. Dies ist in der Praxis nicht möglich, die Entfernungsmessung ist Fehleinflüssen ausgesetzt. Ein Fehleinfluss ist dadurch bedingt, dass die GPS-Empfänger, wie bereits erläutert, Quarzuhren enthalten. Quarzuhren gehen nicht genau, sodass der unter 2.3 genannte Code beim Empfänger nicht exakt zu dem gleichen Zeitpunkt wie der Code im Satellit generiert wurde, sodass die Signallaufzeit verfälscht ist. Daraus resultiert, dass die berechneten Entfernungen nicht mehr der Realität entsprechen und sich somit die vom GPS – Empfänger aufgestellten Kugelgleichungen nicht mehr in einem Punkt schneiden. Die auf diese Weise berechneten Entfernungen werden als „pseudo-range“- Entfernungen, das heißt scheinbare Entfernungen bezeichnet.

Im Folgenden wird anhand eines zweidimensionalen Beispiels gezeigt, wie man den Zeitfehler erkennt. Wird davon ausgegangen, dass kein Zeitfehler vorliegt, wären für eine Positionsbestimmung zwei Satelliten ausreichend. Stellt man für die jeweiligen Satelliten nach Kapitel 2.2 Kreise auf, schneiden sich die zwei Kreise in zwei Punkten (gestrichelte Linien in Abb.6).

Einer der beiden Schnittpunkte kann ausgeschlossen werden, da er aufgrund der großen Distanz zu der Erde im Gegensatz zum zweiten Schnittpunkt nicht als mögliche Position in Frage kommt. Nimmt man an, die Uhr im Empfänger geht um eine halbe Sekunde vor, schneiden sich die beiden resultierenden Kreise nach Kapitel 2.2 ebenfalls in zwei Punkten, von denen einer wieder ausgeschlossen werden kann (siehe Abb. 6). Es entsteht somit eine Empfängerposition B, die jedoch mit der wirklichen Position A nicht übereinstimmt. Die Messung würde wie eine Messung ohne Zeitfehler ablaufen, bei einer Messung mit zwei Satelliten wird der Zeitfehler nicht bemerkt.

Wird dagegen ein dritter Satellit bei der Messung berücksichtigt, fällt der Zeitfehler direkt auf. Bei einem Zeitfehler ergibt sich kein eindeutiger Schnittpunkt, lediglich je zwei Schnittpunkte aus zwei Kreisen (durchgezogene Kreislinien in Abb.7). Für die Position des Empfängers bedeutet dies, dass diese durch drei Schnittpunkte zwar eingegrenzt, nicht aber angegeben werden kann. Bei einer Positionsbestimmung ohne Zeitfehler resultiert dagegen eine eindeutige Position, die entsprechenden Kreise schneiden sich in genau einem Punkt (gestrichelte Kreislinien).

Um den Zeitfehler im dreidimensionalen Raum zu bemerken, muss ebenfalls eine weitere Messung berücksichtigt werden, ein weiterer Satellit ist erforderlich.

Da die Uhren der Satelliten synchron laufen, ist die Differenz zwischen den berechneten und den tatsächlichen Entfernungen zum GPS Empfänger bei allen drei Satelliten gleich groß. Deshalb kann zu den berechneten Kugelradien eine feste Variable addiert werden, die der zusätzlichen Länge, die aus der Ungenauigkeit der Uhr im Empfänger entstanden ist, entspricht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei handelt es sich um ein nicht lösbares Gleichungssystem, da es vier unbekannte Variablen, allerdings nur drei Gleichungen enthält. Deshalb sind die Daten eines vierten Satelliten notwendig, um die Position berechnen zu können. Das Gleichungssystem wird mit den ausgewerteten Daten eines vierten Satelliten, folgender Gleichung, ergänzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit der Lösung des Gleichungssystems erhält man die Empfängerkoordinaten, die für die Variable d als Entfernungsdifferenz gelten. Unter Berücksichtigung dieser Entfernungsdifferenz schneiden sich die Kugeln in einem Punkt, dessen Koordinaten die Zahlenwerte für x, y und z angeben, die sich aus der Lösung des Gleichungssystems ergeben.

3. Koordinatensysteme

3.1 Das raumfeste und das erdfeste Koordinatensystem

Zu ergänzen bleibt, dass die Berechnungen für das GPS-System nur auf der Grundlage der Erdvermessungsdaten in Koordinatensystemen funktionieren können. Auf diese möchte ich noch kurz eingehen.

Da die Satelliten des GPS um die Erde kreisen und die Erde um ihre sich verändernd Achse rotiert, werden die Satellitenpositionen nicht in einem erdfesten, sondern in einem raumfesten Koordinatensystem beschrieben. Die nachfolgenden Berechnungen werden allerdings im erdfesten System durchgeführt.

