Die Riemannsche Vermutung. Historische Erörterung eines der größten Rätsel der Mathematik

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Biographie von Bernhard Riemann

3 Primzahlen
3.1 Was sind Primzahlen?
3.2 Primzahlfunktion
3.3 Primzahltheorem
3.4 Eulersche Produktformel

4 Zetafunktion
4.1 Eulersche Zetafunktion
4.2 Riemannsche Zetafunktion
4.3 Nullstellen der Ricmannschcn Zetafunktion
4.4 Riemannsche Vermutung
4.5 Bedeutung fur die Primzahlen

5 Mathematiker, die sich an der Vermutung versucht haben

6 Fazit - personliche Meinung

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1 Einleitung

Die Geschichte der Mathematik war stets bestimmt von dem Antrieb der Mathema- tiker, Antworten auf offene mathematische Fragen zu finden und schwierige Proble- me zu losen. David Hilbert(1862-1943) stellte am 8.August 1900 beim Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris eine Liste von zehn bis dato ungelosten mathemati- schen Problemen vor, die er kurz danach auf 23 erweiterte. Mit dieser Liste versuchte er „den Gang der Mathematik im 20. Jahrhundert zu skizzieren“. [2, S.244]

100 Jahre spater veroffentlichte das Clay Mathematics Institute ebenfalls eine solche Liste und setzte auf die Losung eines der sieben auf der Liste stehenden Probleme ein Preisgeld von 1 Million Dollar aus. 7

Auf beiden Listen findet man die Riemannsche Vermutung, welche bis heute als das grofite ungeloste Problem der Mathematik gilt. Stimmt die Riemannsche Vermutung, so konnen Aussagen uber die Verteilung der Primzahlen innerhalb der natiirliche Zahlen gemacht werden und kommt der Erforschung der Primzahlen einen erheblichen Schritt naher. Hilbert soli gesagt haben, dass „sollte er nach einem 500 Jahre wahrenden Schlaf wieder erwachen, so wiirde seine erste Frage dem Beweis der Riemannschen Vermutung gelten“. [6, S.283]

Riemann stellte diese Hypothese 1859 in einem kleinen vierseitigen Bericht namens „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse“ auf, fiigte dem aber hinzu: „Hiervon ware allerdings ein strenger Beweis zu wiinschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen fliichtigen vergeblichen Versuchen vorlaufig bei Sei- te gelassen, da er fur den nachsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.“ 15

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Ausschnitt aus dem Orginalmanuskript, Bernhard Riemann, 1859 14

2 Biographie von Bernhard Riemann

Bernhard Riemann ist am 17. September 1826 in Brcsclcnz geboren. (zur Biographie [vgl. 4, S.507-526]) Schon friih erkannte man seine Begabung in Bereichen der Mathc- matik.

Im Jahr 1846 studierte Riemann an der Universitat Gottingen, dort horte er sich un- ter anderem Vorlesungen von Carl Friedrich Gaufi an. 1847 ging er an die Universitat Berlin und besuchte die Vortrage von Peter Gustav Lcjcunc Dirichlet und Carl Gustav Jacob Jacobi. Zwei Jahre spater kehrte er wieder nach Gottingen zuriick.

Sein Vorbild Gaufi wurde auf ihn sehr positiv wegen einer seiner Arbeiten aufmerksam, die ahnliches behandelte, woran Gaufi schon mehrere Jahre arbeitete.

Riemann arbeitete hauptsachlich im Bereich der kontinuierlichen Mathcmatik (Ana­lysis). Dennoch hat er seinen grofsten mathematischen Erfolg dem von ihm kaum be- arbeiteten Bereich der Zahlentheorie zu verdanken, da sein Bericht „Ucbcr die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse" diesem entstammt.

Riemann hat natiirlich nicht sein ganzes Leben dieser Vermutung gewidmet, sondern war auch noch in anderen mathematischen Themenfeldern sehr prasent. Er arbeitete beispielsweise an der Differentialgeometrie von Gaufi waiter und entwickelte das nach ihm benannte Riemann Integral.

Am 20. Juli 1866 starb Bernhard Riemann in Selesca an der damals noch unheilbaren Tuberkulose.

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Abbildung 2: Portrait von Bernhard Riemann 18

3 Primzahlen

Ein moglicher Beweis der Ricmannschcn Vermutung gilt als Schlussel zum Verstandnis der Primzahlen.

3.1 Was sind Primzahlen?

Primzahlen gehdren zu dem Bereich der Zahlentheorie und sind dcfinicrt als natfirliche Zahlen, die genau zwei Teiler haben, namlich eins und sich selbst. Ein Satz, der hier erwahnenswert ist, ist der Fundamentalsatz der Arithmetik. Dieser besagt, dass sich allo natfirlichen Zahlen durch Primzahlen faktorisieren lassen. [vgl. 6, S.289 f.] Um hcrauszufindcn, welche Zahlen Primzahlen sind, kann man das Sieb des Eratosthe­nes anwenden. Hier streicht man zuerst, bis zu einer festgelegten Obergrenze, allo Zah­len weg, die Vielfache von zwei sind. Als nachstes allo, die Vielfache von drei sind usw. [vgl. 10, S.22-34]¹

Schon Euklid hat 300 v. Chr. herausgefunden, dass es unendlich vide Primzahlen gibt. [vgl. 6, S.36 f.]

