Trigonometrie
Griech., Dreiecksbemessung
1. Was ist die Trigonometrie?
Wie die Definition des Wortes bereits verrät, handelt es sich bei dem Thema Trigonometrie um Berechnungen an Dreiecken aller Art.
Im Leben ist die praktische Anwendung alltäglich zu finden. So werden zum Beispiel sämtliche Vermessungen basierend auf der Trigonometrie gemacht.
Kein Haus könnte gerade stehen, keine Strasse könnte gebaut werden, von keinem Berg könnte die Höhe ermittelt werden, gäbe es sie nicht: die Trigonometrie!
2. Das rechtwinklige Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck finden wir unsere Einführung in die Trigonometrie. Sämtliche Berechnungen innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks sind trigonomisch zu lösen, oder noch einfacher:
Jede unbekannte in einem rechtw. Dreieck kann man mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatz und der drei Winkelfunktionen ermitteln.
2.1 Die drei Winkelfunktionen
Betrachtet man ein rechtwinkeliges Dreieck, so beinhaltet es drei Seiten, drei Winkel und eine Fläche. Andere Komponenten, wie Innkreis und Umkreis, usw. wollen wir jetzt nicht mit einbeziehen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Betrachtet man diese Dreieck nun in Verbindung mit den Winkelfunktionen, so bekommen die jeweiligen Seiten einen Namen.
Wollen wir den, der Seite a gegenüberliegenden Winkel Alpha betrachten, so stellt die Seite a die Gegenkathete dar, da sie dem Winkel Alpha gegenüberliegt.
Die Seite b liegt bei Winkel Alpha an, heißt somit Ankathete. Die Seite c, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, behält, gleich welchen Winkel man betrachtet, ihren neuen Namen, nämlich Hypotenuse.
Zusammenfassend:
Ankathete = die dem zu betrachtenden Winkel an liegende Seite Gegenkathete = die dem zu betrachtenden Winkel gegen überliegende Seite Hypotenuse = die dem rechten Winkel gegen überliegende Seite
Sind nur diese Seiten im Spiel und man kennt den Großteil, so ist die jeweils verbleibende unbekannte Seite mit dem Lehrsatz von Pythagoras zu ermitteln.
Sind es nun aber die Winkel, die uns interessieren, dann kommen die drei Winkelfunktionen ins Spiel.
Der Sinus eines Winkels ergibt sich, wenn man die jeweilige Gegenkathete durch die Hypotenuse dividiert.
Den Cosinus ermittelt man aus einer Division aus Ankathete und Hypotenuse
Tangens: Die letzte Winkelfunktion ergibt sich, wenn man die Gegenkathete durch die Ankathete dividiert.
Zusammenfassend
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Somit hat man alles, um fehlende Komponenten in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen.
Beispiel:
Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Seite c mit 178cm, und den Winkel
a mit 64, 39°. Ermittle die Länge der beiden anderen Seiten und den Winkel b.
Hinweis:
Eine Skizze anlegen und die bekannten Komponenten eintragen. Die Summe aller Winkel in einem Dreieck beträgt immer 180°
2.2 Der Höhensatz
Um dem Höhensatz einfach zu folgen, kann man ihn anhand eines Dreiecks einfach herleiten:
Nimmt man nämlich die Höhe vom Punkt C zu Seite c, so steht sie auf die Seite C normal. Wie aus der unten gezeigten Skizze ersichtlich, ergeben sich daraus wiederum zwei rechtwinklige Dreiecke, wobei die Hypotenuse in zwei Teile geteilt ist.
Im Höhensatz gilt, dass das Quadrat der Höhe dem Produkt aus den beiden Teilen der Hypotenuse entspricht.
d. h.: h² = p.q
In diesem Fall stellt p den Abschnitt links von h, und q den Abschnitt rechts von h dar.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nun stellen in den jeweiligen kleinen Dreiecke die Seiten a, bzw. b die Hypotenusen dar.
