Mit den bisher bekannten Ableitungsregeln (Faktor-, Produkt- und Quotientenregel) kann man „einfache“ Funktionen differenzieren. Diese Ableitungsregeln reichen jedoch nicht mehr aus, wenn es darum geht, verkettete Funktionen zu differenzieren. Man wird mit bisherigen Ableitungsregeln nicht die Funktion f(x) = sin (3x-4) differenzieren können. Um solch eine Funktion ableiten zu können benötigt man die Kettenregel. Um die Kettenregel anzuwenden, muss man die verkettete Funktion in zwei Funktionen trennen.
Inhaltsverzeichnis
1. Die Kettenregel
1.1 Erklärung einer verketteten Funktion
1.2 Erklärung Kettenregel
1.3 Beispiele
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1. Die Kettenregel
1.1 Erklärung einer verketteten Funktion
Um die Kettenregel zu verstehen, muss man erst einmal wissen, was eine verkettete Funktion ist.
Als ein Beispiel für eine verkettete Funktion ist f(x) = cos (2x+5). Man trennt diese Funktion in zwei Funktionen ( innere und äußere Funktion) auf:
Äußere Funktion: f(z) = cos z
Innere Funktion: z(x) = 2x+5
Will man also die Funktion f(z)=u(z) mit einer zweiten Funktion z(x)= g(x) verketten, ersetzt man die Variable z mit g(x).
So entsteht die sogenannte verkettete Funktion: u o g: f(x) = z(u(x)). Hierbei ist z die äußere und u die innere Funktion.
Als Beispiel zur Berechnung einer solchen Funktion eignet sich f(x) = sin x²:
f(z) = sin z ist die äußere Funktion und z(x)= x² ist die innere Funktion. Man berechnet diese Funktionen von innen nach außen, d.h. wenn man für x= 3 einsetzt, quadriert man die 3 und dann nimmt man den Sinus.
f(x) = sin 9
Natürlich kann man auch mehr als zwei Funktionen miteinander verketten:
Bsp:
f(x) = sin [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]tan x²
Diese Funktion besteht aus vier Funktionen. Es sind (von außen nach innen)
- Sinusfunktion
- Quadratwurzelfunktion
- Tangensfunktion und
- Quadratfunktion.
Die vollständige Zerlegung sieht wie folgt aus:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zur weiteren Veranschaulichung noch ein Beispiel:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verdeutlichung der Vorgehensweise bei verketteten Funktion
Man schaut sich am besten zuerst die äußerste Funktion an. Sie steht am Ende der verketteten Funktion.
Danach arbeitet man sich zur nächstinneren Funktion vor. Als letztes folgt die innerste Funktion.
Es ist außerdem wichtig, dass man nach Möglichkeit eine geordnete Reihenfolge der Variablen wählt (z.B. a,b,c u,v,w,z)
1.2 Erklärung Kettenregel
Mit den bisher bekannten Ableitungsregeln (Faktor-, Produkt- und Quotientenregel) kann man „einfache“ Funktionen differenzieren. Diese Ableitungsregeln reichen jedoch nicht mehr aus , wenn es darum geht verkettete Funktionen zu differenzieren. Man wird mit bisherigen Ableitungsregeln nicht die Funktion f(x) = sin (3x-4) differenzieren können. Um solch eine Funktion ableiten zu können benötigt man die Kettenregel.
Um die Kettenregel anzuwenden, muss man die verkettete Funktion in zwei Funktionen trennen (in 1.1 beschrieben).
Man substituiert die innere Funktion (beispielsweise mit z). Nun wird die substituierte Variable in die (nächst-) äußere Funktion eingesetzt.
⇓
z (x)= u(x) ⇒ Innere Funktion
f(z) = g(z) ⇒ Äußere Funktion
Zwischen den Bezeichnungen besteht folgender Zusammenhang:
f(x) = g(z) = g(u(x))
Die Ableitung der Funktion f(x) = g(u(x)) nach der Variablen x lässt sich dann mit Hilfe der Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Ableitung einer verketteten Funktion erhält man also durch multiplizieren der äußeren und inneren Funktion.
