Diese Arbeit befasst sich mit der Riemannschen Vermutung und ihren historischen Umständen. Die Geschichte der Mathematik war stets bestimmt von dem Antrieb der Mathematiker, Antworten auf offene mathematische Fragen zu finden und schwierige Probleme zu lösen. David Hilbert 1862-1943) stellte am 8 August 1900 beim Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris eine Liste von zehn bis dato ungelösten mathematischen Problemen vor, die er kurz danach auf 23 erweiterte. Mit dieser Liste versuchte er "den Gang der Mathematik im 20. Jahrhundert zu skizzieren".
100 Jahre später veröffentlichte das Clay Mathematics Institute ebenfalls eine solche Liste und setzte auf die Lösung eines der sieben auf der Liste stehenden Probleme ein Preisgeld von 1 Million Dollar aus. Auf beiden Listen findet man die Riemannsche Vermutung, welche bis heute als das größte ungelöste Problem der Mathematik gilt. Stimmt die Riemannsche Vermutung, so können Aussagen über die Verteilung der Primzahlen innerhalb der natürliche Zahlen gemacht werden und man kommt der Erforschung der Primzahlen einen erheblichen Schritt näher. Hilbert soll gesagt haben, dass "sollte er nach einem 500 Jahre währenden Schlaf wieder erwachen, so würde seine erste Frage dem Beweis der Riemannschen Vermutung gelten".
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einleitung
- 2 Biographie von Bernhard Riemann
- 3 Primzahlen
- 3.1 Was sind Primzahlen?
- 3.2 Primzahlfunktion
- 3.3 Primzahltheorem
- 3.4 Eulersche Produktformel
- 4 Zetafunktion
- 4.1 Eulersche Zetafunktion
- 4.2 Riemannsche Zetafunktion
- 4.3 Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
- 4.4 Riemannsche Vermutung
- 4.5 Bedeutung für die Primzahlen
- 5 Mathematiker, die sich an der Vermutung versucht haben
- 6 Fazit persönliche Meinung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Seminararbeit befasst sich mit der Riemannschen Vermutung, einem der größten ungelösten Probleme der Mathematik. Ziel ist es, die Vermutung verständlich darzustellen, ihren historischen Kontext zu beleuchten und ihre Bedeutung für die Zahlentheorie, insbesondere für das Verständnis der Primzahlen, zu erläutern. Die Arbeit untersucht Riemanns Biographie, die Grundlagen der Primzahltheorie und die Riemannsche Zetafunktion.
- Biographie von Bernhard Riemann und sein Beitrag zur Mathematik
- Die Definition und Eigenschaften von Primzahlen
- Die Riemannsche Zetafunktion und ihre Nullstellen
- Die Formulierung der Riemannschen Vermutung und ihre Bedeutung
- Mathematiker und ihre Versuche, die Vermutung zu beweisen
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung führt in die Thematik der Riemannschen Vermutung ein und hebt deren Bedeutung als eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik hervor. Sie verweist auf die Listen ungelöster mathematischer Probleme von David Hilbert und dem Clay Mathematics Institute, auf denen sich die Riemannsche Vermutung befindet. Die Einleitung betont die weitreichenden Implikationen eines Beweises der Vermutung für das Verständnis der Verteilung von Primzahlen. Riemanns ursprüngliche Formulierung der Hypothese im Jahr 1859 wird kurz erwähnt, unterstreichend, dass Riemann selbst keinen vollständigen Beweis anstrebte.
2 Biographie von Bernhard Riemann: Dieses Kapitel skizziert das Leben von Bernhard Riemann, hebt seine mathematischen Leistungen hervor und stellt seinen Beitrag zur Riemannschen Vermutung in den Kontext seiner umfassenderen mathematischen Arbeit. Es wird auf seine Studienzeit in Göttingen und Berlin eingegangen, seine Beziehungen zu bedeutenden Mathematikern wie Gauß, Dirichlet und Jacobi hervorgehoben, sowie seine Arbeit in der Analysis und Differentialgeometrie. Der Fokus liegt auf der Entstehung seines berühmt gewordenen Berichtes "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" und seiner Bedeutung für die Zahlentheorie.
3 Primzahlen: Dieses Kapitel behandelt die Grundlagen der Primzahltheorie. Es beginnt mit der Definition von Primzahlen und dem Fundamentalsatz der Arithmetik. Es beschreibt Methoden zur Identifizierung von Primzahlen, wie das Sieb des Eratosthenes. Die Diskussion über die Unendlichkeit der Primzahlen nach Euklid wird ebenfalls aufgenommen. Das Kapitel behandelt die Primzahlfunktion und gibt einen Überblick über die offenen Fragen rund um die Verteilung und das Verhalten von Primzahlen, die die Riemannsche Vermutung zu beantworten versucht.