Der Unterschied der beiden Systeme liegt darin, dass das erdfeste System die Rotation der Erde berücksichtigt, wobei das raumfeste System ein übergeordnetes, an den Umlauf der Erde um die Sonne gekoppeltes System ist.

Geht man davon aus, dass sich ein GPS-Benutzer auf der Erde an einem beliebigen Punkt befindet und diesen Punkt über ein raumfestes Koordinatensystem beschreibt, würden sich die Koordinaten des Benutzers ständig ändern, da die Erde um ihre Achse rotiert. Die Koordinaten des GPS-Benutzers würden sich verändern, ohne dass er seine Position gewechselt hat. Da für solche Positionsangaben keine Anwendungsmöglichkeiten bestehen, benötigt der GPS-Benutzer Koordinaten, die sich auf ein erdfestes Koordinatensystem beziehen, somit eine Position auf der Erde feste Koordinaten hat. Dies erfordert eine Transformation zwischen den beiden Koordinatensystemen, welche insbesondere die Rotation der Erde berücksichtigt.

3.2 Bezugssysteme

Die Empfängerposition ist zunächst in kartesischen Koordinaten^[4] gegeben, die weniger anschaulich sind. Ein Normalnutzer des GPS, der kartesische Koordinaten erhält, kann für diese keine Anwendung finden, weshalb sie auf ein auf den Erdkörper bezogenes System, ein globales terrestrisches Koordinatensystem umgerechnet werden. Dazu muss zunächst ein Körper beschrieben werden, der der Form des Erdkörpers nahe kommt. Die Form des Erdkörpers entspricht aufgrund der unterschiedlichen Massenverteilung keiner Kugel, sondern einem Geoid. Die Geoidfläche ist vereinfacht ausgedrückt die entstehende Fläche, wenn man sich die Ozeane unter die Kontinente fortgesetzt vorstellt. Daraus folgt, dass bei einer Beschreibung dieser Fläche keine Berge und Täler berücksichtigt werden. Um die Form der Erde anzunähern, werden Ellipsoide^[5] verwendet. Abbildung A9 zeigt auf den zweidimensionalen Raum übertragen den Versuch, den Erdkörper über ein Ellipsoid zu beschreiben. Wie erkennbar gibt es kein Ellipsoid (dargestellt durch die verschiedenen Ellipsen), das dem Erdkörper (dargestellt durch die gelb gefärbte Fläche) exakt entspricht. Das Bedeutendste beim GPS wird durch das WGS-84 definiert welches die große Halbachse der rotierenden Ellipse mit a = 6378137.0 m und die kleine Halbachse mit b = 6356752.3 m festlegt. Der Ursprung des WGS-84 liegt in Massenmittelpunkt (Geozentrum) der Erde. Die X-Achse ist die Schnittgerade der Äquatorebene^[6] mit der Ebene, die den Nullmeridian^[7] enthält. Die Y-Achse ist rechtwinklig zur X-Achse, liegt in der Äquatorebene und verläuft nach Osten. Die Z-Achse ist mit der Erdachse identisch (siehe Abb. A10).

Für die Angaben der elliptischen Breite B, Länge L und Höhe h bezüglich eines Ellipsoids gilt:

Um einen Punkt P, der auf der Erdoberfläche liegt zu beschreiben, wird diesem ein Punkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenauf dem entsprechenden Bezugsellipsoid zugewiesen. Der Winkel, den die Ellipsoidnormale^[8], die durchAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltengeht mit der Ebene des Äquators bildet, entspricht der Breite B des Punktes P.

Die Länge L des Punktes P wird durch den Winkel bestimmt, den die in die Äquatorebene projizierte Ellipsoidnormale durch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit einer in dieser Ebene liegenden definierten Bezugsrichtung bildet.

Die elliptische Höhe h des Punktes P entspricht der Länge der Strecke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (siehe Abb. A11).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Umrechnung eines Punktes P(x, y, z) in eine geografische Längen- Breiten- und Höhenangabe gilt^[9]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Schlussteil

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass der GPS-Empfänger zunächst die Signale von Satelliten erhält, anhand derer er die Position des Satelliten errechnet. Außerdem wird über die Zeit, die das Signal vom Satelliten zum Empfänger braucht, die Entfernung zu den entsprechenden Satelliten berechnet. Sind diese Informationen von vier Satelliten bekannt, kann die Position des Empfängers bestimmt werden. Damit jedoch die Position zuzuordnen ist, erfolgt eine Umrechnung auf geografische Koordinaten. So kann beispielsweise anhand einer Landkarte oder Computersoftware durch die Ausgabe der Position des GPS-Empfängers feststellen werden, wo man sich befindet.

