Entschlüsseln Sie das Geheimnis der quadratischen Funktionen! Dieses Buch ist Ihr Schlüssel zum Verständnis und zur Beherrschung der faszinierenden Welt der Parabeln. Von den grundlegenden Definitionen und Eigenschaften bis hin zu komplexen Systematisierungen führt Sie dieser umfassende Leitfaden Schritt für Schritt durch die Materie. Entdecken Sie, wie Sie quadratische Funktionen identifizieren, ihre Graphen – die Parabeln – analysieren und die Bedeutung des Scheitelpunkts, der Achse und der Parabeläste verstehen. Lernen Sie, wie das quadratische Glied (ax²) den Kurvenverlauf bestimmt und wie Sie Normalparabeln, gestreckte und gestauchte Parabeln unterscheiden. Vertiefen Sie Ihr Wissen über die Normalform (y = x² + px + q) und meistern Sie die Umwandlung in die Scheitelpunktsform, um die Koordinaten des Scheitelpunkts präzise zu berechnen. Die Diskriminante wird enthüllt, um die Anzahl der Nullstellen zu bestimmen – ob zwei, eine oder keine. Erforschen Sie die allgemeinen Eigenschaften der Normalform, einschließlich Definitionsbereich, Wertebereich, Monotonie und Symmetrie. Anhand eines anschaulichen Beispiels werden die Anwendung der Eigenschaften verständlich gemacht. Widmen Sie sich den Sonderfällen, von der einfachsten Form (y = x²) bis zur Scheitelpunktsform (y = (x + d)² + e), und lernen Sie, wie sich die Parameter auf die Lage des Scheitelpunkts auswirken. Dieses Buch ist Ihr unverzichtbarer Begleiter, um quadratische Funktionen zu verstehen, zu analysieren und erfolgreich anzuwenden, ideal für Schüler, Studenten und alle, die ihr mathematisches Wissen erweitern möchten. Tauchen Sie ein in die Welt der quadratischen Funktionen und entdecken Sie die Schönheit und Eleganz der Mathematik! Erweitern Sie Ihr Verständnis für algebraische Funktionen, inklusive Polynomfunktionen und die lineare Algebra, die als Grundlage für viele mathematische Konzepte dient. Das Buch beleuchtet die Bedeutung der Analysis für das Verständnis von Funktionsgraphen und deren Verhalten.
Systematisierung der quadratischen Funktionen
1 . Definition der quadratischen Funktion:
Jede Funktion mit der Funktionsgleichung :
y = f(x) = ax² + bx +c (a, b, c R ; a 0) heißt quadratische Funktion.
( ax ist quadratisches Glied ; bx ist lineares Glied ; c ist absolutes Glied)
Das linear Glied und das absolute Glied können 0 betragen, also heißt eine Funktion quadratische Funktion wenn mindestens das quadratische Glied in der Funktionsgleichung vorkommt.
2. Der Graph der quadratischen Funktion:
Er heißt Parabel und ist immer eine Kurve mit :
-1. Scheitelpunkt
( er ist stets der höchste oder tiefste Punkt der Parabel; Schreibweise: S ( x-Wert ; y-Wert ) )
-2. Achse der Parabel
-3. Parabelast
2.1 Allgemeine Eigenschaften der Parabel :
Das quadratische Glied ( ax²) in der Funktionsgleichung ist entscheidend für den Kurvenverlauf der Parabel.
Die Parabel ist nach oben geöffnet, wenn das a im quadratischen Glied größer als Null ist. Die Parabel ist nach unten geöffnet, wenn das a im quadratischen Glied kleiner als Null ist.
a) |a| = 1 , dann ist der Graph eine Normalparabel. ( wie er auf der Parabelschablone ist)
b) |a| > 1 , dann ist der Graph eine gestreckte Parabel.
c) |a| < 1 , dann ist der Graph eine gestauchte Parabel.
3. Die Normalform
Die Funktionsgleichung y = x² + px + q ist die Normalform der quadratischen Funktionen. Durch umformen dieser Funktionsgleichung kann man sie in die Scheitelpunktsform bringen. Die Formel zur Berechnung der Scheitelpunkskoordinaten aus der Normalform lautet:
s (- (p / 2) (ist x - Wert) , - (p² / 4 ) + q (ist y - Wert )
3.1 Die Diskriminante
Sie unterscheidet die Parabeln in die mit zwei Nullstellen, die mit einer Nullstelle und die mit keiner Nullstelle.
Der umgekehrte Wer t der Diskriminant e ist auch der y - Wert von dem Scheitelpunkt der Parabel. Die Formel lautet:
D= (p² / 4) - q
Ist D>0, so hat die Par abel zwei Nullstellen.
Ist D=0, so hat die Parabel eine Nullstelle.
Ist D< 0, so hat die Parabel keine Nullstelle.
3.2 Die allgemeinen Eigenschaften von y = x² + px + q (Normalform)
a) Bezüglich des Definitionsbereiches (Db) und des Wertebereiches (Wb) :
Db: x Element von R ( immer, denn bei allen Funktionen wird grundsätzlich jedem x ein y zugeordnet) Wb: y Element von R, y [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] -D ( also ist y [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dem y - Wert des Scheitelpunktes derb Parabel)
b) Bezüglich des Graphs:
Er ist immer eine Normalparabel da immer x² in der Funktionsgleichung vorkommt. ( Die Formel zur Berechnung der Scheitelpunktskoordinaten steht bei 3. )
c) Bezüglich der Monotonie des Graphen:
Der Graph fällt bis zum x -Wert des Scheitelpunktes.
