In dieser Facharbeit soll das GPS (Globales Positionssystem) auf die mathematischen Berechnungen bei der Ortung hin untersucht werden. Aufgrund der Komplexität und der Vielzahl an Einflüssen, die bei der GPS-Ortung eine Rolle spielen, beschränke ich mich auf die dreidimensionale Positions- und die Geschwindigkeitsbestimmung. Außerdem soll die Funktionsweise und die Struktur des GPS deutlich werden.
Ich wollte mich mit diesem Thema auseinandersetzen, weil es mich faszinierte, wie man mit 20000 Kilometer entfernt liegenden Satelliten seine Position inzwischen auf den Zentimeter genau bestimmen kann.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Was ist das GPS?
3 Leistungen des GPS
3.1 Anforderungen an das GPS
3.2 Der SPS (Standard Positioning Service)
3.3 Der PPS (Precise Positioning Service)
3.4 Offene Möglichkeiten für die Zukunft
4 Bestandteile des GPS
4.1 Das Raumsegment
4.2 Das Kontrollsegment
4.3 Das GPS-Nutzer-Segment
5 Vierdimensionale Ortung mit dem GPS
5.1 Das Funktionsprinzip des GPS
5.1.1 Das WGS-84 (World Geodetic System, 1984)
5.2 Ortung mit einem Satelliten bei synchronen Uhren
5.3 Pseudo-Entfernungen
5.4 Ortung mit einem Satelliten bei asynchronen Uhren
5.5 Ortung mit zwei Satelliten
5.6 Vierdimensionale Ortung
5.7 Berechnung der Geschwindigkeit
5.7.1 Bestimmung durch Ortsveränderung
5.7.2 Bestimmung durch den Doppler-Effekt
Zielsetzung & Themen
Diese Facharbeit untersucht die mathematischen Grundlagen der Positions- und Geschwindigkeitsbestimmung mittels des Global Positioning Systems (GPS). Ziel ist es, die Funktionsweise und Struktur des Systems darzulegen und die mathematischen Verfahren zur präzisen Ortung bei unterschiedlichen Bedingungen zu analysieren.
- Struktur des GPS: Raum-, Kontroll- und Nutzer-Segment
- Mathematische Modellierung der Ortung durch Vektorrechnung und Kugelgleichungen
- Umgang mit Zeitunterschieden und Fehlern in der Entfernungsberechnung (Pseudo-Entfernungen)
- Geschwindigkeitsbestimmung mittels Ortsveränderung und Doppler-Frequenzverschiebung
Auszug aus dem Buch
5.6 Dreidimensionale Ortsbestimmung
Nimmt man einen dritten Satelliten hinzu, so erhält man zwei Schnittpunkte, wobei einer die wirkliche Position darstellt. Es werden also mindestens vier Satelliten benötigt, um ein eindeutiges Ergebnis für die Position zu bekommen. Mithilfe der allgemeinen Kugelgleichung ließe sich dann folgendes Gleichungssystem für die Entfernung ri zu den Satelliten 1 bis 4 formulieren:
r1^2 = (x-x1)^2 + (y-y1)^2 + (z-z1)^2
r2^2 = (x-x2)^2 + (y-y2)^2 + (z-z2)^2
r3^2 = (x-x3)^2 + (y-y3)^2 + (z-z3)^2
r4^2 = (x-x4)^2 + (y-y4)^2 + (z-z4)^2
Die Positionen der Satelliten (xi,yi,zi) und die Entfernungen zum Anwender können nach 5.4 berechnet werden. Die Position des Empfängers (x,y,z) lässt sich mit diesem nichtlinearen Gleichungssystem nicht lösen. Außerdem erfolgt die Positionsbestimmung mit fehlerhaften Messungen, sodass sich gar kein einheitlicher Schnittpunkt der Kugeln ergeben kann.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Arbeit führt in die mathematische Analyse des Global Positioning Systems ein und beschränkt sich dabei auf die 3D-Positions- und Geschwindigkeitsbestimmung.
2 Was ist das GPS?: Ein kurzer Überblick über den Betrieb und die globale Bedeutung des satellitengestützten Navigationssystems für zivile Nutzer.
3 Leistungen des GPS: Definition der Anforderungen an das System und Beschreibung der zwei Dienste SPS (Standard) und PPS (Präzise).
4 Bestandteile des GPS: Erläuterung der technischen Architektur, bestehend aus dem Raumsegment, dem Kontrollsegment und dem Nutzer-Segment.
5 Vierdimensionale Ortung mit dem GPS: Detaillierte mathematische Herleitung der Standortbestimmung mittels Satellitensignalen, Pseudo-Entfernungen und der Frequenzanalyse zur Geschwindigkeitsmessung.
Schlüsselwörter
GPS, Satellitennavigation, Positionsbestimmung, WGS-84, Pseudo-Entfernung, Vektorrechnung, Kugelgleichung, Laufzeitmessung, Doppler-Effekt, Frequenzverschiebung, SPS, PPS, Raumsegment, Navigationssystem, Geschwindigkeitsbestimmung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Facharbeit behandelt die mathematischen Grundlagen und die Funktionsweise der Navigation mittels des Global Positioning Systems (GPS).
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Arbeit fokussiert sich auf den strukturellen Aufbau des GPS sowie auf die mathematischen Berechnungen zur Bestimmung von Position und Geschwindigkeit.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die mathematische Analyse der 3D-Positionsbestimmung und der Geschwindigkeitsmessung, um den Prozess der Ortung durch Satellitensignale verständlich zu machen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird ein analytischer Ansatz verfolgt, der physikalische Grundlagen (Laufzeitmessung, Doppler-Effekt) in mathematische Modelle (Vektorrechnung, Gleichungssysteme) übersetzt.
Was wird im Hauptteil detailliert behandelt?
Der Hauptteil befasst sich mit der Architektur der Satelliten-Segmente, der geometrischen Kugelortung sowie der Berechnung von Geschwindigkeiten mittels Frequenzverschiebungen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind GPS, Pseudo-Entfernungen, WGS-84 Koordinatensystem, Doppler-Effekt und 3D-Positionsbestimmung.
Warum sind für eine eindeutige 3D-Ortung mindestens vier Satelliten erforderlich?
Da das Gleichungssystem für die Positionskoordinaten (x, y, z) sowie die unbekannte Systemzeit des Empfängers gelöst werden muss, sind vier Unbekannte vorhanden, die vier Gleichungen erfordern.
Was ist eine Pseudo-Entfernung?
Die Pseudo-Entfernung ist eine durch Laufzeitmessungen berechnete Distanz, die aufgrund von Systemfehlern oder Zeitabweichungen zwischen Sender und Empfänger nicht der exakten geometrischen Entfernung entspricht.
Wie unterscheidet sich die Geschwindigkeitsbestimmung per Doppler-Effekt von der Ortsveränderung?
Während die Bestimmung durch Ortsveränderung den Durchschnittswert über einen Zeitraum ermittelt, nutzt der Doppler-Effekt die präzise Frequenzverschiebung des Signals zur aktuellen Geschwindigkeitsberechnung.
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- Waldemar Janzen (Author), 2001, Navigation mit Hilfe des GPS, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/103652