Allerdings besteht eine Abhängigkeit zu den USA. Sie können das GPS für den zivilen Bereich jederzeit unbrauchbar machen, beispielsweise durch Informationsverfälschung der Signale, die dem zivilen Anwender zugänglich sind. Diese Störung des GPS war während des Irakkrieges erkennbar. Man konnte sich auf die Ausgabe nicht verlassen, der Einsatz für militärische Zwecke hatte Priorität. Hier eröffnet das GPS die Möglichkeit, Ziele exakt zu bombardieren. Es ist nicht mehr notwendig ganze Städte zu zerstören, um sicherzugehen, dass ein bestimmtes Ziel getroffen wurde.

Im zivilen Einsatz sorgt das GPS beispielsweise beim Autofahren für Sicherheit. Da das GPS die Navigation übernimmt, kann sich der Autofahrer auf das Fahren konzentrieren, die Unfallgefahr wird wesentlich gemindert. In der See- und Luftfahrt kann man aus Sicherheitsgründen auf die Navigation nicht mehr verzichten. Auch ist das GPS ein wirtschaftlicher Faktor, da heute Zeit Geld ist, und so zum Beispiel Spediteuren eine langwierige Suche von Zielen in fremden Städten erspart bleibt.

Insgesamt fand ich es sehr interessant mich damit zu beschäftigen, wie es mit 20200 km entfernten Satelliten möglich ist, eine Position auf der Erde nahezu genau zu bestimmen.

A Literaturverzeichnis

Bücher:

1. Bauer, Manfred: Vermessung und Ortung mit Satelliten, Wichmann Verlag

2. Fröhlich, H. und Grimm, S: Punktbestimmung mit GPS für Einsteiger, Eigenverlag: Prof. Dr.-Ing. Hans Fröhlich, Lichweg 40, 53757 Sankt Augustin

Internet:

1. http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script
2. http://henked.de/maple/packages.htm
3. http://www.sintrade.ch/gpsfunktion00.html
4. http://www.cslg-pfabe.de/mobile/gps/gps_einfuehrung.htm
5. http://www.iota-es.de/federspiel/gps_artikel.html
6. http://www.lokna-rps.com/gpssystem.htm
7. http://home.arcor.de/maus_andreas/diplom/maus
8. http://www.kowoma.de/gps
9. http://www.nautisches-lexikon.de
10. http://home.arcor.de/m.panitzki

B Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: http://www.kowoma.de/gps

Abbilding 5: http://www.lokna-rps.com/gpssystem.htm

Abbildung 6: http://www.kowoma.de/gps

Abbildung 7: http://www.kowoma.de/gps

Abbildung 8: http://home.arcor.de/m.panitzki/pics/pics_orientierung/pics_navigation

Abbildung 9: http://www.kowoma.de/gps

Abbildung 10: Fröhlich, H. und Grimm, S: Punktbestimmung mit GPS für Einsteiger, Seite 46

Abbildung 11: Fröhlich, H. und Grimm, S: Punktbestimmung mit GPS für Einsteiger, Seite 47

C Anhang

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

D Erklärung

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst und keine anderen als die im Literaturverzeichnis angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.

Insbesondere versichere ich, dass ich alle wörtlichen und sinngemäßen Übernahmen aus anderen Werken als solche kenntlich gemacht habe.

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Ort Datum Unterschrift

[...]

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^[1] Maple ist ein Computeralgebrasystem, das zahlreiche mathematische Berechnungen durchführen kann. Hierzu müssen die Rechenoperationen als Befehlszeile eingegeben werden. Werden mehrere in einen logischen Zusammenhang gebrachte Befehlszeilen gespeichert, entsteht ein Worksheet

^[2] Generieren: eine bestimmte Zahlenfolge nach einer mathematischen Formel berechnen

^[3] Vgl. Fröhlich, H. und Grimm, S.: Punktbestimmung mit GPS für Einsteiger, Seite 26

^[4] Kartesische Koordinaten: Koordinaten, die einen Punkt im Raum bezüglich zwei oder drei Achsen beschreiben, die alle orthogonal zueinander sind

^[5] Ellipsoid: Ein Ellipsoid entsteht, wenn eine Ellipse um eine ihrer Achsen rotiert

^[6] Äquator: Verbindungslinie der Punkte, die auf der Oberfläche eines rotierenden Himmelskörpers liegen und zu den Polen die gleiche Entfernung besitzen

^[7] Nullmeridian: Halbkreis, der durch den Nord- und Südpol verläuft und senkrecht zum Äquator steht

^[8] Ellipsoidnormale: Gerade, die durch einen Flächenpunkt verläuft und senkrecht zur Tangentialebene steht. Die Tangentialebene ist eine Ebene, die eine gekrümmte Fläche in einem Flächenpunkt berührt

^[9] Vgl. Bauer, Manfred.: Vermessung und Ortung mit Satelliten, Seite 76

• Autor: Christian Schmidt (Autor:in)
• Erscheinungsjahr: 2005
• Seiten: 27
• Katalognummer: V109262
• ISBN (eBook): 9783640074433
• Sprache: Deutsch
• Schlagworte: Mathematische, Positionsbestimmung