Man kann die Kettenregel aber nur anwenden, wenn die äußere und innere Funktion differenzierbar sind.
Die Kettenregel kann man auch anwenden, wenn es mehrere verkettete Funktionen (z.B. 3, 4 ...) sind. Für einen solchen Fall lautet die allgemeine Form der Kettenregel:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
(Beispiele für diesen Fall unter 1.3)
1.3 Beispiele
I. f(x) = 3 * sin (5x)
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II. f(x) = sin² x
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III. f(x) = sin (4 cos² x4 )
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IV. f(x) = sin³ 2x
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Kettenregel und wann wird sie angewendet?
Die Kettenregel ist eine Ableitungsregel, die verwendet wird, um verkettete Funktionen zu differenzieren. Sie kommt zum Einsatz, wenn eine Funktion in eine andere Funktion eingesetzt wird, wie beispielsweise f(x) = sin(3x-4).
Was ist eine verkettete Funktion?
Eine verkettete Funktion ist eine Funktion, die aus der Kombination zweier oder mehrerer Funktionen besteht. Ein Beispiel ist f(x) = cos(2x+5), wobei cos die äußere und 2x+5 die innere Funktion ist.
Wie erkenne ich die innere und äußere Funktion?
Die äußere Funktion ist die, die zuletzt angewendet wird, während die innere Funktion zuerst angewendet wird. Zum Beispiel bei f(x) = sin(x²), ist sin die äußere und x² die innere Funktion.
Wie wende ich die Kettenregel an?
Um die Kettenregel anzuwenden, zerlegt man die verkettete Funktion in eine äußere Funktion g(z) und eine innere Funktion z(x) = u(x). Die Ableitung der verketteten Funktion f(x) = g(u(x)) ist dann f'(x) = g'(u(x)) * u'(x).
Was bedeutet g'(u(x)) und u'(x)?
g'(u(x)) ist die Ableitung der äußeren Funktion g(z), wobei z durch die innere Funktion u(x) ersetzt wurde. u'(x) ist die Ableitung der inneren Funktion u(x).
Kann die Kettenregel auch bei mehr als zwei verketteten Funktionen angewendet werden?
Ja, die Kettenregel kann auch bei mehr als zwei verketteten Funktionen angewendet werden. Die allgemeine Form der Kettenregel für mehrere verkettete Funktionen ist die fortgesetzte Multiplikation der Ableitungen jeder einzelnen Funktion, beginnend mit der äußersten und endend mit der innersten Funktion.
Warum muss man Funktionen in innere und äußere aufteilen, um die Kettenregel anzuwenden?
Die Aufteilung in innere und äußere Funktionen ist notwendig, da die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer verketteten Funktion das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion (angewendet auf die innere Funktion) und der Ableitung der inneren Funktion ist. Ohne diese Aufteilung könnte man die Ableitung nicht korrekt berechnen.
Kann man ein Beispiel für die Anwendung der Kettenregel geben?
Ja, zum Beispiel bei f(x) = sin(5x). Die äußere Funktion ist g(z) = sin(z) und die innere Funktion ist u(x) = 5x. Die Ableitung der äußeren Funktion ist g'(z) = cos(z) und die Ableitung der inneren Funktion ist u'(x) = 5. Somit ist die Ableitung von f(x) gleich f'(x) = cos(5x) * 5 = 5cos(5x).
Welche anderen Ableitungsregeln gibt es neben der Kettenregel?
Neben der Kettenregel gibt es die Faktorregel, Produktregel und Quotientenregel, die zur Ableitung von Funktionen verwendet werden.
Was sind einige Beispiele für komplexere Anwendungen der Kettenregel?
Beispiele sind f(x) = sin² x, f(x) = sin (4 cos² x4 ) und f(x) = sin³ 2x.
- Quote paper
- Stefan Barck (Author), 2001, Die Kettenregel in der Differentialrechnung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/103657