Nichtsdestotrotz ist das Gebiet der Primzahlen ein sehr unerforschtes Territorium und es tummeln sich noch sehr vide Fragen um sie. Zum Beispiel, ob sie zufallig auftreten oder einer Regelmafsigkeit unterliegen. Bisher wurde noch keine gefunden.

Der Beweis der Ricmannschcn Vermutung wiirde das Wisscn fiber Primzahlen weit voran bringen.

Primzahlen sind nicht nur in der Zahlentheorie, sondern auch in der Praxis von grower Bedeutung. Sie findcn Anwendung in der IT-Sicherheit und in der modemen Kryptogra- phie. Bei jedem Bezahlen mit einer Kreditkarte kommen Primzahlen zum Verschlusseln zum Einsatz.

3.2 Primzahlfunktion

Riemann beschaftigte sich in seinem Bericht mit der Frage, wie vide Primzahlen es unter einer bestimmten Grofic gibt. Dies wird ausgedriickt durch die sogenannte Prim­zahlfunktion n(x), wobei n nichts mit der uns bekannten Kreiszahl zu tun hat.

Diese Primzahlfunktion ist cine Treppenfunktion, die bei jeder Primzahl cine Stufe nach oben geht. Fur x = 100 ist das Ergebnis 25. Das heibt, dass sich unter den ersten 100 Zahlen 25 Primzahlen befinden. In einem Graphen schaut dies so aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Abbildung 5: n(5000) = 669 [2, S.197]

3.3 Primzahltheorem

Als Primzahltheorem warden Formein bezeichnet, die eine Annaherung fur die oben genannte Primzahlfunktion n(x) darstellen. Haufig werden die Annaherungen Li(x) und G(x) dafur benutzt. [vgl. 5, S.253 f.]

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Li(x) wird auch als Integrallogarithmus bezeichnet und ist eine sehr genaue Annahe­rung, dagegen ist G(x) wesentlich ungenauer.

Folgende Tabelle zeigt die entsprechenden Wertc der Primzahlfunktion und der Anna­herungen fur unterschiedliche x.

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Der Quotient aus n(x) und Li(x) nahert sich fur x —> der 1 an. Sie sind asvmpto-

tisch Equivalent. [vgl. 16, 42:00]

Der Quotient von Li (1000) und n(1000) ist ca. 1,0595 und von G(1000) und n(1000) ca. 0, 8631, das heifit bei x = 1000 ist der Graph Li(x) ein bisschen uber der Treppen- funktion n(x) und der Graph G(x) ein deutliches Stuck unter n(x), wie man in der Abbildung 6 schon erkennen kann.

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Anhand der Grafik mag man jetzt vielleicht vermuten, dass sich Li(x) immer iiber n(x) findcn lasst, abcr dem ist nicht so.

Der Mathematiker John Edensor Littlewood bewies 1914, dass n(x) an einer bestimm- ten Stelle die Funktion Li(x) schneiden wird. Auherdem fand er heraus, dass sich die Funktioncn von dort an auch noch uncndlich oft schneiden wcrdcn. [vgl. 2, S.230]

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Intcrcssant ist in dicscm Zusammcnhang die Fragc, ob man in der Lage ist, bcstimmtc Aussagen uber den Fehler zwischen Li (x) mid n (x) machen zu konnen:

Wie verhalt sich |Li(x) — n(x)|?

Oder anders formuliert: Gibt es eine Begrenzung und damit einen Bereich, den n(x) nic vcrlasscn wird? (sichc graucr Bereich in Abbildung 7)

3.4 Eulersche Produktformel

Ausgangsbasis fur Riemanns Uberlegungen ist die Eulersche Produktformel. Euler ging von folgendem Produkt aus:

1

1 — p-s

p Prim

wobei Hp Prim ein unendliches Produkt uber alle Primzahlen ist.

Durch Anwenden der geometrischen Summenformel [1, S.523]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

kann dieses Produkt auch folgcndcrmaficn geschrieben warden:

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Durch weitere Umformungen erhalt man dann die Eulersche Produktformel. [vgl. 2, S.73 f.]

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Diese Formol ist insofern sehr interessant, da sic einen Zusammenhang zwischcn na- tiirlichen Zahlen und Primzahlen herstellt. Auf der linken Seite ist die Abhangigkeit von den Primzahlen da, auf der rechten Seite besteht diese nicht mehr, diese hangt nur noch von den natiirlichen Zahlen ab.

In den folgenden Kapiteln wird diese rechte Seite als Zetafunktion (Z-Funktion) be- zeichnet.

4 Zetafunktion

4.1 Eulersche Zetafunktion

Euler beschaftigte sich mit der Z-Funktion und mit dem Losen dieser fur bestimmte Wertc.

Z s Z ns

n=1

Als das Baseler Problem wird die Losung von Z(2) bezeichnet. [vgl. 2, S.50]

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Euler hat dies gelost und als Ergebnis n- ermittelt.

Aufgrund des Vorkommens der Kreiszahl n behaupten einige Mathematiker, dass uber die Eulersche Produktformel ein Bezug der Primzahlen zur Natur hergestellt warden kann. [12, 08:00-13:50]

Diese Z-Funktion kann auch fur andere Werte berechnet warden, allerdings nicht fur s = 1. An dieser Stella gibt es keine Losung, dass heibt sie divergiert. In Abbildung 8 sieht man den Funktionsverlauf von Z (s), wobei s > 1 ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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[...]

¹ Auf Eincr gcrundct