Systematisierung der quadratischen Funktionen
1 . Definition der quadratischen Funktion:
Jede Funktion mit der Funktionsgleichung :
y = f(x) = ax² + bx +c (a, b, c R ; a 0) heißt quadratische Funktion.
( ax ist quadratisches Glied ; bx ist lineares Glied ; c ist absolutes Glied)
Das linear Glied und das absolute Glied können 0 betragen, also heißt eine Funktion quadratische Funktion wenn mindestens das quadratische Glied in der Funktionsgleichung vorkommt.
2. Der Graph der quadratischen Funktion:
Er heißt Parabel und ist immer eine Kurve mit :
-1. Scheitelpunkt
( er ist stets der höchste oder tiefste Punkt der Parabel; Schreibweise: S ( x-Wert ; y-Wert ) )
-2. Achse der Parabel
-3. Parabelast
2.1 Allgemeine Eigenschaften der Parabel :
Das quadratische Glied ( ax²) in der Funktionsgleichung ist entscheidend für den Kurvenverlauf der Parabel.
Die Parabel ist nach oben geöffnet, wenn das a im quadratischen Glied größer als Null ist. Die Parabel ist nach unten geöffnet, wenn das a im quadratischen Glied kleiner als Null ist.
a) |a| = 1 , dann ist der Graph eine Normalparabel. ( wie er auf der Parabelschablone ist)
b) |a| > 1 , dann ist der Graph eine gestreckte Parabel.
c) |a| < 1 , dann ist der Graph eine gestauchte Parabel.
3. Die Normalform
Die Funktionsgleichung y = x² + px + q ist die Normalform der quadratischen Funktionen. Durch umformen dieser Funktionsgleichung kann man sie in die Scheitelpunktsform bringen. Die Formel zur Berechnung der Scheitelpunkskoordinaten aus der Normalform lautet:
s (- (p / 2) (ist x - Wert) , - (p² / 4 ) + q (ist y - Wert )
3.1 Die Diskriminante
Sie unterscheidet die Parabeln in die mit zwei Nullstellen, die mit einer Nullstelle und die mit keiner Nullstelle.
Der umgekehrte Wer t der Diskriminant e ist auch der y - Wert von dem Scheitelpunkt der Parabel. Die Formel lautet:
D= (p² / 4) - q
Ist D>0, so hat die Par abel zwei Nullstellen.
Ist D=0, so hat die Parabel eine Nullstelle.
Ist D< 0, so hat die Parabel keine Nullstelle.
3.2 Die allgemeinen Eigenschaften von y = x² + px + q (Normalform)
a) Bezüglich des Definitionsbereiches (Db) und des Wertebereiches (Wb) :
Db: x Element von R ( immer, denn bei allen Funktionen wird grundsätzlich jedem x ein y zugeordnet) Wb: y Element von R, y [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] -D ( also ist y [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dem y - Wert des Scheitelpunktes derb Parabel)
b) Bezüglich des Graphs:
Er ist immer eine Normalparabel da immer x² in der Funktionsgleichung vorkommt. ( Die Formel zur Berechnung der Scheitelpunktskoordinaten steht bei 3. )
c) Bezüglich der Monotonie des Graphen:
Der Graph fällt bis zum x -Wert des Scheitelpunktes.
( also x < -(p/2), dann ist der Monoton fallend)
Der Graph steigt nach dem x - Wert des Scheitelpunktes wieder an.
( also x > - (p/2), dann ist der Monoton steigend)
d) Bezüglich der Symmetrie des Graphen:
Die Achse der Parabel ist immer parallel zur y - Achse und sie verläuft immer durch den x - Wert des Scheitelpunktes.
Also verläuft die Achse der Parabel immer durch x = - (p/2)
3.3 Beispiel
Die allgemeinen Eigenschaften der Normalform angewendet auf die Gleichung: y = x² + 2x - 4
Db: x R
Wb: y R, y [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] -5 Scheitelpunkt: S ( -1 , -5 )
Monotonie des Graphen: monoton fallend bis x < -1
monoton steigend bis x > -1 Symmetrie des Graphen: Achse der Parabel parallel zur y-Achse
Achse der Parabel verläuft durch x = -1
4. Sonderfälle:
a) Die Form der quadratischen Funktion y = x² :
Diese Form ist die einfachste denn der Scheitelpunkt der Parabel ist stets der Koordinatenursprung, also S ( 0 ; 0 )
b) Die Form der quadratischen Funktion y = x² + e:
e verschiebt den Scheitelpunkt der Parabel dieser Funktion auf der y-Achse, d. h. S ( 0 ; e )
c) Die Form der quadratischen Funktion y = ( x + d )²:
d verschiebt den Scheitelpunkt der Parabel dieser Funktion auf der x-Achse d. h. S ( -d ; 0 )
d) Die Form der quadratischen Funktion y = ( x + d)² + e (Scheitelpunktsform) :
die Scheitelpunktskoordinaten setzten sich aus dem umgekehrten Wert von d, für den x-Wert , und dem Wert e, für den y-Wert, zusammen, d. h. S ( -d ; e )
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