Nun stellt sich die Frage, wie man die Länge der A bschnitte p und q ermitteln kann:
Ganz einfach:
Man nimmt zum Beispiel den Cosinus von a, welcher aus der Division von Ankathete durch Hypotenuse ermittelt wird, und multipliziert die Hypotenuse auf die andere Seite. Das würde in unserem Fall so aussehen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Und schon hat man einen der Abschnitte. Die Ermittlung des zweiten Abschnittes würde nun auf der anderen Seite genau so funktionieren, oder man nimmt ganz einfach die Hypotenuse c her, und zieht q ab.
2.2 Der Kathetensatz
Der Kathetensatz sagt aus, dass jede Kathete zum Quadrat dem Produkt aus der Hypotenuse und dem jeweiligen Abschnitt entspricht.
Das würde heißen:
a² = q * c
b² = p * c
Das war auch schon der Kathetensatz.
Um zum Abschluss die drei Winkelfunktionen in ein vorstellbares Bild zu rücken, so kann man sie in dem sogenannten Einheitskreis darstellen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
3. Das allgemeine dreieck
Leider sind nicht alle Dreiecke rechtwinklig, also brauchen wir auch Berechnugsmethoden um in allgemeinen Dreiecken fehlende Komponenten ermitteln zu können. Diesbezüglich gibt es zwei Sätze:
3.1 Der Sinussatz
Zum Glück können wir zur Hilfe innerhalb eines allg. Dreiecks rechtwinklige Dreiecke basteln. Das ist wichtig, um den Sinussatz verstehen zu können.
Wie wir wissen stellt die Höhe in einem Dreieck immer die Normale einer Seite zu ihrem jeweils gegenüber liegendem Punkt dar. So können wir auch in einem allg. Dreieck zu einem rechten Winkel kommen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nehmen wir an, wir kennen von diesem Dreieck a = 10, a = 48° und b = 63°, b müsste errechnet werden. Das heißt: Hier würde man b ermitteln indem man:
SINUSSATZ
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
SWW- Fall: Gegeben sind eine Seite und zwei Winkel.
SSW- Fall: Gegeben sind zwei Seiten und ein Winkel, der einer der beiden Seiten gegenüber liegt.
Im ersten Fall, dem SWW Fall, können wir durch die Winkelsumme 180° leicht den dritten Winkel errechnen, und somit den Sinussatz anwenden.
Im SSW Fall ist auch der Sinussatz anzuwenden.
3.2 Der Cosinussatz
Es gibt, durch die Angabe bedingt, mehrere Möglichkeiten:
SWS- Fall: Gegeben sind zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel.
SSS- Fall: Gegeben sind die drei Seiten.
Häufig gestellte Fragen
Was ist Trigonometrie?
Trigonometrie ist die Lehre von Berechnungen an Dreiecken aller Art. Sie findet in vielen praktischen Anwendungen wie Vermessungen Verwendung.
Was ist ein rechtwinkliges Dreieck in der Trigonometrie?
Das rechtwinklige Dreieck dient als Einführung in die Trigonometrie. Berechnungen in einem rechtwinkligen Dreieck können mit dem Satz des Pythagoras und den Winkelfunktionen gelöst werden.
Was sind die drei Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck?
Die drei Winkelfunktionen sind Sinus, Cosinus und Tangens. Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Der Cosinus ist das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Der Tangens ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete.
Wie wird der Höhensatz angewendet?
Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Höhe auf der Hypotenuse gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte ist (h² = p * q).
Was besagt der Kathetensatz?
Der Kathetensatz besagt, dass das Quadrat jeder Kathete gleich dem Produkt aus Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt ist (a² = q * c, b² = p * c).
Wie wird der Sinussatz verwendet?
Der Sinussatz ermöglicht es, fehlende Seiten oder Winkel in allgemeinen Dreiecken zu berechnen, insbesondere wenn eine Seite und zwei Winkel (SWW) oder zwei Seiten und ein Winkel gegenüber einer der Seiten (SSW) gegeben sind.
Wann kommt der Cosinussatz zur Anwendung?
Der Cosinussatz wird angewendet, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS) oder alle drei Seiten (SSS) eines Dreiecks gegeben sind und man die fehlenden Winkel oder Seiten berechnen möchte.
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- Andrea K. (Author), 2001, Trigonometrie (Griech., Dreiecksbemessung), Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/103653