( also x < -(p/2), dann ist der Monoton fallend)
Der Graph steigt nach dem x - Wert des Scheitelpunktes wieder an.
( also x > - (p/2), dann ist der Monoton steigend)
d) Bezüglich der Symmetrie des Graphen:
Die Achse der Parabel ist immer parallel zur y - Achse und sie verläuft immer durch den x - Wert des Scheitelpunktes.
Also verläuft die Achse der Parabel immer durch x = - (p/2)
3.3 Beispiel
Die allgemeinen Eigenschaften der Normalform angewendet auf die Gleichung: y = x² + 2x - 4
Db: x R
Wb: y R, y [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] -5 Scheitelpunkt: S ( -1 , -5 )
Monotonie des Graphen: monoton fallend bis x < -1
monoton steigend bis x > -1 Symmetrie des Graphen: Achse der Parabel parallel zur y-Achse
Achse der Parabel verläuft durch x = -1
4. Sonderfälle:
a) Die Form der quadratischen Funktion y = x² :
Diese Form ist die einfachste denn der Scheitelpunkt der Parabel ist stets der Koordinatenursprung, also S ( 0 ; 0 )
b) Die Form der quadratischen Funktion y = x² + e:
e verschiebt den Scheitelpunkt der Parabel dieser Funktion auf der y-Achse, d. h. S ( 0 ; e )
c) Die Form der quadratischen Funktion y = ( x + d )²:
d verschiebt den Scheitelpunkt der Parabel dieser Funktion auf der x-Achse d. h. S ( -d ; 0 )
d) Die Form der quadratischen Funktion y = ( x + d)² + e (Scheitelpunktsform) :
Häufig gestellte Fragen zu "Systematisierung der quadratischen Funktionen"
Was ist eine quadratische Funktion?
Eine quadratische Funktion ist jede Funktion mit der Funktionsgleichung y = f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ungleich 0 ist. ax² ist das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied. Das lineare und absolute Glied können auch 0 sein, aber das quadratische Glied muss vorhanden sein.
Wie sieht der Graph einer quadratischen Funktion aus?
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, eine Kurve mit einem Scheitelpunkt, einer Achse und Parabelästen.
Welche Eigenschaften hat die Parabel im Allgemeinen?
Das quadratische Glied (ax²) bestimmt den Verlauf der Parabel. Ist a > 0, ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a < 0, ist die Parabel nach unten geöffnet. Wenn |a| = 1, ist es eine Normalparabel. Wenn |a| > 1, ist es eine gestreckte Parabel. Wenn |a| < 1, ist es eine gestauchte Parabel.
Was ist die Normalform einer quadratischen Funktion?
Die Normalform ist y = x² + px + q. Diese kann in die Scheitelpunktsform umgewandelt werden. Die Koordinaten des Scheitelpunkts können mit der Formel S(-(p/2), -(p²/4) + q) berechnet werden.
Was ist die Diskriminante und wozu dient sie?
Die Diskriminante unterscheidet Parabeln danach, ob sie zwei, eine oder keine Nullstelle haben. Sie wird mit der Formel D = (p²/4) - q berechnet. Wenn D > 0, hat die Parabel zwei Nullstellen. Wenn D = 0, hat sie eine Nullstelle. Wenn D < 0, hat sie keine Nullstelle.
Welche allgemeinen Eigenschaften hat y = x² + px + q (Normalform) bezüglich des Definitions- und Wertebereichs?
Der Definitionsbereich (Db) ist immer x ∈ R (alle reellen Zahlen). Der Wertebereich (Wb) ist y ∈ R, y ≥ -D, wobei -D der y-Wert des Scheitelpunkts ist.
Welche allgemeinen Eigenschaften hat y = x² + px + q (Normalform) bezüglich des Graphen?
Der Graph ist immer eine Normalparabel, da x² in der Funktionsgleichung vorkommt. Die Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts ist S(-(p/2), -(p²/4) + q).
Wie verhält sich die Monotonie des Graphen von y = x² + px + q (Normalform)?
Der Graph fällt bis zum x-Wert des Scheitelpunkts (x < -(p/2)). Danach steigt er wieder an (x > -(p/2)).
Welche Symmetrie hat der Graph von y = x² + px + q (Normalform)?
Die Achse der Parabel ist immer parallel zur y-Achse und verläuft durch den x-Wert des Scheitelpunkts, also x = -(p/2).
Welche Sonderfälle quadratischer Funktionen gibt es?
a) y = x²: Scheitelpunkt ist der Ursprung S(0;0).
b) y = x² + e: e verschiebt den Scheitelpunkt auf der y-Achse: S(0;e).
c) y = (x + d)²: d verschiebt den Scheitelpunkt auf der x-Achse: S(-d;0).
d) y = (x + d)² + e (Scheitelpunktsform): Scheitelpunkt ist S(-d;e).
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- Wähner, Michael (Author), 2000, Systematisierung der quadratischen Funktionen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/102960