4 Zetafunktion: Dieses Kapitel erläutert die Eulersche und Riemannsche Zetafunktion, deren Zusammenhang und die Bedeutung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. Es beschreibt die Riemannsche Vermutung selbst, wobei der Fokus auf ihrer Bedeutung für die Verteilung von Primzahlen liegt. Es wird erklärt, warum ein Beweis dieser Vermutung das Verständnis der Primzahlen revolutionieren würde.
5 Mathematiker, die sich an der Vermutung versucht haben: Dieses Kapitel beleuchtet die Geschichte der Versuche, die Riemannsche Vermutung zu beweisen, ohne auf spezifische Beweisversuche im Detail einzugehen. Es bietet eine Übersicht über die bedeutenden Mathematiker, die sich mit dem Problem auseinandergesetzt haben, und unterstreicht den langjährigen und anhaltenden Kampf um die Lösung dieses fundamentalen mathematischen Rätsels.
Schlüsselwörter
Riemannsche Vermutung, Primzahlen, Zetafunktion, Zahlentheorie, Bernhard Riemann, Primzahlverteilung, Mathematische Probleme, Beweis, Analysis.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur Seminararbeit: Die Riemannsche Vermutung
Was ist das Thema der Seminararbeit?
Die Seminararbeit befasst sich mit der Riemannschen Vermutung, einem der größten ungelösten Probleme der Mathematik. Sie untersucht die Vermutung, ihren historischen Kontext, ihre Bedeutung für die Zahlentheorie und insbesondere für das Verständnis der Primzahlen.
Welche Aspekte werden in der Seminararbeit behandelt?
Die Arbeit behandelt folgende Themen: die Biographie von Bernhard Riemann, die Grundlagen der Primzahltheorie (Definition und Eigenschaften von Primzahlen, Primzahlfunktion, Primzahltheorem, Eulersche Produktformel), die Eulersche und Riemannsche Zetafunktion, die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, die Formulierung der Riemannschen Vermutung und ihre Bedeutung, und die Versuche von Mathematikern, die Vermutung zu beweisen.
Wer war Bernhard Riemann und welche Rolle spielt er in der Seminararbeit?
Die Seminararbeit beinhaltet ein Kapitel über die Biographie von Bernhard Riemann, das sein Leben, seine mathematischen Leistungen und seinen Beitrag zur Riemannschen Vermutung im Kontext seiner gesamten mathematischen Arbeit darstellt. Seine Studienzeit, seine Beziehungen zu anderen Mathematikern und die Entstehung seines wichtigen Berichtes "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" werden beleuchtet.
Was sind Primzahlen und welche Bedeutung haben sie im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung?
Die Arbeit erklärt die Definition und Eigenschaften von Primzahlen, Methoden zu ihrer Identifizierung (Sieb des Eratosthenes) und die Unendlichkeit der Primzahlen. Sie behandelt die Primzahlfunktion und die offenen Fragen zur Verteilung und zum Verhalten von Primzahlen, die die Riemannsche Vermutung zu beantworten versucht. Die Riemannsche Vermutung hat weitreichende Implikationen für das Verständnis der Verteilung von Primzahlen.
Was ist die Riemannsche Zetafunktion und ihre Bedeutung für die Riemannsche Vermutung?
Die Seminararbeit erläutert die Eulersche und Riemannsche Zetafunktion und deren Zusammenhang. Ein Schwerpunkt liegt auf der Bedeutung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion und der Formulierung der Riemannschen Vermutung selbst, insbesondere ihrer Bedeutung für die Verteilung von Primzahlen. Es wird erklärt, warum ein Beweis dieser Vermutung das Verständnis der Primzahlen revolutionieren würde.
Welche Mathematiker haben sich mit der Riemannschen Vermutung auseinandergesetzt?
Die Arbeit bietet eine Übersicht über bedeutende Mathematiker, die sich mit der Riemannschen Vermutung beschäftigt haben, ohne auf spezifische Beweisversuche im Detail einzugehen. Sie unterstreicht den langjährigen Kampf um die Lösung dieses fundamentalen mathematischen Rätsels.
Welche Ziele verfolgt die Seminararbeit?
Das Ziel der Seminararbeit ist es, die Riemannsche Vermutung verständlich darzustellen, ihren historischen Kontext zu beleuchten und ihre Bedeutung für die Zahlentheorie zu erläutern. Sie soll die Vermutung und ihre Implikationen für das Verständnis der Verteilung von Primzahlen zugänglich machen.
Welche Schlüsselwörter beschreiben den Inhalt der Seminararbeit?
Schlüsselwörter sind: Riemannsche Vermutung, Primzahlen, Zetafunktion, Zahlentheorie, Bernhard Riemann, Primzahlverteilung, Mathematische Probleme, Beweis, Analysis.
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- Anonym (Author), 2020, Die Riemannsche Vermutung. Historische Erörterung eines der größten Rätsel der Mathematik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1035081
